第01讲 不等式及其性质（二类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第01讲 不等式及其性质（十一大题型） 学习目标 1．了解不等式的概念； 2．会根据实际问题或数学语言列不等式； 3. 掌握不等式的性质及应用； 知识点1 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于（或）等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于（或）等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a 、b, 在a >b 、a<b 、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b,b>c, 那么a>c. 要点：如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性.同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 要点： 对不等式的性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质4和性质5的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变. 【即学即练1】用适当的符号表示下列关系： (1)x的3倍与5的差小于1； (2)x的一半不小于3； (3)x与1的差的绝对值是非负数； (4)a是大于－1且不大于2的数． 【即学即练2】在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【即学即练3】用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ． 【即学即练5】将下列不等式化成“”或“”的形式： （1）；（2）；（3）． 【即学即练6】根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞”，则m的取值范围是 . 题型1：判断是否属于不等式 【典例1】．在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】．在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 【变式1-3】．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 题型2：实际问题中的不等式的含义 【典例2】．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【变式2-1】．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 题型3：列不等式 【典例3】．x与y的差为负数，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】．用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【变式3-2】．a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【变式3-3】．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成 C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成 题型4：不等式的性质 【典例4】．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 【变式4-1】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．根据不等式的基本性质填空： （1）已知，则 ； （2）若，则 ．（填“”“”或“”） 【变式4-3】．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 题型5：不等式的传递性（性质2） 【典例5】．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（1），你能判断三人的轻重吗？ （2）P、O、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（2），你该如何判断这四人的轻重呢？ 题型6：利用不等式的性质，把不等式化成x＞a或x＜a的形式 【典例6】．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式6-1】．根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． （1）；（2）． 【变式6-2】．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）；（2）． 【变式6-3】．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． (1)x－2＜3；　　　　　(2)6x＜5x－1； (3)x＞5；　          (4)－4x＞3； (5)－x＜；　    (6) x＞－x－6. 题型7：利用不等式变形后的结果，求参数范围 【典例7】．如果不等式，两边同时除以a后变成，那么a的取值范围是 ． 【变式7-1】．已知不等式，当 时，不等式可化为． 【变式7-2】．若，且，则的取值范围是 ． 【变式7-3】．若不等式，两边除以后变成，则a的取值范围是 ． 题型8：不等式性质的应用—比较大小 【典例8】．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式8-1】．已知，试比较大小： （填“”或“”）． 【变式8-2】．已知x＞y． (1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由； (2)若，求m的取值范围． 【变式8-3】．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【变式8-4】．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 题型9：不等式性质的其他应用 【典例9】．在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有 （填上序号） 【变式9-1】．当时，将，，，按从小到大的顺序排列并用小于符号连接 题型10：作差法比较大小 【典例10】．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 【变式10-1】．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 题型11：不等式的性质难点分析 【典例11】．已知，若，则的取值范围为 . 【变式11-1】．设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是 ． 【变式11-2】．已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 一、单选题 1．式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤ x≥0，⑥x3中，属于不等式的有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（    ） A． B． C． D．与a、b大小无关 5．下列各式中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 6．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）    A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 7．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．无法确定 10．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 12．判断正误： （1）由，得；( ) （2）由，得；( ) （3）由，得；( ) （4）由，得；( ) （5）由，得；( ) （6）由，得．( ) 13．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 14．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 15．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 16．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以就会出现的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 ． 17．若x、y是两个有理数，且，则的符号是 ． 18．若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 三、解答题 19．用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 20．用“>”或“<”填空： (1)如果a－b<c－b，那么a________c； (2)如果3a>3b，那么a________b； (3)如果－a<－b，那么a________b； (4)如果2a＋1<2b＋1，那么a________b. 21．下列变形是怎样得到的？   （1）由，得； （2）由，得； （3）由，得． 22．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”． （1）______． （2）________0． （3）__________． （4）________． （5）________． （6）_______． （7）________． （8）_______． 23．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 24．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 25．已知x＞y，比较下列式子的大小，并说明理由： （1）2x+1和2y+1 （2）5﹣2和5﹣2y 26．已知． (1)化简； (2)比较和的大小 27．阅读下列材料： 解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解， 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，① 同理得：．② 由①②得． ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （）已知，且，，求的取值范围． （）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）． 28．阅读下列材料,并完成填空. 你能比较2 0132 014和2 0142 013的大小吗？ 为了解决这个问题,先把问题一般化,比较nn+1和(n+1)n(n≥1,且n为整数)的大小.然后从分析n=1,n=2,n=3…的简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.   (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小：(在横线上填上“>”“=”或“<”) ①12__________21；②23__________32；③34__________43；④45__________54；⑤56__________65；⑥67__________76；⑦78__________87；   (2)归纳第(1)问的结果,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系；   (3)根据以上结论,可以得出2 0132 014和2 0142 013的大小关系. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 不等式及其性质（十一大题型） 学习目标 1．了解不等式的概念； 2．会根据实际问题或数学语言列不等式； 3. 掌握不等式的性质及应用； 知识点1 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于（或）等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于（或）等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点2 不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a 、b, 在a >b 、a<b 、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b,b>c, 那么a>c. 要点：如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性.同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式的两边同加(或减)一个数，不等号的方向不变 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 要点： 对不等式的性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质4和性质5的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变. 【即学即练1】用适当的符号表示下列关系： (1)x的3倍与5的差小于1； (2)x的一半不小于3； (3)x与1的差的绝对值是非负数； (4)a是大于－1且不大于2的数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． （1）x的3倍即为，即可列出不等式； （2）x的一半即为，不小于即为大于或等于，即可列出不等式； （3）x与1的差即为，非负数即为大于等于零的数，即可列出不等式； （4）不大于是小于或等于，即可列出不等式； 【解析】（1）根据题意，得； （2）根据题意，得； （3）根据题意，得； （4）根据题意，得； 【即学即练2】在下列数学表达式中，①，②，③，④，⑤，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键， 根据不等式的定义逐个判断即可． 【解析】不等式有， ， ，共3个， 故选：B． 【即学即练3】用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式，不大于5即． 【解析】解：的倍与的的和不大于，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【即学即练4】设，用“”或“”号填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案． 【解析】解：（1）不等式两边都加上1可得； （2）不等式两边都减去3可得； （3）不等式两边都乘以3可得； （4）不等式两边都乘以可得； （5）因为，所以； （6）因为，，所以； （7）不等式两边都减去2可得，因为，所以可得 . 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）. 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质．解题时要注意：在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 【即学即练5】将下列不等式化成“”或“”的形式： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】根据不等式的性质变形即可； 【解析】（1）， 两边同时加上1得：； （2）， 两边同乘-1得：； （3）， 两边同时乘2得：； 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析变形是解题的关键． 【即学即练6】根据不等式的基本性质，可将“mx＜2”化为“x＞”，则m的取值范围是 . 【答案】m＜0 【解析】因为mx＜2化为x＞， 根据不等式的基本性质3得：m＜0， 故答案为m＜0． 题型1：判断是否属于不等式 【典例1】．在下列数学表达式中，不等式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键，“由不等号（，，，，）连接的式子叫不等式”． 【解析】解：不等式有：①；②；④；⑤；所以共有4个． 故选：C． 【变式1-1】．有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】略 【变式1-2】．在下列数学表达式中，属于不等式的是 ． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了不等式的定义，由不等号连接的式子叫不等式，据此进行判断，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【解析】解：①是不等式； ②不是不等式； ③不是不等式； ④是不等式． 故答案为：①④． 【变式1-3】．有下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有 个． 【答案】3 【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可． 【解析】解：①是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ②是用“≤”连接的式子，是不等式，符合题意； ③是等式，不是不等式，不符合题意； ④没有不等号，不是不等式，不符合题意； ⑤是用“＞”连接的式子，是不等式，符合题意； ∴不等式有①②⑤共3个， 故答案为：3． 【点睛】此题考查不等式的定义，用到的知识点为：用“＜，＞，≤，≥，≠”连接的式子叫做不等式． 题型2：实际问题中的不等式的含义 【典例2】．高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙150毫克”，它的含义是指（　　） A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克 【答案】B 【分析】根据不等号的含义，进行判断即可． 【解析】解：根据的含义，“每100克内含钙150毫克”，就是“每100克内含钙不低于150毫克”， 故选：B． 【点睛】本题考查不等号的意义，熟练掌握不等号的意义，是解题的关键． 【变式2-1】．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解． 【解析】解：∵山岭主峰海拔超过1500米． ∴， 故选：B． 【变式2-2】．2024年2月25日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超1.5亿吨．若用（亿吨）表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超1.5亿”即“大于1.5亿”是解题的关键．根据不等式的定义解答即可． 【解析】解：根据题意得：， 故选：B． 【变式2-3】．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【解析】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 题型3：列不等式 【典例3】．x与y的差为负数，用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】与的差是；差是负数，那么所得结果小于0． 【解析】解：与的差是； 差是负数， ． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式． 【变式3-1】．用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【答案】 【分析】根据列代数式的规则，即可求解． 【解析】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：； （2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2： 故答案为：， 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是读懂题意，正确列式． 【变式3-2】．a的平方减去2的差不大于a与b的乘积，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据题意，选择正确的不等号，列出不等式即可，本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的应用是解题的关键． 【解析】根据题意，得， 故答案为：． 【变式3-3】．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成 C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成 【答案】C 【分析】根据各选项的表述列出不等式，逐一判断，即可解答． 【解析】解：a不是负数，可表示成，故A错误； x不大于3，可表示成，故B错误； 与4的差是负数，可表示成，故C正确； x与2的和是非负数，可表示成，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义，注意“”，“”的运用是解题的关键． 题型4：不等式的性质 【典例4】．已知a＞b，用“＞”“＜”填空，并说明理由． (1)a+3________b+3． (2)a-4________b-4． (3)a_______b． (4)-2a________-2b． (5)3a-1________3b-1． (6)1-a________1-b． 【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＞ (4)＜ (5)＞ (6)＜ 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解析】（1）解：不等式的两边都加上了3，依据不等式的性质1，故答案是＞． （2）解：不等式的两边都减去了4，依据不等式的性质1，故答案是＞． （3）解：不等式的两边都乘以了，由于＞0，依据不等式的性质2，故答案是＞． （4）解：不等式的两边都乘以了-2，由于-2＜0，依据不等式的性质3，故答案是＜． （5）解：依据不等式的性质2，3a＞3b，不等式的两边都减去1，不等号的方向仍然不变，故答案是＞． （6）解：依据不等式的性质3，-a＜-b，不等式的两边都加上1，得1-a与1-b，依据不等式的性质1，故答案是＜． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，1.不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;2.不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;3.不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 【变式4-1】．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质，不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变，由此逐项判断即可． 【解析】解： ， 不等式两边同时加上5，不等号方向不变，一定成立，选项A正确； 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，，选项B错误； 不等式两边同时除以5，不等号方向不变，，选项C错误； 不等式两边同时减去5，不等号方向不变，，选项D错误； 故选A． 【变式4-2】．根据不等式的基本性质填空： （1）已知，则 ； （2）若，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】略 【变式4-3】．按照下列条件，根据不等式的基本性质，写出成立的不等式． (1)，两边同加上y． (2)，两边同乘． (3)，两边同除以． (4)，两边同加上，再同除以7． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可得到答案； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （3）根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案； （4）根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即可得到答案． 【解析】（1）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得：； （2）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘，可得； （3）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以，可得：； （4）解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，可得，再同时除以7，可得：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 题型5：不等式的传递性（性质2） 【典例5】．如图，三人分别坐在质地均匀且到中心点O距离相等的跷跷板上，则表示三人体重A，B，C的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质和应用，根据图示，可得，据此判断出三人体重A，B，C的大小关系即可． 【解析】解：根据图示，可得， ∴． 故选：C． 【变式5-1】．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（1），你能判断三人的轻重吗？ （2）P、O、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图（2），你该如何判断这四人的轻重呢？ 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查不等式应用． （1）由图（1）可得，，故即可判断的大小； （2）根据图（2）可得不等式组，由，可得，继而得到，最终可判断本题答案． 【解析】解：（1）由图可知，， ∴； （2）由图可知：；，， 由，，得，即． 由，，得，即， ∴． 题型6：利用不等式的性质，把不等式化成x＞a或x＜a的形式 【典例6】．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案； （3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案； 【解析】解：（1） 两边都加上，得： 合并同类项可得： （2） 两边都减去得： 合并同类项得： （3） 两边都乘以得： （4） 两边都除以得： 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键. 【变式6-1】．根据不等式的性质，把下列不等式化为“”或“”的形式． （1）；（2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将不等式两边同时减去，再两边同时乘2即可解答； （2）将不等式两边同时除以，即可解答. 【解析】解：（1）原不等式的两边同时减去， 得， 不等式的两边同时乘2， 得． （2）在原不等式的两边同时除以，不等号的方向改变， 即． 【点睛】本题考查了不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 灵活运用不等式的性质进行变形是关键. 【变式6-2】．根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式． （1）；（2）． 【答案】（1），（2）． 【分析】（1）根据不等式的性质1进行分析．将不等式两边都加上17； （2）根据不等式的性质1进行分析．将不等式两边都加上-2，两边再减去. 【解析】解：（1）将不等式两边都加上17， 得， 即． （2）将不等式两边都加上， 得． 将不等式两边都减去， 得． 【点睛】本题考查了不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．灵活运用不等式的性质1进行变形是关键. 【变式6-3】．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式． (1)x－2＜3；　　　　　(2)6x＜5x－1； (3)x＞5；　          (4)－4x＞3； (5)－x＜；　    (6) x＞－x－6. 【答案】见解析. 【分析】根据不等式的基本性质1，2进行判断即可. 【解析】（1）由不等式的基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x＜5； （2）由不等式的基本性质1，不等式的两边都减去5x，不等号的方向不变，所以x＜－1； （3）由不等式的基本性质2，不等式的两边都乘2，不等号的方向不变，所以x＞10； （4）由不等式的基本性质2，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x＜－. （5）由不等式的基本性质2，不等式的两边都乘－10，不等号的方向改变，所以x>－1. （6）由不等式的基本性质1，不等式的两边都加上x，不等号的方向不变，所以x>－6. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质1与基本性质2. 题型7：利用不等式变形后的结果，求参数范围 【典例7】．如果不等式，两边同时除以a后变成，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【变式7-1】．已知不等式，当 时，不等式可化为． 【答案】 【解析】解： 移项：， 当时， 解得： 故答案为： 【变式7-2】．若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】略 【变式7-3】．若不等式，两边除以后变成，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，即可求解． 【解析】解：∵不等式，两边除以后变成， ∴， ∴． 故答案为： 题型8：不等式性质的应用—比较大小 【典例8】．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】用作差法比较即可． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果，，那么． 【变式8-1】．已知，试比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式两边同乘一个正数不等号不变求解即可． 【解析】∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】．已知x＞y． (1)比较9－x与9－y的大小，并说明理由； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)m＜0 【分析】（1）由x＞y，两边都乘以可得：－x＜－y，再两边都加上9可得结论； （2）由可得，再结合x＞y，可得m的取值范围． 【解析】（1）解：∵x＞y， ∴－x＜－y， ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵x＞y， ∴m＜0． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟记“（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解本题的关键． 【变式8-3】．请解决以下两个问题： (1)利用不等式的性质1比较与的大小； (2)利用不等式的性质2比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）当时，，即； 当时，，即． （2）因为，所以当时，； 当时，． 【变式8-4】．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】此题主要考查了不等式的解法，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等式号改变，故②错误； （2）根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负号，不等号方向要发生改变，来求解． 【解析】（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故． 题型9：不等式性质的其他应用 【典例9】．在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有 （填上序号） 【答案】①② 【分析】本题主要考查了数轴及不等式的性质，先确定的关系，再运用不等式的性质判定大小，解题的关键是运用不等式的性质判定大小． 【解析】由数轴上数的位置可得， ①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴，故②正确，符合题意； ③∵， ∴，故③错误，不符合题意； ④∵， ∴ ∴，故④错误，不符合题意． 故选答案为：①② 【变式9-1】．当时，将，，，按从小到大的顺序排列并用小于符号连接 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，进行判断即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型10：作差法比较大小 【典例10】．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、） （2）试用（1）提供的方法比较与的大小． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】 本题考查等式的性质，整式加减运算，不等式的性质，掌握等式、不等式的性质是正确判断的前提． （1）根据不等式的性质逐项进行判断即可； （2）将两个式子作差计算，即可得到结论． 【解析】 解：（1）如果，那么， 如果，那么， 如果，那么； （2）， ∴， 即． 【变式10-1】．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么a______b； ②如果，那么a______b； ③如果，那么a______b． (2)（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①比较与的大小； ②若，比较a，b的大小． 【答案】(1)①＜；②＝；③＞； (2)①；②． 【分析】（1）①根据不等式性质即可解答；根据等式的性质即可解答；③根据不等式性质即可解答； （2）①直接运用作差法进行比较即可；②先根据作差法列出不等式，然后根据不等式的性质确定a、b的大小即可． 【解析】（1）解：①如果，，那么； 故答案为＜； ②如果，，那么； 故答案为=； ③如果，，那么； 故答案为＞． （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】本题主要等式的性质、不等式的性质、代数式大小比较等知识点，掌握运用作差法比较大小成为解答本题的关键． 题型11：不等式的性质难点分析 【典例11】．已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，再根据不等式的性质一步步求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】．设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是 ． 【答案】447 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 本题欲求a的最大值，只要取b的最大值，进而取c的最大值，也就是取d的最大值． 【解析】解：因为a，b，c，d都是整数，且， 所以d的最大值是19， 所以， 所以c的最大值是75， 所以， 所以b的最大值是224， 所以， 所以a的最大值是447． 故答案为：447． 【变式11-2】．已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可． 【解析】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最大值为， ∴， ∴， 解得，， ∴的最大值为， 同理，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 一、单选题 1．式子①x-y=2，②xy，③x+y，④x-3y，⑤ x≥0，⑥x3中，属于不等式的有(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义：表示不等关系的式子叫做不等式，可直接选出答案． 【解析】属于不等式的有：②⑤⑥．共3个 故选：B 【点睛】此题主要考查了不等式的定义,解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 2．如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质和绝对值的概念，可得答案． 【解析】解：由x＞y，可得： A、-2019x＜-2019y，故A错误； B、因为x，y的正负未知，所以或，故B错误； C、2019-2x＜2019-2y，故C错误； D、x-2019＞y-2019，故D正确 故选D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．已知，则下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得答案． 【解析】解：∵，m2≥0， ∴m2＞0， ∴a＞b， 故选D． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4．甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（    ） A． B． C． D．与a、b大小无关 【答案】A 【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因． 【解析】解：根据题意得到5×＜3a+2b， 解得a＞b 故选：A． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系． 5．下列各式中正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【解析】A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误； B、当a＜0时，不等式两边乘负数，不等号的方向改变，故B错误； C、当c＜0时，ac＜bc，故C错误； D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（　　）    A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q 【答案】D 【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想． 【解析】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q． 故选D． 【点睛】考点：一元一次不等式的应用，利用数形结合的思想解题是关键． 7．若有关于x的不等式可以推出，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质求解作答即可． 【解析】解：∵的解集为， ∴， 故选：C． 8．已知，则和大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据，则由不等式的性质可得，进而可得． 【解析】解：∵， ∴， 故选：C． 9．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，有理数，，各自对应着，，三个点中的某一点，且，，，那么表示数的点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据乘积小于0，可得a，b异号，再根据和大于0，得正数的绝对值较大，从图上点的位置关系可得a，b对应着点M与点P；根据ac＞bc，变形可得a＞b，从而可得答案． 【解析】∵，， ∴异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， ∴对应着点M与点P， ∵， ∴， ∴数b对应的点为点M， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数与数轴上的点的对应关系，数形结合、明确不等式的性质，是解题的关键． 10．下列命题: ①若则②若则③若则；④⑤若则其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，逐个判断结果正确与否． 【解析】①错误，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；②正确，根据不等式的性质两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号；③ 错误，因为乘以c2=0时；④ 错误，因为不知道a的值；⑤ 错误，则因此有一个正确．故选A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，两边同时加减一个数，不等号方向不变，同时乘以或除以一个大于0的数，不等号方向不变；同时乘以或除以一个小于0的数，不等号方向变号． 二、填空题 11．用不等式表示“的倒数与2的差是非负数”： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，倒数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义， 根据倒数的定义，和非负数的性质即可解答； 【解析】解：依题意得：， 故答案为：． 12．判断正误： （1）由，得；( ) （2）由，得；( ) （3）由，得；( ) （4）由，得；( ) （5）由，得；( ) （6）由，得．( ) 【答案】 正确 正确 正确 正确 错误 错误 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【解析】解：∵2a＞3， ∴不等式的两边都除以2得：a＞， ∴（1）正确； ∵2-a＜0， ∴-a＜-2， ∴a＞2， ∴（2）正确； ∵， ∴不等式的两边都乘以2得：， ∴（3）正确； ∵， ∴不等式的两边都加上m得：， ∴（4）正确； ∵， ∴不等式的两边都乘以-3得：， ∴（5）错误； ∵， ∴不等式的两边都乘以a不能得到：， ∵a的正负不能确定， ∴（6）错误； 【点睛】本题考查了不等式的基本性质的应用，注意：不等式的基本性质有①不等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，不等式的符号不改变，②不等式的两边都乘以或都除以同一个正数，不等式的符号不改变，③不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等式的符号要改变． 13．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案； （3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案； 【解析】解：（1） 两边都加上，得： 合并同类项可得： （2） 两边都减去得： 合并同类项得： （3） 两边都乘以得： （4） 两边都除以得： 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键. 14．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0，自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断即可得解． 【解析】解：①为正数，则，故①说法正确，符合题意； ②为自然数，则，故②说法错误，不符合题意； ③不大于5，则，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 15．如果，则 （填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】用作差法比较即可． 【解析】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果，，那么． 16．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以就会出现的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 ． 【答案】当时， 【分析】根据不等式的性质进行解答即可． 【解析】解：这种说法不对的理由如下： 当时，； 当时，由得． 故答案为：当时，． 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 17．若x、y是两个有理数，且，则的符号是 ． 【答案】正 【分析】根据绝对值的意义和性质、整式乘法公式及不等式的基本性质可以得到解答． 【解析】解：∵x<y<0， ∴|x|>|y|>0， ∴，即 ∴,符号为正． 故答案为正． 【点睛】本题考查绝对值的意义和性质、整式乘法公式及不等式的基本性质，掌握负数绝对值的大小与其本身的大小刚好相反是解题关键． 18．若，，，，，则、、之间的大小关系是 ． 【答案】 【分析】由可得，所以，同理，然后比较a、b、c的大小即可． 【解析】， , , 同理可得, 又, , , 即． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系． 三、解答题 19．用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式． 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式． 20．用“>”或“<”填空： (1)如果a－b<c－b，那么a________c； (2)如果3a>3b，那么a________b； (3)如果－a<－b，那么a________b； (4)如果2a＋1<2b＋1，那么a________b. 【答案】(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜ 【分析】（1）不等式两边加ｂ得，ａ＜ｃ； （2）不等式的两边都除以3即可得解； （3）不等式的两边都除以-1即可得解； （4）由2a＋1＜2b＋1，两边减１，得2a＜2b，两边除以２，得a＜b. 故答案为(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜ 【解析】解：（1）由a－b<c－b得， a<c； （2）由3a＞3b，得a＞b； （3）由－a<－b，得a＞b； （4）由2a＋1＜2b＋1，得2a＜2b，∴a＜b. 故答案为(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＜. 【点睛】本题考查不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 21．下列变形是怎样得到的？   （1）由，得； （2）由，得； （3）由，得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）两边除以再减去得到结果； （2）两边减去再除以得到结果； （3）两边除以加上再乘以得到结果. 【解析】（1）， 两边除以得：， 两边减去得：； （2）， 两边减去得：， 两边除以得：； （3）， 两边除以得：， 两边加上得：， 两边乘以得：. 【点睛】此题考查不等式的性质：不等式的两边加（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 22．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的>”“<”或“=”． （1）______． （2）________0． （3）__________． （4）________． （5）________． （6）_______． （7）________． （8）_______． 【答案】（1）>；（2）>；（3）>；（4）<；（5）<；（6）>；（7）>；（8）． 【分析】（1）根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （4）根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （5）先根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，再根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （6）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （7）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （8）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得． 【解析】由数轴的定义得：， （1）不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则； （2）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即； （3）不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则； （4）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则； （5）不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则； （6）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则； （7）不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则； （8）不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则． 【点睛】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键． 23．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到不等式的解集； （2）根据不等式的性质即可得到不等式的解集． 【解析】（1）解： 不等式两边同时乘， 解得：； （2）解： 不等式两边同时减，得， 不等式两边同时减3，得， 不等式两边同时除以，得． 24．将下列不等式化为“”或“”的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的基本性质： （1）不等式两边同时减去6，即可求解； （2）不等式两边同时除以，即可求解； （3）不等式两边同时减去，即可求解； 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【解析】（1）解：不等式两边同时减去6， 得：， 解得：． （2）不等式两边同时除以， 得：， 解得：． （3）不等式两边同时减去， 得：， 解得：． 25．已知x＞y，比较下列式子的大小，并说明理由： （1）2x+1和2y+1 （2）5﹣2和5﹣2y 【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析． 【分析】（1）、（2）利用不等式的性质进行推理． 【解析】解：（1）∵x＞y， ∴2x＞2y， ∴2x+1＞2y+1； （2）∵x＞y， ∴-2x＜-2y． ∴5-2x＜5-2y． 【点睛】考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质．不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 26．已知． (1)化简； (2)比较和的大小 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减计算，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将利用完全平方公式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【解析】（1）解： （2）解：∵， 而， ∴， ∴， 即． 27．阅读下列材料： 解答“已知，且，，确定的取值范围”有如下解， 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，① 同理得：．② 由①②得． ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （）已知，且，，求的取值范围． （）已知，，若，且，求得取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) 1＜x+y＜5;(2) a+2＜x+y＜-a-2. 【解析】整体分析： （1）先分别确定x，y的取值范围，再根据等式的性质确定x+y的范围；（2）先分别用含a的式子确定x，y的取值范围，再根据等式的性质用含a的式子确定x+y的范围； 解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3. ∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞-1. ∵y＜1，∴-1＜y＜1.…① 同理得：2＜x＜4.…② 由①+②得-1+2＜y+x＜1+4， ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5. （2）∵x-y=a，∴x=y+a. ∵x＜-1，∴y+a＜-1，∴y＜-a-1. ∵y＞1，∴1＜y＜-a-1.…① 同理得：a+1＜x＜-1.…② 由①+②得1+a+1＜y+x＜-a-1+(-1)， ∴x+y的取值范围是a+2＜x+y＜-a-2. 28．阅读下列材料,并完成填空. 你能比较2 0132 014和2 0142 013的大小吗？ 为了解决这个问题,先把问题一般化,比较nn+1和(n+1)n(n≥1,且n为整数)的大小.然后从分析n=1,n=2,n=3…的简单情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.   (1)通过计算(可用计算器)比较下列①～⑦组两数的大小：(在横线上填上“>”“=”或“<”) ①12__________21；②23__________32；③34__________43；④45__________54；⑤56__________65；⑥67__________76；⑦78__________87；   (2)归纳第(1)问的结果,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系；   (3)根据以上结论,可以得出2 0132 014和2 0142 013的大小关系. 【答案】（1）<    <    >    >    >    >    > (2)当n=1或2时,nn+1<(n+1)n；当n≥3时,nn+1>(n+1)n. (3)20132014>20142013. 【解析】试题分析：（1），可借助计算器，分别计算①~⑦中两组数，再比较大小即可； （2）可由（1）归纳出结论，分以及进行讨论； （3）依据（2）的结论，直接令进行分析. 试题解析：（1）①12=1，21=2，则12＜21； ②23=8，32=9，则23＜32； ③34=81，43=64，则34＞43； ④45=1024，54=625，则45＞54； ⑤56=15625，65=7776，则56＞65； ⑥67=279936，76=117649，则67＞76； ⑦78=5764801，87=2097152，则78＞87. （2）从上面的结果，可以猜想出和的大小关系是：当时， 当时， （3）由（2）中规律可知 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$