精品解析：广东省广州市海珠区中山大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

2024学年第一学期数学期数学模拟试题（问卷） 一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分)． 1. 下列式子中是分式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. 2y3+y3=3y6 B. y2•y3=y6 C. （3y2）3=9y6 D. y3÷y﹣2=y5 3. 若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是( ) A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 无法确定 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 5. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，则∠B的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 85° 7. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 10. 若整数a使关于x分式方程的解为负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 值是______． 12. 已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为_____． 13. 如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____． 14. 在RtABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为_____． 15. 边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 _______． 16. 如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算题 （1）计算： （2）化简： 18. 分解因式及解方程 （1）分解因式： （2）解方程： 19. 如图， 中， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ． （1）在图中画出 关于 轴对称的 ，写出点的坐标． （2） 的面积 ． 20. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由． 21. 化简式子然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 22. 已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°． 23. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌篮球的单价； （2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 24. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 （1）理解应用：方程 的解为： （2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 25. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且b满足． （1）求点B的坐标． （2）为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且， ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点，求点的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期数学期数学模拟试题（问卷） 一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分)． 1. 下列式子中是分式的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可. 【详解】、、的分母中不含有字母，属于整式， 的分母中含有字母，属于分式． 故选C． 【点睛】本题考查分式的定义.正确理解分式的定义是解题的关键. 2. 下列运算正确的是（　　） A 2y3+y3=3y6 B. y2•y3=y6 C. （3y2）3=9y6 D. y3÷y﹣2=y5 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的计算法则答即可. 【详解】A. 2y3+y3=3y3,所以A错误； B. y2•y3=y5，所以B错误； C. （3y2）3=27y6，所以C错误； D. y3÷y﹣2=y5，正确. 故本题选D. 【点睛】本题考查的是同底数幂的计算，熟练掌握计算法则是解题的关键. 3. 若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是( ) A. 36° B. 72° C. 36°或72° D. 无法确定的 【答案】B 【解析】 【分析】设顶角为x度，则底角为2x度，根据三角形内角和定理求出x的值即可得. 【详解】设顶角为x度，则底角为2x度， 则：x+2x+2x=180， 解得：x=36， ∴2x=72， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键. 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　）． A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 5. 下列因式分解中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 根据因式分解的方法，进行因式分解，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、无法分解因式，选项错误，不符合题意； 故选C． 6. 已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，则∠B的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 85° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF＝15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°， ∴∠ADB＝90°−15°＝75°， ∵∠C＝35°， ∴∠CAD＝75°−35°＝40°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠CAD＝80°， ∴∠B＝180°−∠BAC−∠C＝180°−80°−35°＝65°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 7. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点，所以可得AD=BD，BC=BD+CD，而△ADC为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC即可求出AC. 【详解】根据题意可得MN是直线AB中点 周长为 已知 ，故选B 【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN是直线AB的中点，这样所有的问题就解决了. 8. 如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为，则点A的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角坐标系和全等三角形的判定和性质，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，则，，即可利用证明，有和．结合点坐标得，，，可求得和即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选C． 9. 已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 证明，可判断，可判断①；根据题意可得，可判断③；由，可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意无法确定的度数， ∴无法确定的度数， ∴无法得到的大小关系，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 10. 若整数a使关于x的分式方程的解为负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】解分式方程和不等式得出关于x的值及x的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a的范围，继而可得整数a的所有取值，然后相加． 【详解】解：解关于x的分式方程，得x＝−2a+1， ∵x≠±1， ∴a≠0，a≠1， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴−2a+1＜0， ∴， 解不等式，得：x＜a， 解不等式，得：x≥4， ∵关于x的不等式组无解， ∴a≤4， ∴则所有满足条件的整数a的值是：2、3、4，和为9， 故选C． 【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的方法，并根据题意得到a的范围是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，根据进行解答即可． 【详解】解：， 故答案为：1 12. 已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可 【详解】解：∵点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)， ∴点A的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，掌握“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 13. 如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据∠CAD＝30°，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可． 【详解】∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6， ∴AD=2CD，BD=CD=BC=3， ∴AD+BD=3CD=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 14. 在RtABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据题意求出CD，根据角平分线的性质求出DE，得到答案． 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E， ∵BC＝6，BD＝2CD， ∴CD＝2， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15. 边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据图列出代数式并掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可得阴影部分的面积= =． 故答案为：． 16. 如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____． 【答案】2＜CD＜7 【解析】 【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围． 【详解】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0， 即（a−5）2＋（b−9）2＝0， ∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0， ∴a−5＝0，b−9＝0， 解得：a＝5，b＝9， ∴BC＝5，AC＝9， 延长CD到E，使DE＝CD，连接AE， ∵CD为AB边上的中线， ∴BD＝AD， 在△BCD和△AED中， ， ∴△BCD≌△AED（SAS）， ∴AE＝BC＝a， 在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE， ∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b， ∴＜CD＜， 则2＜CD＜7． 故答案为：2＜CD＜7． 【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算题 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘方和幂的运算，分式的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键， （1）先根据乘方，零指数幂，负整数指数幂化简，在计算，即可求解； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，然后通分按同分母分式的减法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 分解因式及解方程 （1）分解因式： （2）解方程： 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，熟练掌握平方差公式分解因式和分式方程的解法是解题的关键． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以得： 检验：时， ∴是原方程的增根，原分式方程无解． 19. 如图， 中， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ． （1）在图中画出 关于 轴对称的 ，写出点的坐标． （2） 的面积 ． 【答案】（1）作图见解析，； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对称性找出点，然后顺次连接即可； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周的三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°． （1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）DA=BC，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本作图（作已知角角平分线）作出BD； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=36°，然后根据等腰三角形的判定得到DA=DB，DB=DC，所以BD=AD． 【详解】解：（1）如图所示，BD为所作； （2）DA=BC． 理由如下： ∵AB=AC， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∴∠ABD=∠A， ∴DA=DB， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴BD=BC， ∴DA=BC． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 21. 化简式子然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将括号里的异分母分式相加减通分为同分母分式相加减，再算分式的乘除，再通分计算异分母分式加减即可；根据分式有意义的条件，选取适当的整数代入计算即可． 【详解】解： 满足的整数有：、、0、1、2， 但、、0、1时，原分式式无意义， ∴ ∴当时，原式． 22. 已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°． 【答案】见详解． 【解析】 【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可． 【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N， ∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°， ∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°， 在Rt△MCD和Rt△NCE中， ， ∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL）， ∴∠MCD=∠NCE， ∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键． 23. 阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌篮球的单价； （2）该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 【答案】（1）甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元 （2）最多可购买个乙种品牌的篮球 【解析】 【分析】本题考查分式方程和不等式的应用； （1）设甲种品牌篮球的单价是x元，乙种品牌的单价是元，根据“用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍”，列出关于x的分式方程，解之经检验后即可． （2）设本次购买m个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球，根据“甲品牌篮球按原单价折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元”，列出关于m的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可． 【小问1详解】 设甲种品牌篮球的单价是元，乙种品牌的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际意义， ， 答：甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元， 【小问2详解】 设本次购买个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球， 根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为， 答：最多可购买个乙种品牌的篮球． 24. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 （1）理解应用：方程 的解为： （2）知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】（1）3； （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且b满足． （1）求点B的坐标． （2）为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且， ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点，求点的坐标（用含t的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 【答案】（1） （2）①②且 【解析】 【分析】（1）直接根据绝对值的非负性求出即可； （2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；②过点M作轴于N，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可． 【小问1详解】 ∵，且b满足， ∴， 解得：， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∵且点P在y轴正半轴上， ∴ ②如图3，过点M作轴于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴M点在过B点且与y轴正半轴成夹角的直线上运动， 如图4，设直线与x轴交于点D，当时，最小， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵， ∴﹑均是等腰直角三角形， ∴，， ∴且． 【点睛】此题考查的是坐标与图形，绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $