第20讲 图形的相似与位似（练习，17题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第四章 三角形 第20讲 图形的相似与位似 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 利用比例的性质求解 👉题型02 黄金分割 👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误 👉题型04 平行线分线段成比例 👉题型05 平行线分线段成比例—A型 👉题型06 由平行线分线段成比例—X型 👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 👉题型08 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线 👉题型09 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线 👉题型10 位似图形的识别 👉题型11 求两个位似图形的相似比 👉题型12 求位似图形的对应坐标 👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度 👉题型14 求位似图形的周长 👉题型15 求位似图形的面积 👉题型16 在坐标系中画位似中心 👉题型17 在坐标系中画位似图形 👉题型01 利用比例的性质求解 1．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意； C、由，得，故本选项正确，符合题意； D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单． 2．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论． 【详解】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项， ∴， ∴根据黄金分割的定义可得出：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 3．（2022·江苏淮安·一模）在比例尺为：的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长，它的实际长度约为 ． 【答案】2.8 【分析】根据旅游图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可． 【详解】解：设它的实际长度是，根据题意得： ：：， 解得：， ． 故它的实际长度约为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，实际就是比例的问题，解题的关键是由题意列出比例式求解． 4．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质求d的值． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得． 故选：D． 5．（2024·福建南平·一模）如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查黄金分割，设，则，，整理得，然后解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 整理得 ，， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 👉题型02 黄金分割 1．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（） A．雕像的上部高度与下部高度的关系为： B．依题意可以列方程 C．依题意可以列方程 D．雕塑下部高度为 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， 雕塑下部高度为， 故A、C、D都正确，B不正确， 故选：B 2．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 3．（2024广东模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识； 由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误 1．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可． 【详解】解：、， ∴，故选项A正确； 、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故选项B正确； 、∵， ∴， ∵与的大小关系不能确定， ∴，故选项C错误； 、∵， ∴， ∴，故选项D正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】∵， ，，， 选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 4．（2024深圳市模拟）如图，在中，，，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形对应边成比例逐项验证即可得到答案． 【详解】解： ， 由平行线分线段成比例定理可知，故A错误，不符合题意； ，， 由平行线分线段成比例定理可知，即，故B正确，符合题意； ， 由平行线分线段成比例定理可知，故C错误，不符合题意； ，， ， ，即，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，掌握平行线性质，结合已知图形，准确得到线段成比例是解决问题的关键． 5．（2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，通过证明以及平行线分线段成比例可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故只有C选项不正确 故选：C． 👉题型04 平行线分线段成比例 1．（2023·江苏南京·三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．    【答案】6 【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键． 2．（2024·辽宁·二模）如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 3．（2024宁波市模拟）如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）    A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这一定理是关键，注意定理中要求线段是对应的． 👉题型05 平行线分线段成比例—A型 1．（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 2．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明； （2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ADC=∠AOF； （2）设半径为r， 在Rt△OCD中，， ∴， ∴， ∵OA=r， ∴AC=OC-OA=2r， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴， ∴OE=4， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键． 3．（2024浙江部分城市模拟）如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 4．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解． （2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∴， ∴．    （2）∵是的切线，是的半径， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键 👉题型06 由平行线分线段成比例—X型 1．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 2．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，，， ∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD， ∴，又=5， ∴PD=8， ∵AB∥DQ， ∴，即 解得：CQ=3， 在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平行线成比例定理列相关比例式是解答的关键． 3．（2023·吉林长春·三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题． 例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．    【经验运用】 请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．    （1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点． 求证：①是的中点； ②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________； 【答案】（1）①见解析② （2） 【分析】（1）①过点作交于点，证明，得出即可； ②由等腰直角三角形的性质得出，由平行线得出，证出，由全等三角形的性质得出，即可得出结论； （2）作 交于点，由三角函数证出，得出，证，得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果． 【详解】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：   四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， 是的中点； ②在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：    过点作 交于点，如图2所示： 四边形是矩形， ，，， 在和中，，， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ，， 设，则， 在中，， ，， 即， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键． 4．（2023邵阳市模拟）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．    (1)试说明：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，再由，可得，即可得出结论； （2）根据，，对应线段成比例可得，再由（1）可知，可得，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， （负值舍去）． 答：的长度为． 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 1．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，根据题意找出角度、线段之间的数量关系是解题关键．延长交于点，由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形，根据平行线分线段成比例定理，得出，再证明，结合平行线的性质和对顶角，得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，四个直角三角形全等，四边形、是正方形， ，，，， 是的中点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， 故选：C 2（2024·四川内江·二模）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，，可得，由矩形的性质可得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图， ∵M为的中点，，， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的应用等知识，证明是解题的关键． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，，点是边上一点，且，连接，并取的中点，连接并延长，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】 过点作，交于点，根据平行线分线段成比例定理可得，，设，，根据列方程可得的值，求得的长，由勾股定理可得的长，证明，可得的长，最后由三角形中位线定理可得的长． 【详解】 解：是的中点， ， 如图，过点作，交于点， ，， 设，，则， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，三角形相似的性质和判定，勾股定理，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题． 4．（2024罗湖区模拟）已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线等分线段定理的推论证得，在中，根据勾股定理可求出，，再在中根据勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作，交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ， ， ∴，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正方形的性质，等边对等角，勾股定理，中点的定义等知识．通过作辅助线并根据平行线等分线段定理证明是解题关键． 👉题型08 平行线分线段成比例常用的辅助线—平行线 1．（2023南充高级中学二模）如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则 ． 【答案】/0.2 【分析】如图，作辅助线，由得到，故；再证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作，交于点G， ， ， ， ，， ， 是的中线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线． 2．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 【答案】 12 【分析】（1）根据三角形中线求面积即可； （2）过点E作于点M，由菱形的性质，是的中位线，得，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）为的中点， ， ； （2）如图，过点E作于点M，     四边形为菱形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长． 3．（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过点B作交于H， ∴ ∴，    ∵，E是边上的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 👉题型09 平行线分线段成比例常用的辅助线—垂线 1．（2024南山区模拟）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查求线段长，涉及互余、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形全等判定与性质、平行线分线段成比例、中点的定义等知识，过作于，交于，如图所示，设，，由直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质，在和构成的8字形中，由三角形内角和定理可知，从而由三角形全等判定得到，进而，最后由平行线分线段成比例确定是的中点，即可得到答案，本题难度较大，数形结合，灵活运用相关几何性质及判定是解决问题的关键． 【详解】解：过作于，交于，如图所示：    设，， ，，， ，， ，， 在和中，由三角形内角和定理可知，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，则，即， 是的中点， ， 故答案为：． 2．（2023·广东深圳·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】过点作于，交于， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．（2023·天津南开·一模）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过C点作于H点，证明，得出，证明，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定求出即可解决问题． 【详解】解：过C点作于H点，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 4．（2024·江苏南通·一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】作 轴于, 轴于, 则, 得到 ，利用反比例函数系数k的几何意义得到设A点坐标为 即可得到点坐标为利用,得到 ，于是可计算出 的值． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则 设点坐标为， ∵， ， ， ， ∴点坐标为 ， ， ， ， 即， ， 解得， 故答案为:． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由得到关于的方程是解题的关键． 👉题型10 位似图形的识别 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 2．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对 【答案】A 【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形， 故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点． 淇淇向外扩张得到的新的正方形的边长为，且仍为正方形， 故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点． 故两人说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（    ） A．一定不相似，周长比为 B．一定位似，位似比为 C．一定相似，面积比为 D．一定相似，相似比为 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据勾股定理求出两个三角形的各边长，根据相似三角形的判定定理、性质定理以及位似图形的概念判断即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为、、， 三角形②的三边长分别为、、， ∴三角形①与三角形②相似，且相似比为， ∴三角形①与三角形②的面积比为， ∵三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上， ∴三角形①与三角形②不位似， 故选：C． 👉题型11 求两个位似图形的相似比 1．（2024·重庆渝中·二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解： 与关于点位似，位似比为， ， ， ， 则． 故选：D． 2．（2024北京大学附属中学零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点， ， ∴， 四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为． 故选：D． 3．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，与是位似三角形，点O为位似中心．，则与的位似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求位似图形的相似比，根据已知得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似三角形， ∴与的位似比为， 故选：C． 4．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴； 故答案为：． 👉题型12 求位似图形的对应坐标 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 2．（2020·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）    A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1） 【答案】B 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为， 而A （4，3）， ∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 3．（2023巴中区二模）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据位似的性质，将点的坐标乘以2或即可求解． 【详解】解：∵已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大， ∴点B的对应点的坐标为：或． 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度 1．（2024宝丰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】 根据题意求出位似比，根据位似比计算即可． 【详解】 解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为，C点坐标为， ∴线段与线段的位似比为， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键． 2．（2023·黑龙江绥化·一模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第一象限内，按照位似比，将放大得到，且A点坐标为，B点坐标为，则线段长为 ． 【答案】 【分析】根据点A、B的坐标求出，根据位似变换的性质得到，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵在第一象限内，按照位似比将放大得到， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，掌握位似变换的两个图形相似、根据相似三角形对应边成比例是解题的关键． 👉题型14 求位似图形的周长 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为6，则的周长是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，若， 故的周长和的周长比为， 故的周长是， 故选：B． 2．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，已知与位似，位似中心为点O，若，则与的周长之比为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的概念，掌握位似图形的对应边平行、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵与位似， ， ， ， 与的周长之比为， 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质，正多边形和圆的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．设位似中心为O，连接，，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设位似中心为O，连接，    ∵正方形的外接圆半径为4， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴． ∴正方形的周长为． 故答案为：． 👉题型15 求位似图形的面积 1．（2023·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】根据位似比为推知两个三角形的相似比为．根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”作答．本题考查了位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴ 即与的位似比为， 与相似，相似比为， 与的面积比为． 的面积为4， 的面积是9． 故答案为：9 3．（2023·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是关于原点位似图形的性质，根据位似图形的面积比是相似比的平方解题即可． 【详解】解：与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故答案为：或． 4．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，与位似，位似中心为．与的面积之比为，若，则的长度为（    ） A．6 B．12 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的性质，由题意得出，结合与的面积之比为，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵与的面积之比为， ， ∵， ∴， 故选：A． 5．（2024·四川成都·二模）如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据与是位似图形，得出，，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比， 故选：D． 👉题型16 在坐标系中画位似中心 1．（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0） 【答案】C 【分析】延长EB、DA交于点P，根据位似图形的对应点的连线相交于一点解答即可． 【详解】解：延长EB、DA交于点P， 则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心位置即可． 【详解】解：如图所示： 位似中心点P的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似中心位置是解题关键． 3．（2021·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)和是位似图形，图中点M为所求位似中心，点M的坐标为． 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键； （1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可； （2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，，由交点可得位似中心，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； （2）如图，即为所作图形； （3）由作图可知，，是相似三角形， 又因为对应点所连直线经过同一个点， 所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为． 👉题型17 在坐标系中画位似图形 1．（2023·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． (1)和的相似比是 ； (2)请画出； (3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； (4)的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比； （2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案； （3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：和的相似比是； 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是； 故答案为：； （4）的面积是：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 2．（2022·广东广州·二模）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． (1)的面积是____________； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为2：1，此时点的坐标是___________． 【答案】(1)； (2)图形见解析，． 【分析】（1）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可； （2）先根据画位似图形的方法画出图形，再根据图形写出坐标即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）如图，即为所求作的三角形， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查网格中的三角形面积求法，画位似图形，根据图形写坐标，掌握画位似图形的方法是解题的关键． 3．（2020·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． (3)①点的坐标为 ．②求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作图形． （2）解：如图所示，即为所作图形． （3）解：①点的坐标为． 的面积为． 1．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先证明四边形是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出，，证明得出，则可得出，同理，得出平行四边形是矩形，证明，得出，进而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵E，F，G，H分别为各边中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，同理， ∴平行四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴矩形是正方形， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可； （2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，根据直线上存在点P是图形的“延长2分点”，得到直线与有交点，进而得到当过点时，值最小，进行求解即可； （3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，得到与有交点，求出与相切以及与相切，两种情况求出的临近值，即可得出结果． 【详解】（1）解：作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ∵，， ∴，， ∵点是图形的“延长2分点”， ∴点在线段上， ∵在线段上， ∴是图形的“延长2分点”； 故答案为：； （2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图， ∵，， ∴，， ∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”， ∴直线与有交点， ∴当过点时，值最小， 把，代入，得：， ∴的最小值为； （3）作以原点为位似中心，位似比为的位似， ∵，，， ∴，，， ∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”， ∴当与有交点时，满足题意， 当与相切时，如图，则：或， ∴时，满足题意； 当与相切时，且切点为，连接，则：， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∵，，， ∴轴， ∴， ∵以为圆心，半径为1的， ∴点在直线上，， ∴， ∴， ∴或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变换—位似，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，理解并掌握新定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 2．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法二：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法二：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 3．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D 【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可． 4．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（    ）    A．直线是的垂直平分线 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可． 【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意； B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ∴点E是的中点，， 在中，， ∴， ∴， 即点D是的中点， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 5．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键． 6．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 7．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 8．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 9．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．    【答案】 5 【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得，连接，取的中点，连接，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意， ， ∵过左侧的三个端点作圆，， 又， ∴在上，连接，则为半径， ∵， 在中， ∴ 解得：； 连接，取的中点，连接，交于点，连接，，    ∵， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， 又， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， 设，则 在中， 即 整理得 即 解得：或 ∴题字区域的面积为 故答案为：；． 【点睛】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      【答案】 【分析】由尺规作图可知，射线是的角平分线，由于，结合等腰三角形“三线合一”得是边中点，再由，根据平行线分线段成比例定理得到是边中点，利用梯形中位线的判定与性质得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，射线是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”得是边中点， ， 由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点， 是梯形的中位线， ， 在中，，，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 11．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．    （1）若，则的长是 （结果保留）； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）连接，根据点为的中点，根据已知条件得出，然后根据弧长公式即可求解； （2）连接，根据垂径定理的推论得出，是的切线，则,得出，根据平行线分线段成比例得出，设，则，勾股定理求得,J进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，    ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，连接，    ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 12．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍， ∴四边形和四边形的相似比为， ∵， ∴第一象限内点 ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 13．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    【答案】 【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，    ∵与的相似比为，点是位似中心， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 14．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此； （2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接， ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 15（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． (1)若点与点重合，则线段的长度为______． (2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变，， 【分析】（1）当点与点重合时，、、、、共线，，为的中位线，即可求出的长度． （2）构造，使为的中位线，再构造，进而证得是等边三角形，得出 ．然后由和为等边三角形，推导出，然后再由，最后得出和的长度不变． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图①， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴．， ∴、、三点共线， ∵，， ∴、、、共线， ∵点、分别是，的中点， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：结论：不变． 如解图②，连接并延长到点，使得，连接，，延长，交于点，连接．延长至点，使得，连接，，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，． ∵点为中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ， ∴，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴． 在平行四边形中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴．， 由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴， 又，， ∴（）． ∴， ∴为等边三角形． ∵点、为、的中点， ∴为的中位线， ． ∵． ∴．即的长度不变； ∵和都为等边三角形． ∴，，，， ∴， ∴（）． ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 同理：为等边三角形． ∴．， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∴． ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴为中点， ∴ ， ∴． 故和的长度都不变． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例．本题的难点是构造得出 ． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【答案】(1) (2)①符合，图见详解；②图见详解 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解； （2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图． 【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为； 故答案为； （2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可    由作图可知满足比例关系为的关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：    【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键． 17．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 【答案】(1)点A的坐标为，反比例函数的表达式为； (2)点C的坐标为或 (3)点P的坐标为；m的值为3 【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解； （2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解； （3） 位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D，直线l与双曲线的解析式联立方程组得到，由得到，继而得到直线与直线的解析式中的一次项系数相等，设直线的解析式是：，将代入求得的解析式是：，再将直线与双曲线的解析式联立求得，再用待定系数法求出的解析式是，利用直线的解析式与直线l的解析式联立求得点P的坐标为，再用两点间的距离公式得到，从而求得． 【详解】（1）解：令，则 ∴点A的坐标为， 将点代入得： 解得： ∴ 将点代入得： 解得： ∴反比例函数的表达式为； （2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，    令解得： ∴， ∴， 又∵， ∴ ∵， ∴ 又∵直线l是的垂线即，， ∴， ∴ 设直线l的解析式是：， 将点，点代入得： 解得： ∴直线l的解析式是：， 设点C的坐标是 ∵，(分别代表点B与点C的横坐标) 解得： 或6， 当时，； 当时，， ∴点C的坐标为或 （3）∵位似图形的对应点与位似中心三点共线， ∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为点E，则点A的对应点是点D， ∴点E是直线l与双曲线的另一个交点， 将直线l与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 画出图形如下：    又∵ ∴ ∴ ∴直线与直线的解析式中的一次项系数相等， 设直线的解析式是： 将点代入得： 解得： ∴直线的解析式是： ∵点D也在双曲线上， ∴点D是直线与双曲线的另一个交点， 将直线与双曲线的解析式联立得： 解得：或 ∴ 设直线的解析式是： 将点，代入得： 解得： ∴直线的解析式是：， 又将直线的解析式与直线l的解析式联立得： 解得： ∴点P的坐标为 ∴ ∴ 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键． $$第四章 三角形 第20讲 图形的相似与位似 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 利用比例的性质求解 👉题型02 黄金分割 👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误 👉题型04 平行线分线段成比例 👉题型05 平行线分线段成比例—A型 👉题型06 由平行线分线段成比例—X型 👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 👉题型08 平行线分线段成比例常的辅助线—平行线 👉题型09 平行线分线段成比例常的辅助线—垂线 👉题型10 位似图形的识别 👉题型11 求两个位似图形的相似比 👉题型12 求位似图形的对应坐标 👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度 👉题型14 求位似图形的周长 👉题型15 求位似图形的面积 👉题型16 在坐标系中画位似中心 👉题型17 在坐标系中画位似图形 👉题型01 利用比例的性质求解 1．（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么 ． 3．（2022·江苏淮安·一模）在比例尺为：的南京交通旅游图上，玄武湖隧道约长，它的实际长度约为 ． 4．（2024·安徽芜湖·一模）已知四个数a，b，c，d成比例，且，，，那么d的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（2024·福建南平·一模）如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（   ） A．或 B． C． D． 👉题型02 黄金分割 1．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，设雕像下部高，则下列结论不正确的是（） A．雕像的上部高度与下部高度的关系为： B．依题意可以列方程 C．依题意可以列方程 D．雕塑下部高度为 2．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2024广东模拟预测）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 👉题型03 由平行线分线段成比例判断式子正误 1．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，点D、E、F分别在边上，连接，若，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024深圳市模拟）如图，在中，，，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·二模）如图，在三角形中，D 、F 是边上的点，E 是 边上的点， ， ，则下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 👉题型04 平行线分线段成比例 1．（2023·江苏南京·三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．    2．（2024·辽宁·二模）如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 3．（2024宁波市模拟）如图，已知，它们依次交直线于点A、B、C和点D、E、F，如果，那么的长等于（　　）    A．2 B．4 C． D． 👉题型05 平行线分线段成比例—A型 1．（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ． 2．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 3．（2024浙江部分城市模拟）如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 5．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长．   👉题型06 由平行线分线段成比例—X型 1．（2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 2．（2020·山东菏泽·中考真题）如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为 ． 3．（2023·吉林长春·三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题． 例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．    【经验运用】 请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．    （1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点． 求证：①是的中点； ②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；   4．（2023邵阳市模拟）如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．    (1)试说明：． (2)求的长． 👉题型07 平行线分线段成比例与三角形中位线综合 1．（2024·江西吉安·二模）如图，“赵爽弦图”是一个由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若是的中点，，连接并延长交于点，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 2（2024·四川内江·二模）如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，，点是边上一点，且，连接，并取的中点，连接并延长，交于点，则的长为 ． 4．（2024罗湖区模拟）已知正方形的边长为，延长到点，使，取的中点，连接、，与的延长线相交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 👉题型08 平行线分线段成比例常用的辅助线—平行线 1．（2023南充高级中学二模）如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则 ． 2．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为 ． 3．（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    👉题型09 平行线分线段成比例常用的辅助线—垂线 1．（2024南山区模拟）如图，在四边形中，对角线、相交于点，，且，若，则的值为 ．    2．（2023·广东深圳·一模）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 ． 3．（2023·天津南开·一模）如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使，延长交于点M，连接，若C为中点，，则的长为 ． 4．（2024·江苏南通·一模）如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为 ． 👉题型10 位似图形的识别 1．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 2．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下： 嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似； 淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）    A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对 4．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（    ） A．一定不相似，周长比为 B．一定位似，位似比为 C．一定相似，面积比为 D．一定相似，相似比为 👉题型11 求两个位似图形的相似比 1．（2024·重庆渝中·二模）如图，与关于点位似，位似比为，已知， 则的长等（　）    A． B． C． D． 2．（2024北京大学附属中学零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）    A．四边形与四边形的相似比为 B．四边形与四边形的相似比为 C．四边形与四边形的周长比为 D．四边形与四边形的面积比为 3．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，与是位似三角形，点O为位似中心．，则与的位似比为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·三模）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 👉题型12 求位似图形的对应坐标 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 2．（2020·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）    A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1） 3．（2023巴中区二模）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点B的对应点的坐标（    ） A． B．或 C． D．或 👉题型13 已知位似图形的相似比求线段长度 1．（2024宝丰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　） A．2 B．4 C． D． 2．（2023·黑龙江绥化·一模）在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，在第一象限内，按照位似比，将放大得到，且A点坐标为，B点坐标为，则线段长为 ． 👉题型14 求位似图形的周长 1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为6，则的周长是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 2．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，已知与位似，位似中心为点O，若，则与的周长之比为（     ）． A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感悟数学之美．如图，以正方形的对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若四边形的外接圆半径为4，，则正方形的周长为 ．    👉题型15 求位似图形的面积 1．（2023·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知与是以原点为位似中心的位似图形，且，则与的面积之比是 ． 2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，．若的面积为4，则的面积是 ． 3．（2023·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ． 4．（2023·重庆九龙坡·二模）如图，与位似，位似中心为．与的面积之比为，若，则的长度为（    ） A．6 B．12 C．18 D．20 5．（2024·四川成都·二模）如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 👉题型16 在坐标系中画位似中心 1．（2022·河北邯郸·三模）如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0） 2．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是 ． 3．（2021·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 👉题型17 在坐标系中画位似图形 1．（2023·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． (1)和的相似比是 ； (2)请画出； (3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； (4)的面积是 ． 2．（2022·广东广州·二模）已知：在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）． (1)的面积是____________； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为2：1，此时点的坐标是___________． 3．（2020·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出． (3)①点的坐标为 ．②求的面积． 1．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形：线段，，，在中，______是图形的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧； ④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（2023·江苏·中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 4．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（    ）    A．直线是的垂直平分线 B． C． D． 5．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 6．（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 8．（2024·四川成都·中考真题）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 9．（2023·浙江温州·中考真题）图1是方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型(如图2)，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形作为题字区域(点，，，在圆上，点，在上)，形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点，，在同一直线上，，，则题字区域的面积为 ．    10．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      11．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．    （1）若，则的长是 （结果保留）； （2）若，则 ． 12．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．    13．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为 ．（结果用含，的式子表示）    14．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 15（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在▱中，，，，为边上的动点．连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作，交直线于点．连接、，分别取、的中点、，连接，交于点． (1)若点与点重合，则线段的长度为______． (2)随着点的运动，与的长度是否发生变化？若不变，求出与的长度；若改变，请说明理由． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉璧，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？ ②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 17．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． $$