专题01 相似三角形的判定与性质12大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 以12类题型构建从基础判定到动态综合的递进训练体系，覆盖中考高频考点与难点，突出知识应用的层次性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定与条件补充|题型1-2（8题）|考查判定定理综合应用及条件补充|从判定公理推导到开放型条件探究| |性质应用与计算|题型3-5（16题）|涉及性质计算、坐标求解、网格作图|性质应用与几何直观、空间观念结合| |动态与图形变换综合|题型6-10（20题）|动点、旋转、翻折、函数综合问题|从静态到动态，体现推理能力与模型观念| |地区与创新题型|题型11-12（8题）|河北特色综合题及新定义问题|结合地区考情，培养创新意识与应用意识|

专题01 相似三角形的判定与性质 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定与性质 题型01 相似三角形的判定综合 题型02 选择或补充条件使两个三角形相似 题型03 利用相似三角形的性质求解（高频） 题型04 利用相似关系求坐标 题型05 在网格中画相似三角形 题型06 相似三角形的动点问题（高频） 题型07 重心的有关性质（高频） 题型08 相似三角形与旋转问题（难） 题型09 相似三角形与翻折问题（难） 题型10 相似三角形与函数问题（难） 题型11 相似三角形的综合问题（河北地区）（难） 题型12 相似三角形的新定义问题 （难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定与性质 ◆题型01 相似三角形的判定综合 1．（26-27九年级·河北保定·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 2．（25-26九年级上·河北·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 4．（2024·河北·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． ◆题型02 选择或补充条件使两个三角形相似 5．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 7．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 8．（2022·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． ◆题型03 利用相似三角形的性质求解 9．（22-23九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 11．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 12．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． ◆题型04 利用相似关系求坐标 13．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江宁波·二模）如图，在直角坐标系中，的顶点，．以点为位似中心，在第三象限内作与的相似比为的位似图形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·山西太原·三模）如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． ◆题型05 在网格中画相似三角形 17．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 18．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 19．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 20．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． (1)在图1中，作的高线； (2)在图1中，在上画一点F，使； (3)在图1中，在上画一点G，使； (4)在图2中，P是上一点，连接，将以点B为位似中心缩小到原来的得到． ◆题型06 相似三角形的动点问题 21．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． (1)当为何值时，点，相距； (2)当为何值时，与相似． 22．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 23．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 24．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． ◆题型07 重心的有关性质 25．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 26．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在中，，，，是的重心． (1)求点到边中点的距离． (2)求点到直线的距离． 27．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 28．（25-26八年级上·广西钦州·期末）项目式学习． 【项目背景】我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态． 【探究1】关于三角形的重心还有哪些性质呢？ （1）如图2， 是的中线，它们面积的大小关系为： （填写，或）； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点O为的重心，求 ； （3）如图4，在中， 点O为的重心． 连接并延长， 分别交于点D， E． 若， 求的面积； 【探究2】小王向小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A 的重心与图形B的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． ◆题型08 相似三角形与旋转问题 29．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 30．（第07讲相似三角形综合-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点D 与三角板的斜边中点O重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点O旋转，设射线与射线相交于点P，射线与线段相交于点Q．    (1)如图1，当射线经过点B，即点Q与点B重合时，易证，则此时______； (2)将三角板由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中，问的值是否改变？请说明理由． 31．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 32．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究： 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，． (1)试猜想线段与的关系为 ； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，． ①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长； ②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． ◆题型09 相似三角形与翻折问题 33．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段检测）翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论，点E是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点B落在点F处． (1)如图1，当点E与点A重合时，交于点G，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点F恰好是与的交点，且时，求的长． 34．（2025·湖北恩施·一模）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且． (1)如图1，是______三角形； (2)若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点在上，且不与，两点重合，连接并延长到点，使得，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上．当时，求的长． 35．（2024·内蒙古兴安·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 36．（2024·湖南岳阳·一模）如图，在矩形中，点为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，交于点． (1)如图1，当点在边上，点在边上时，若，，求的值； (2)如图2，当点在边上，点在边上时，若，且时，求的长； (3)如图3，当点在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长． ◆题型10 相似三角形与函数问题 37．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 38．（2026·江苏泰州·二模）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，反比例函数（为常数，且）的图像与一次函数的图像交于点，且点的横坐标为1．过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是一次函数图像上一点（与点不重合），是平面内的一点，以点为位似中心，把按相似比为放大得到，即与的相似比为，求点的坐标． 39．（2026·安徽淮南·三模）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． (1)求出反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标． 40．（2026·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)若为直线上一动点，当时，求点的坐标． ◆题型11 相似三角形的综合问题（河北地区） 41．（2022·河北沧州·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 42．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在正方形中，点、分别在边、上，且．对角线分别交、于点、，联结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作交的延长线于点，如果，求证：． 43．（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 44．（25-26八年级下·上海宝山·期中）【问题提出】我们已经会用尺规作图画出已知线段的中点，那么如何用尺规作图画出已知线段的三等分点呢？ (1)【知识回顾】 利用三角形重心定理，可以尺规作图画出任意一个三角形的中线的一个三等分点．如图1，在中，中线与相交于点，则线段_______ ． 【问题解决】 (2)方法一：如图2，作法如下． ①过线段的端点画一条直线，以为圆心，任意长为半径画弧交直线于点、，连接、； ②以点、为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，交点的连线交于点； ③连接交于点，点即线段的一个三等分点．…… 请根据上述作法在图2中作出点G，并继续用尺规作图画出线段的另一个三等分点，不用说明作图过程，需要保留作图痕迹． (3)方法二：如图3，作法如下． ①以线段为一边作，以、为圆心，以线段、的长为半径作弧，两弧在线段下方交于点B，连接、； ②作线段和的中点、，连接、分别交于点和；所以，、即的三等分点．请根据上述的作法，证明：． ◆题型12 相似三角形的新定义问题 45．（2026·河北唐山·二模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 46．（25-26九年级上·河北唐山·期末）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． 47．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 48．（2025·上海宝山·模拟预测）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值； (3)如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，，且边在轴上，点的横坐标是6，如果反比例函数的图像经过的重心，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2026·河南信阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E为的中点，过点E作，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24九年级上·河北·阶段检测）如图，边长4的正方形中，有一个小正方形，其中分别在边，，上．若，那么小正方形的边长等于（    ） A．4 B． C．2 D． 4．（25-26九年级上·河北·期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2026·上海·模拟预测）如图，在正方形中，E是边的中点，，垂足为点F．如果，那么的面积为__________． 7．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，平行四边形中，点、分别是边、上的点，若是中点，是中点，连接交于点，则的值为_____． 8．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 9．（2026·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 10．（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 11．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知梯形中，，．以点为圆心、为半径画弧，与直线的另一个交点记为点． (1)在图中作出点，并证明：； (2)设的中点为点，联结，如果，求证：． 12．（2026·河北沧州·三模）如图，在中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点．如果，求证：． 13．（2026·安徽阜阳·二模）点E在菱形的边上，与相交于F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长至G，使得，连接，求证：； (3)如图3，连接，若，求证：． 14．（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知，，，，，是平面上的五个点，连接，，，，有，且，过作交于点． (1)如图1，连接，连接交线段于点，延长交线段于点，当时， ①求证：四边形是菱形． ②求的长． (2)如图2，连接，，，当的面积等于时，四边形的面积等于，求的长． 15．（2026·河北沧州·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点、交于点，且，． (1)如果，求证：； (2)连接．如果，求证：是的中点． 16．（25-26九年级下·河北·期中）如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且． (1)求证：； (2)在图中延长与交于点H，如果，求证：． 17．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，点是边中点，与交于点．      (1)连接，当时， ①求证：平行四边形是菱形； ②若，，求的长；（提示：构造三角形重心） (2)过点作，垂足为，若点、、共线，且满足，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形的判定与性质 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定与性质 题型01 相似三角形的判定综合 题型02 选择或补充条件使两个三角形相似 题型03 利用相似三角形的性质求解（高频） 题型04 利用相似关系求坐标 题型05 在网格中画相似三角形 题型06 相似三角形的动点问题（高频） 题型07 重心的有关性质（高频） 题型08 相似三角形与旋转问题（难） 题型09 相似三角形与翻折问题（难） 题型10 相似三角形与函数问题（难） 题型11 相似三角形的综合问题（河北地区）（难） 题型12 相似三角形的新定义问题 （难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 相似三角形的判定与性质 ◆题型01 相似三角形的判定综合 1．（26-27九年级·河北保定·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 2．（25-26九年级上·河北·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； (2) 证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1） 略 （2） 略 4．（2024·河北·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型02 选择或补充条件使两个三角形相似 5．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； (2) 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】 使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】略 7．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②， 证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】略． 8．（2022·浙江杭州·一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． ◆题型03 利用相似三角形的性质求解 9．（22-23九年级下·江苏常州·开学考试）如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 11．（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 12．（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型04 利用相似关系求坐标 13．（2026·浙江金华·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为，若、、的坐标分别为、、，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两点间距离公式求出两个三角形的位似比，过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，易证明，则，据此求出、长，从而求出点的坐标． 【详解】解：、、， 、， ， 即与的位似比为， 过点D作轴于点E，过点B作轴于点F， ， ， ， ， 、， 、， ， 解得：、， ， 点D的坐标为． 14．（2026·浙江宁波·二模）如图，在直角坐标系中，的顶点，．以点为位似中心，在第三象限内作与的相似比为的位似图形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与以点为位似中心，相似比为，可得，由，，可得轴，则轴，延长，分别交轴于点，，则，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵与以点为位似中心，相似比为， ∴， ∵，， ∴轴， ∴轴， 延长，分别交轴于点，，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第三象限， ∴点的坐标为． 15．（2026·山西太原·三模）如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． ◆题型05 在网格中画相似三角形 17．（22-23九年级上·浙江金华·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴； （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴． 18．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 19．（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 20．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下问题，每问的画线不得超过三条． (1)在图1中，作的高线； (2)在图1中，在上画一点F，使； (3)在图1中，在上画一点G，使； (4)在图2中，P是上一点，连接，将以点B为位似中心缩小到原来的得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析； (4)见解析； 【分析】（1）取格点、，连接并延长与交于点，可通过全等得出，再结合，得出，即； （2）取格点，连接与交于点，先利用相似三角形的性质，得出，则，结合勾股定理进而推出，则，即； （3）取格点、，连接并延长与交于点，则，得，，即垂直平分，即可得出； （4）在上取三等分点，取格点，连接与交于点，由可得与相似，且相似比比为． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，点F即为所求； （3）解：如图，点G即为所求； （4）解：如图即为所求． ◆题型06 相似三角形的动点问题 21．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． (1)当为何值时，点，相距； (2)当为何值时，与相似． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）利用当时和当时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 即或； （2）解：当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 22．（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． (1)当t是多少时，； (2)四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． (3)能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，36 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； （2）解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 23．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、解一元二次方程： （1）根据，即可求得答案； （2）分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】（1）当时，，． ∵点是的中点， ∴． ∴． （2）当运动时间为时，，． （Ⅰ）当时， 则，即 ． 解得：． （Ⅱ）当时， 则时，即 ． 解得：，． 综上所述，或或． 24．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． ◆题型07 重心的有关性质 25．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 26．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在中，，，，是的重心． (1)求点到边中点的距离． (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长，再根据重心的性质即可求解； （2）过点G作于点E，连接，先根据中线和重心的性质可得的面积，再根据三角形面积计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点， ∵是的重心， ∴是的中线， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴点到边中点的距离为． （2）解：如图，过点G作于点E，连接， 由题意得，， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为． 27．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【答案】(1)相等，； (2) 解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可； （2）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）略 28．（25-26八年级上·广西钦州·期末）项目式学习． 【项目背景】我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态． 【探究1】关于三角形的重心还有哪些性质呢？ （1）如图2， 是的中线，它们面积的大小关系为： （填写，或）； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点O为的重心，求 ； （3）如图4，在中， 点O为的重心． 连接并延长， 分别交于点D， E． 若， 求的面积； 【探究2】小王向小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A 的重心与图形B的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 【答案】（1） （2） （3） （4）如图所示，直线即为所求． 【分析】（1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，来求解． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出的面积． （4）将图6的图形拆分为两个基本图形（三角形和长方形），分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，， ∴即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴． ， ， ， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， 故答案为：． （4）略 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． ◆题型08 相似三角形与旋转问题 29．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 30．（第07讲相似三角形综合-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点D 与三角板的斜边中点O重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点O旋转，设射线与射线相交于点P，射线与线段相交于点Q．    (1)如图1，当射线经过点B，即点Q与点B重合时，易证，则此时______； (2)将三角板由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其中，问的值是否改变？请说明理由． 【答案】(1)8 (2)不变 【分析】（1）证明，可得，根据等腰三角形的性质求得，再代入求值即可； （2）根据旋转的性质可得，，从而证明，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵三角板的锐角顶点D 与三角板的斜边中点O重合， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）解：的值不会改变，理由如下； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质证明是解题的关键． 31．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）； （2）证明：∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）略 （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 32．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究： 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，． (1)试猜想线段与的关系为 ； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，． ①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长； ②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)成立， 连接，延长交于点K，交于点O， 在中，，点D是的中点， ∴，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴，且， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (3)①，②10 【分析】（1）如图1，延长交于，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （2）如图2，连接，延长交于点K，交于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （3）①如图3，连接，先利用等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理列方程，进而解方程即可； ②如图2，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，先根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，，设，由勾股定理可得，然后解方程得到，，证明，得，进而求得即可求解． 【详解】（1）解：，． 理由：如图1，延长交于． 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，； （2）略 （3）解：①如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点是的中点，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于， ∵是等腰直角三角形，，点是的中点，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线是解答的关键． ◆题型09 相似三角形与翻折问题 33．（24-25九年级下·山东枣庄·阶段检测）翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论，点E是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点B落在点F处． (1)如图1，当点E与点A重合时，交于点G，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点F恰好是与的交点，且时，求的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设，由折叠得，再求出，然后证，得出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由折叠得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 34．（2025·湖北恩施·一模）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且． (1)如图1，是______三角形； (2)若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，点在上，且不与，两点重合，连接并延长到点，使得，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上．当时，求的长． 【答案】(1)等腰 (2) (3)． 【分析】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、折叠的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，由等角对等边可得是等腰三角形； 如图1，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得：，设，，由勾股定理得，设，根据相似三角形的性质可得，最后利用勾股定理列方程可得与的关系，从而得结论； （3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而由等腰三角形三线合一的性质得，证明，列比例式可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图1，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去） ∴； （3）解：如图2，过点作， 由折叠得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 由（2）知：，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 35．（2024·内蒙古兴安·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“特殊的平行四边形折叠”为主题开展数学活动．    (1)操作发现 如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点 ，求证：； (2)迁移探究 如图，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． 【答案】(1) 证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； (2)． 【分析】（）利用证明即可； （）延长，交于点，设，根据勾股定理求出，证明，设，则，然后对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）如图，延长，交于点，    设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿翻折到处， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 36．（2024·湖南岳阳·一模）如图，在矩形中，点为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，交于点． (1)如图1，当点在边上，点在边上时，若，，求的值； (2)如图2，当点在边上，点在边上时，若，且时，求的长； (3)如图3，当点在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出，由翻折知，即可求出； （2）由扩叠的性质，，，则,再证，由相似比得出,再证,从而解决问题； （3）证得,再由勾股定理得,再证，通过相似比解决问题． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， 由翻折知， ． （2）由折叠的性质得：，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，即， 解得：或（舍去负值） ， （3）四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， 在中，， ∴， 即 解得 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． ◆题型10 相似三角形与函数问题 37．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． 38．（2026·江苏泰州·二模）如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，反比例函数（为常数，且）的图像与一次函数的图像交于点，且点的横坐标为1．过点作轴，垂足为点，且的面积为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)是一次函数图像上一点（与点不重合），是平面内的一点，以点为位似中心，把按相似比为放大得到，即与的相似比为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由的面积求出点的坐标，分别代入一次函数、反比例函数解析式即可． （2）根据位似图形的性质，由相似比求出的长，和与的面积比，从而求出的面积，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 点的坐标为， 把点的坐标为分别代入，中得， 一次函数的表达式为，反比例函数表达式为； （2）与的相似比为，点为位似中心， ，， ， ， 或， 把，分别代入中得，， 点的坐标为或． 39．（2026·安徽淮南·三模）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． (1)求出反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为与轴交于点，得出，根据一次函数和反比例函数交于点A，且A的横坐标为1，求出A的纵坐标，求出，得出反比例函数的表达式． （2）作辅助线如下图，根据直角三角形的两个锐角互余，得出，所以，根据三角形相似的性质：相似三角形对应边成比例，求出的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点 ， 点A在直线上，且横坐标为1，把代入，解得 点的坐标为 在反比例函数上 反比例函数的表达式为 （2） 解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，设 点的坐标为 40．（2026·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)若为直线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分两种情况：当在线段上时，当点在延长线时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， ， 反比例函数的表达式为， 把点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：①当在线段上时，如图1，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 则， 设， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； ②当点在延长线时，如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 则， 设， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或； ◆题型11 相似三角形的综合问题（河北地区） 41．（2022·河北沧州·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明： ∵， ∴， 即． ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． (2)证明： ∵线段满足， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由和公共角，可得；由和都是等腰三角形可得两三角形两腰分别相等，再由 与边、角、边对应相等可得，最后由全等三角形对应边相等从而得出结论． （2）先由推出（相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等），再结合第（1）问的全等结论，推导，从而证明平行四边形是菱形（菱形定义：邻边相等的平行四边形是菱形）． 【详解】（1）略 （2）略 42．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在正方形中，点、分别在边、上，且．对角线分别交、于点、，联结、． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作交的延长线于点，如果，求证：． 【答案】(1)证明：如图，连接，且交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形； (2)证明：如图，由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即可整理为： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）连接，先证明，再证明，利用菱形的判定即可完成； （2）由菱形的性质及可证明，从而可得，再由垂直得，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 43．（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：由题可知，，即， ，， 平行四边形纸片， ， ，则， ，即是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和垂直的定义，等量代换即可求解； （2）根据平行四边形的性质和垂直的定义，易证和是等腰直角三角形，可得，，再利用“”即可证明； （3）根据题意作图，先确定为的中点，不妨取，证明，得到，再利用勾股定理可得，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ， ， ， 平行四边形纸片， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，的垂直平分线交于， 中点为， 由，不妨取， 由（1）知，即，， ，又垂直平分， 则分别为的中点， ，又中点为， ，，则， 又， ，又， ，又， ， ， 又，即 ， ， ，由（2）知， ， ， 即的值为． 44．（25-26八年级下·上海宝山·期中）【问题提出】我们已经会用尺规作图画出已知线段的中点，那么如何用尺规作图画出已知线段的三等分点呢？ (1)【知识回顾】 利用三角形重心定理，可以尺规作图画出任意一个三角形的中线的一个三等分点．如图1，在中，中线与相交于点，则线段_______ ． 【问题解决】 (2)方法一：如图2，作法如下． ①过线段的端点画一条直线，以为圆心，任意长为半径画弧交直线于点、，连接、； ②以点、为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，交点的连线交于点； ③连接交于点，点即线段的一个三等分点．…… 请根据上述作法在图2中作出点G，并继续用尺规作图画出线段的另一个三等分点，不用说明作图过程，需要保留作图痕迹． (3)方法二：如图3，作法如下． ①以线段为一边作，以、为圆心，以线段、的长为半径作弧，两弧在线段下方交于点B，连接、； ②作线段和的中点、，连接、分别交于点和；所以，、即的三等分点．请根据上述的作法，证明：． 【答案】(1) (2)如图，，即为所求三等分点： (3)由作图可知，，，四边形是平行四边形， 、是线段和的中点， ， ， ， ， ， 即， 同理可得：， ． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理可得出，，然后根据相似三角形的判定和性质即可得出结果； （2）根据题意作出点即可，由于点是的三等分点，故再求第二个三等分点只需作的中点即可； （3）由作图可知，，，四边形是平行四边形，再求出，利用相似三角形的性质可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，由三角形中位线性质可得出： ，， ， ， ， ． （2）取长度为半径，以，为圆心分别做弧，交于上方和下方各两点，连接两点，交于，即为第二个三等分点． （3）略 ◆题型12 相似三角形的新定义问题 45．（2026·河北唐山·二模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】先根据等腰三角形的性质求出各内角的度数，再结合“等对角四边形”的定义分两种情况进行解答即可． 【详解】解：在中，， ， 设过点的直线与相交于点P，连接， 由翻折的性质可知 当四边形是“等对角四边形”时，有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴和点重合，如图所示， 此时， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴， 整理得到， 解得， 即（不合题意，舍去）， ∴时，， 即 ②当时，如图所示， 同理可得， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 综上可知，的值为或． 46．（25-26九年级上·河北唐山·期末）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为__________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”性质、相似三角形判定与性质、勾股定理，以及分类讨论思想的应用．先作等腰的高，用勾股定理求出，根据“差直角三角形”定义，分和两种情况讨论．第一种情况通过角的等量代换推导，用相似比求，再用勾股定理得；第二种情况构造平行线，得，结合列方程求，再用勾股定理得． 【详解】解：如图，过点作于，过点作，交于． ∵，， ∴为中点，， ∴． ∵， ∴为钝角． 分两种情况： ①，则， ∴=． ∵，， ∴， ∴，解得， ∴； ②，则， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴，即， ∴，． ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 综上，的长为或． 47．（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵四边形是梯形，， 又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据等比性质可得，即， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先证四边形和四边形的四个角都是直角，从而可得四边形和四边形都是矩形，再证这两个矩形的四组对应边成比例即可得证． （2）由四边形是梯形，，，可得，从而可得梯形和的四个角对应相等．梯形是等腰梯形可推出梯形和都是等腰梯形，则，．作交于G，作交于H，则可得则四边形和 都是平行四边形，进而得，从而可得，结合和等比性质可得，则可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，相似三角形的判定和性质，比例的性质，平行四边形的判定和性质等．熟练掌握以上知识，正确理解相似多边形的定义是解题的关键． 48．（2025·上海宝山·模拟预测）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点P，D，E分别在，，上，连接，，． (1)如图1，P是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图2，当，，是的镶嵌相似形，，求：的值； (3)如图3，当，，，是的镶嵌相似形，且与不平行时，试求：边的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是的镶嵌相似形； (2)2 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由平行截得线段成比例，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）由平行线分线段成比例可得，，根据P是中点得，所以，即可得到，从而得证； （2）由题易得和是等腰三角形，所以易得，利用三等角模型可得，进而转化比例线段可得，由可求得的值，进而得解； （3）分①，②两种情况讨论，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵是的镶嵌相似形，， ∴也是等腰三角形，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是的镶嵌相似形，， ①当时， 有， 过点P作于H，作于I， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∵， ∴， 解得：（舍去负值） ∴； ②当时， 此时，则， 显然不成立，舍去； 综上所述，． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，，且边在轴上，点的横坐标是6，如果反比例函数的图像经过的重心，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接并延长交x轴于点C，根据题意得出，，确定，再由重心的性质得出，确定，代入解析式即可求解 【详解】解：连接并延长交x轴于点C，如图所示： ∵，，反比例函数的图像经过的重心， ∴，， ∵点的横坐标是6， ∴， ∴， ∵重心， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过的重心， ∴ 2．（2026·河南信阳·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E为的中点，过点E作，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ，． ， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 3．（23-24九年级上·河北·阶段检测）如图，边长4的正方形中，有一个小正方形，其中分别在边，，上．若，那么小正方形的边长等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，利用勾股定理求出，然后证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】解：正方形的边长为4，， ， 四边形和均为正方形， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北·期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．由可得，推出，证明四边形是平行四边形，得到，则，即可得求解． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）中，，，，点在边上，，点在的边上，若直线截两边所得的三角形与相似，则这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断点E的位置，然后利用相似三角形的性质验证即可． 【详解】①当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ②当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； ④当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意； 故选C． 6．（2026·上海·模拟预测）如图，在正方形中，E是边的中点，，垂足为点F．如果，那么的面积为__________． 【答案】40 【分析】根据正方形的性质和中点的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，证明求出的长，利用平行线间的距离求出的面积，最后根据同高三角形面积比等于底边比求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，，E是边的中点， ∴，，，， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点E到的距离等于的长， ∴， 设点A到的距离为h， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，平行四边形中，点、分别是边、上的点，若是中点，是中点，连接交于点，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定及性质，延长，，交于点，容易证得，进而求得，结合，可得，进而得到． 【详解】 如图所示，延长，，交于点． 因为四边形为平行四边形， 所以，． 所以，． 因为是中点， 所以． 所以． 所以，． 因为是中点， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以，． 所以． 所以． 所以． 故答案为： 8．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【答案】4.8或7.5或10 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分三种情况进行讨论，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分三种情况讨论： ①当时，则：， 即：，解得：； ②当时，则：， 即：，解得：； ③当点Q和点B重合时，， ∴， ∴ 又∵ ∴，符合题意． 综上：秒或秒或10秒． 9．（2026·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据相似可知三角形重心满足，再根据菱形对角线性质，，进而可知，再根据相似三角形即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接与交于点，则点G为重心， 在菱形中，连接， ∴为的中点， ∴点在的线段上， ∴，, ∴,，， ∴，是的中点， ， ∴， ∴， ∵关于的对称点是, ∴， ∴， ∵菱形的面积为18， ∴， ∵， ∴,， ∴， ， ． 10．（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 【答案】15 【分析】根据矩形的性质得到，，，由旋转的性质得到，从而，，，结合点在的延长线上可得，进而证明，求出的长，最后利用计算即可． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵点在的延长线上， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴， 在和中 ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上，点在上， ∴， ∵，， ∴． 11．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知梯形中，，．以点为圆心、为半径画弧，与直线的另一个交点记为点． (1)在图中作出点，并证明：； (2)设的中点为点，联结，如果，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的判定及性质、平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，即可得证； （2）联结、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，，设，根据平行四边形的性质及等腰三角形的性质等求证即可. 【详解】（1）解：如图，点为所求， 过点作， ， ， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由作图得， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：联结、， 是的中点， ， 由（1）得，， ， ， ， ， （）， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 设， ， ， ，， ，， ， ， . 12．（2026·河北沧州·三模）如图，在中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点．如果，求证：． 【答案】(1)证明：是边上的中线，为边的中点， ∴是的中位线， ，． ，为边的中点， ∴， ， ． ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． (2)证明：如图， ， ． ∵四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ． ， ， ，即． ，是边上的中线， ， ， ． 【分析】（1）由三角形中位线的性质得，，由平行线分线段成比例定理得，从而得出，可证四边形是平行四边形，结合，可证四边形是矩形； （2）证明得，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可证结论成立． 【详解】（1）略； （2）略． 13．（2026·安徽阜阳·二模）点E在菱形的边上，与相交于F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，延长至G，使得，连接，求证：； (3)如图3，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，证明，再由三角形外角定理得到，即可得到答案； （2）连接，交于点，证明是的中位线，即可得到结论； （3）延长，交于点，证明，过点作，根据平行线的性质得到，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：菱形， ，是的角平分线， ，， ， ， ， ； （2）证明：连接，交于点， 菱形， 为的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ， ； （3）证明：延长，交于点， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（25-26八年级下·河北沧州·期中）已知，，，，，是平面上的五个点，连接，，，，有，且，过作交于点． (1)如图1，连接，连接交线段于点，延长交线段于点，当时， ①求证：四边形是菱形． ②求的长． (2)如图2，连接，，，当的面积等于时，四边形的面积等于，求的长． 【答案】(1) ① 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵点A，O，B在同一直线上， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴ 四边形是菱形． ② (2)． 【分析】(1) 由及证，得，从而．结合得，又，故四边形OCED为平行四边形，再由证得菱形．在中求得，由得，在中用勾股定理即可求． (2) 先由等腰直角三角形性质及平行线性质求出 ，再在 中求出 ，最后利用 建立比例式求出． 【详解】（1）①略   ②解：∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设 ，则 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴为的中点， ∴ ， ∴ ， 设为点C到AB的距离， 又∵ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 四边形的面积， ∵ 四边形的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰中，， 过点作于点，则为的中点， ∵，，， 又∵ 点A，O，B共线， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·河北沧州·二模）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，交于点、交于点，且，． (1)如果，求证：； (2)连接．如果，求证：是的中点． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； (2) 证明：， ， 又， ， ， ， （对顶角相等）， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴， ∴， 是的中点． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质． （1）根据四边形是平行四边形，，可推出，根据，可推出，结合证明即可得证； （2）由可得，又有，则，得，则，结合可得，又由（1）得，可证，得到，结合平行四边形的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26九年级下·河北·期中）如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且． (1)求证：； (2)在图中延长与交于点H，如果，求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：如图， 设，则， ， 四边形是正方形， 、， 在中，由勾股定理得：， 由（1）知，， ， ， 解得， ， 四边形是正方形， 、，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）连接，根据正方形的性质得到，结合，得到，进而证明，进而得到，从而得出结论； （2）设，则，，在中，根据勾股定理求出，由（1）知，则，进而求出，再证明，进而得到，利用得到，进而求出，从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 17．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，点是边中点，与交于点．      (1)连接，当时， ①求证：平行四边形是菱形； ②若，，求的长；（提示：构造三角形重心） (2)过点作，垂足为，若点、、共线，且满足，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，即点是的中点， ， ，即， 平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）连接交于点，根据平行四边形的对角线互相平分可得，再根据等腰三角形三线合一可得，即可得证； 由，可得，根据相似三角形的性质结合中点的性质可得，在和中，分别利用勾股定理列式计算可求得的长，即可得解； （2）证明，可得到，证明，可得，，在中，根据勾股定理可得，即可得到，在中，根据勾股定理可得，从而得解． 【详解】（1）略 解：点是边中点， ， 四边形是菱形； ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， 在中，， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $