第十六章 二次根式（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

第十六章 二次根式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•丰城市校级月考）使二次根式有意义的a的取值范围是（　　） A．a≠5 B．a＞5 C．a≤5 D．a＜5 2．（2024秋•杨浦区期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•龙岗区校级期末）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•陵川县期中）已知3＜x＜5，化简的正确结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 5．（2024秋•榆中县期中）如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 6．（2024秋•万州区校级月考）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．5与 B．﹣4与 C．﹣4与 D．与 7．（2024秋•嘉定区校级月考）若化简|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 8．（2024秋•翠屏区校级期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 9．（2024秋•平遥县期中）如图所示，四边形ABCD、DEFG、GHIJ均为正方形，且正方形ABCD面积为10，正方形GHIJ面积为1，则正方形DEFG的边长可以是（　　） A．4 B． C．5 D． 10．（2024秋•隆昌市校级月考）已知a＞b＞0，，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024•海城市校级开学）当x＝　 时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　． 12．（2025•泗洪县一模）已知m是的小数部分，则的值为　 　． 13．（2024秋•成都期中）在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： 　 ． 14．已知x，y是实数，且，则　 　． 15．（2024秋•南山区期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p（a+b+c），则有面积公式S（海伦公式）．一个三角形的三边长分别为5，6，7，则这个三角形的面积为　 　． 16．（2024秋•上海校级月考）已知，则 　 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（每小题3分，共12分）（2024秋•南山区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）（﹣1）2024|2| （4）4（）1）2 18．（每小题5分，共10分）（2024秋•淮阳区月考）化简求值 （1）已知x，y，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值． （2）先化简，再求值，其中x＝21，y＝2． 19．（9分）（2024秋•榆中县期末）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数； 【实践探究】 （2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值； 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 20．（8分）（2024春•正阳县期中）已知x，y． （1）分别求x+y，xy的值； （2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①x2y+xy2；． 21．（9分）（2024秋•清远期末）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 　 　cm； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 22．（12分）（2024秋•怀化期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：|1﹣x|． 解：隐含条件2﹣3x≥0，解得x． ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（2﹣3x）﹣（1﹣x）＝2﹣3x﹣1+x＝1﹣2x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留π）． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣a|． （3）已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：． 23．（12分）（2024秋•天桥区期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2， 所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 　　． 　　； （2）比较大小： 　＜　（填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （3）计算：； （4）若，求﹣2a2+12a+3的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号______________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024秋•丰城市校级月考）使二次根式有意义的a的取值范围是（　　） A．a≠5 B．a＞5 C．a≤5 D．a＜5 【分析】根据二次根式有意义的条件可得5﹣a≥0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：5﹣a≥0， 解得a≤5， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2．（2024秋•杨浦区期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 3．（2024秋•龙岗区校级期末）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：A、，符合题意； B、5和不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 4．（2024秋•陵川县期中）已知3＜x＜5，化简的正确结果为（　　） A．2 B．﹣2 C．2x﹣8 D．8﹣2x 【分析】由已知得出x﹣5＜0，x﹣3＞0，再根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【解答】解：∵3＜x＜5， ∴x﹣5＜0，x﹣3＞0， ∴ ＝|x﹣5|+x﹣3 ＝5﹣x+x﹣3 ＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及绝对值的性质是解题的关键． 5．（2024秋•榆中县期中）如果有意义，那么代数式的值为（　　） A．±8 B．8 C．﹣8 D．无法确定 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣1≥0，9﹣x≥0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x﹣1≥0，9﹣x≥0， ∴； 故选：B． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 6．（2024秋•万州区校级月考）下列各组数中互为相反数的是（　　） A．5与 B．﹣4与 C．﹣4与 D．与 【分析】先根据立方根、算术平方根、绝对值求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可． 【解答】解：A、5与相等，不符合题意； B、﹣4与相等，不符合题意； C、﹣4与互为相反数，符合题意； D、与相等，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值、相反数等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键． 7．（2024秋•嘉定区校级月考）若化简|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【分析】根据完全平方公式和|a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【解答】解：原式|1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|， 当x＜1时， 此时1﹣x＞0，x﹣4＜0， ∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1﹣x≤0，x﹣4≤0， ∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意， 当x＞4时， 此时x﹣4＞0，1﹣x＜0， ∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4， 故选B． 【点评】本题主要考查了绝对值及二次根式的化简，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的思想解决问题． 8．（2024秋•翠屏区校级期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【解答】解：原式 ， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，掌握运算法则是关键． 9．（2024秋•平遥县期中）如图所示，四边形ABCD、DEFG、GHIJ均为正方形，且正方形ABCD面积为10，正方形GHIJ面积为1，则正方形DEFG的边长可以是（　　） A．4 B． C．5 D． 【分析】根据算术平方根性质求出AB＝CD，GH＝GJ＝1，再根据无理数的估算结合GH＜DE＜CD，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，S正方形ABCD＝10， ∴， 同理，得GH＝GJ＝1， ∵，即3＜CD＜4， ∴正方形DEFG的边长GH＜DE＜CD，即1＜DE≤3． ∴正方形DEFG的边长可能是． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的性质，估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质，利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 10．（2024秋•隆昌市校级月考）已知a＞b＞0，，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】先根据完全平方公式得到，，则，再由a＞b＞0得到，则． 【解答】解：由题意可知：， ， 2， 由题意可知：， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（2024•海城市校级开学）当x＝　 时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　． 【分析】根据二次根式的定义得到x+1≥0，则x≥﹣1，然后根据x的范围求解． 【解答】解：根据题意得x+1≥0， 解得x≥﹣1， 当x＝﹣1时，二次根式取最小值，其最小值为0． 故答案为：﹣1，0． 【点评】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． 12．（2025•泗洪县一模）已知m是的小数部分，则的值为　 　． 【分析】先估算得到m2，则2，即m，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式＝|m|，去绝对值得原式＝﹣m，然后把m和的值代入计算即可． 【解答】解：∵m是的小数部分， ∴m2， 原式|m| ∵m2， ∴2，即m， ∴原式＝﹣（m） ＝﹣m ＝﹣（2）2 ＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 13．（2024秋•成都期中）在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： 　 ． 【分析】由数轴得，c＜a＜0，b＞0，进一步得出a+c＜0，c﹣b＜0，再根据算术平方根、绝对值、立方根的定义计算即可． 【解答】解：由数轴得，c＜a＜0，b＞0， ∴a+c＜0，c﹣b＜0， ∴ ＝﹣（a+c）+b﹣（b﹣c）+c ＝﹣a﹣c+b﹣b+c+c ＝c﹣a， 故答案为：c﹣a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值，立方根，解题的关键是熟练掌握这些知识点． 14．已知x，y是实数，且，则　 　． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的取值范围，据此化简绝对值和二次根式即可得到答案 【解答】解：由题意知，，， ∴x﹣1≥0且1﹣x≥0， ∴x＝1， ∴， ∴y﹣1＜0， ∴． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了化简二次根式，化简绝对值，二次根式有意义的条件，正确根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而确定y的取值范围是解题的关键． 15．（2024秋•南山区期末）设一个三角形的三边长分别为a，b，c，p（a+b+c），则有面积公式S（海伦公式）．一个三角形的三边长分别为5，6，7，则这个三角形的面积为　 　． 【分析】根据海伦公式代入数据进行计算即可． 【解答】解：由海伦公式可知，一个三角形的三边长分别为5，6，7， ∴p9， S6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 16．（2024秋•上海校级月考）已知，则 　 ． 【分析】根据完全平方公式得到x2，进而求出、，再根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：∵2， ∴（）2＝4，即x2＝4， ∴x2， 则x+13，x+1012， ∴原式， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、分母有理化，掌握完全平方公式、二次根式的性质的解题的关键． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（每小题3分，共12分）计算： （1）； （2）； （3）（﹣1）2024|2| （4）4（）1）2 【分析】（1）先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再去括号合并即可得到结果； （2）原式根据二次根式的乘除运算法则即可得到结果； （3）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后去绝对值后合并即可； （4）先根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ； （3）（﹣1）2024|2| ＝3×1+22（2） ＝3+42 ＝5+3； （4）4（）1）2 ＝4443+1+2 ＝2﹣84+4+2 ＝2﹣6． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． 18．（每小题5分，共10分）（2024秋•淮阳区月考）化简求值 （1）已知x，y，试求代数式2x2﹣4xy+2y2的值． （2）先化简，再求值，其中x＝21，y＝2． 【分析】（1）首先把代数式进行变形，然后再代入x、y的值，进而可得答案； （2）首先把分式化简，先算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入x、y的值即可． 【解答】解：（1）2x2﹣4xy+2y2， ＝2（x2﹣2xy+y2）， ＝2（x﹣y）2， 当x，y时 原式＝2（）2， ＝2×20， ＝40； （2）原式， ＝（）•， ＝[]•， •， ， 当x＝21，y时，原式． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的混合计算，关键是正确把代数式和分式化简． 19．（9分）（2024秋•榆中县期末）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若a+b＝2，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与﹣1是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与 　 　是关于1的平衡数；与 　 　是关于1的平衡数； 【实践探究】 （2）m与n是关于1的平衡数，同时，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数，求m与n的值； 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）根据平衡数的概念得关于m和n的方程组，由此可得出答案； （3）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可． 【解答】解：（1）由题意得，4+（﹣2）＝2，5（﹣3）＝2， ∴4与﹣2是关于1的平衡数，5与﹣3是关于1的平衡数； 故答案为：﹣2，﹣3； （2）∵m与n是关于1的平衡数，m+3与2n﹣1也是关于1的平衡数， ∴， 解得； （3）不是， ∵（m）×（1）＝mm3， 又∵（m）×（1）＝﹣5+3， ∴mm3＝﹣5+3， ∴mm＝﹣2+2， 即 m（1）＝﹣2（1）， ∴m＝﹣2， ∴（m）+（5）＝（﹣2）+（5）＝3， ∴（﹣2）与（5）不是关于1的平衡数． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般． 20．（8分）（2024春•正阳县期中）已知x，y． （1）分别求x+y，xy的值； （2）利用（1）的结果求下列代数式的值：①x2y+xy2；． 【分析】（1）直接把x，y的值代入进行计算即可； （2）把（1）中的x+y，xy的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x，y， ∴x+y； xy＝（）（） ＝（）2﹣（）2 ＝1； （2）由（1）知，x+y，xy＝1， ①x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝1 ； ＝（）2﹣2 ＝11﹣2 ＝9． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式的加减法则是解题的关键． 21．（9分）（2024秋•清远期末）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为16cm2的大正方形纸片． （1）小方形纸片的边长为 　 　cm； （2）在（1）的条件下，设小正方形纸片的边长的值的整数部分为a，小数部分为b，求的值； （3）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片a的长宽之比为2：1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【分析】（1）判断出小正方形面积为8可得结论； （2）判断出a＝1，b＝22，代入也是求解即可； （3）设长方形纸片的长和宽分别是4x cm，3x cm，得到3x•4x＝24，求出x的值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵小正方形的面积为16÷2＝8（cm2）， ∴小正方形的边长为2cm． 故答案为：2； （2）由题意a＝2，b＝22， ∴a+2b﹣42+2（22）﹣42+44﹣42； （3）不能，理由如下： ∵长方形长宽之比为2：1， ∴设长方形的长和宽分别为2x cm，x cm， ∴2x•x＝12， ∴x2＝6， ∵x＞0， ∴x， ∴2x＝2， ∵23， ∴24． ∴沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形． 【点评】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． 22．（12分）（2024秋•怀化期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：|1﹣x|． 解：隐含条件2﹣3x≥0，解得x． ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（2﹣3x）﹣（1﹣x）＝2﹣3x﹣1+x＝1﹣2x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留π）． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|b﹣a|． （3）已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质计算； （2）根据数轴确定a+b、b﹣a的符号，再根据二次根式的性质计算； （3）根据三角形的三边关系得到a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a，再根据二次根式的性质、合并同类项计算． 【解答】解：（1）隐含条件3﹣x≥0， 解得：x≤3， ∴x﹣π＜0， 则原式＝﹣（x﹣π）﹣（3﹣x）＝﹣x+π﹣3+x＝π﹣3； （2）由数轴得隐含条件：a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，b﹣a＞0； a+a+b﹣b+a＝a； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件：a+b+c＞0，a﹣b＜c，b﹣a＜c，c﹣b＜a， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0， ∴ ＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）+（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a） ＝a+b+c﹣a+b+c+b﹣a﹣c﹣c+b+a ＝4b． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 23．（12分）（2024秋•天桥区期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求3a2﹣6a﹣1的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以（a﹣1）2＝2，所以a2﹣2a+1＝2， 所以a2﹣2a＝1，所以3a2﹣6a＝3，所以3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： （1）的有理化因式是 　　． 　　； （2）比较大小： 　＜　（填＞，＜，＝，≥或≤中的一种）； （3）计算：； （4）若，求﹣2a2+12a+3的值． 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知，的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）∵，， 显然，即， 又∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：＜； （3） ＝2022﹣1 ＝2021； （4）∵， ∴， ∴（a﹣3）2＝7， ∴a2﹣6a+9＝7， ∴a2﹣6a＝﹣2， ∴﹣2a2+12a＝4， ∴﹣2a2+12a+3＝7． 【点评】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式，正确进行计算是解题关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$