内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数据采集数学试题

答案第 1 页，共 10 页 2024-2025 学年度第一学期期末 高二年级数学学业质量监测数据采集 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D B C B D AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由已知直线𝐴𝐵的斜率 ( )4 2 1 1 1 k − − − = = − − ， 设直线倾斜角为 ，则  )tan 1, 0 ,180 =    ，所以 45 =  . 2．C 【详解】首先确定相同得读物，共有 1 6C 种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的 5 种读物里，选出两种进行排列，共有 2 5A 种， 根据分步乘法公式则共有 1 2 6 5C A 120 = 种. 3．A 【详解】由空间向量基本定理可得 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 4 2 4 2 2 3 1 1 4 2 2 MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA OA OB OC = + = + + = + − + − = − + + 又由题干MN xOA yOB zOC= + + ，则 3 4 1 2 1 2 x y z  = −   =   =  ，故 1 4 x y z+ + = . 4．D 【详解】设事件 A：答对 A 题，事件 B：答对 B 题， 则 ( ) ( ) ( ) 2 3 P AB P A P B=  = ， ( ) ( ) ( ) 8 | 9 P AB P B A P A  = = . ( ) 3 4 P A = . 答案第 2 页，共 10 页 5．B 【详解】对于 A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数 r的绝对值越 接近于 1，故 A 错误； 对于 B，因为斜率小于 0，所以变量 x和 y负相关，故 B 正确； 对于 C，在回归直线方程 ˆ 0.4 0.5y x= + 中，当 x每增加 1 个单位时，相应观测值 y约增加 0.5 个单位，故 C 错误； 对于 D，由样本数据得到的回归直线 ˆˆ ˆy bx a= + ，必过点 ( ),x y ，不一定经过 ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y 中的点，故 D 错误． 6．C 【详解】以 1C 为原点，以 1 1C A ， 1 1C B ， 1C C uuur 为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： 1 2BC AC AA= = = ，则 ( )2,0,2A ， ( )1,0,0E ， ( )0,2,2B ， ( )1 2,0,0A ， 所以 ( )1,0, 2AE = − − ， ( )1 2, 2, 2BA = − − ， 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 22 1 2 4 15 cos , 151 2 2 2 2 AE BA AE BA AE BA  − + = = =  − + −  + − + − ， 故 1BA 与 AE 所成角的余弦值为 15 15 . 7．B 【详解】由题得 0.49 150 73.5, 22 =  = = ， ( ) ( ) ( ), 0.75 0.547p k P k X k p   = −   +  ， ( )57 90P X   ( )0.75 0.547p=  ， ( ) ( )90 0.5 1 0.547 0.2265P X  =  − = ， 该校及格人数为0.2265 1200 272  （人）. 8．D 【分析】由双曲线的对称性可得 1 2F A F B= 、 1 2F B F A= 且四边形 1 2AF BF 为平行四边形， 由题意可得出 2 1F BF ，结合余弦定理表示出与a 、 c有关齐次式即可得离心率. 答案第 3 页，共 10 页 【详解】 由双曲线的对称性可知 1 2F A F B= ， 1 2F B F A= ，有四边形 1 2AF BF 为平行四边形， 令 1 2F A F B m= = ，则 1 2 2F B F A m= = ， 由双曲线定义可知 2 1 2F A F A a− = ，故有2 2m m a− = ，即 2m a= ， 即 1 2 2F A F B m a= = = ， 1 2 4F B F A a= = ， 2 2 2 2 2 2 2cos 2 4 cos 4F A F B F A F B AF B a a AF B a =   =   = ， 则 2 1 cos 2 AF B = ，即 2 3 AF B  = ，故 2 1 2π 3 F BF = ， 则有 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 4 2 2 1 cos 2 2 4 2 2 a a cF B F B F F F BF F B F B a a + −+ −  = = = −    ， 即 2 2 2 20 4 1 16 2 a c a − = − ，即 220 4 1 16 16 2 e − = − ，则 2 7e = ，由 1e  ，故 7e = . 【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a 、b 、c之间的等量 关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出 1F A 、 2F B 与 a 的具体关系及 2 1F BF 的大小， 借助余弦定理表示出与a 、 c有关齐次式，即可得解. 9．AC 【详解】对于 A：甲不能排在最后，则甲有 1 4C 种排法，剩下乙、丙、丁、戊 4 个人全排有 4 4A 种排法，所以排队方法有 1 4 4 4C A 96= 种，故 A 正确； 对于 B：甲乙 2 人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有 2 3A 种排法，再安 排剩下的丙、丁、戊 3 人，共有 3 3A 种排法； 则所有的排队方法有 2 3 3 3A A 36= 种，故 B 错误； 对于 C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余 3 人放在一起排队， 则共有 2 4 2 4A A 48= 种排队方法，故 C 正确； 对于 D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊 3 个人，有 3 3A 种排法，在形成的 4 个空中，再排甲乙，有 2 4A 种排队方法，故共有 3 2 3 4A A 72= 种排队方法，故 D 错误. 答案第 4 页，共 10 页 10．ACD 【分析】确定焦点和准线，设直线 AB 为 2x my= + ，联立得到根与系数的关系，计算得到 12AB = ，A 正确， 12OA OB = − ，B 错误， 1 1 1 2AF BF + = ，C 正确， 22 64 64PABS m= +△ ， D 正确，得到答案. 【详解】抛物线 2: 8C y x= 的焦点为 ( )2,0F ，准线 : 2l x = − ， ( )2,0P − ， 设直线 AB 为 2x my= + ，则 2 8 2 y x x my  =  = + ，即 2 8 16 0y my− − = ， 264 64 0m = +  ，故 1 2 1 2 8 16 y y m y y + =  = − ， 2 2 2 1 2 1 264 16y y x x= = ，故 1 2 4x x = ， 对选项 A： 1 2 1 22 2 4 12AB x x x x= + + + = + + = ，正确； 对选项 B： 1 2 1 2 124 16x xO y yA OB −= + = − = ，错误； 对选项 C： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 41 1 1 1 1 2 2 2 4 2 8 2 x x x x AF BF x x x x x x x x + + + + + = + = = = + + + + + + + ，正确； 对选项 D： ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 4 2 64 64 16 2 PABS PF y y y y y y m=   − = + − = + △ ， 当 0m = 时等号成立，正确. 11．ABD 【详解】对于 A 中，当患病者在混检的 4 人中时，第 2 次和第 3 次都未检测出患病者，则 需要进行第 4 次检测，第 4 次可能检测到患者，若第 4 次还是阴性，则剩下未测者为患者， 所以最多要检测 4 次可确定患病者，若患病者不在混检的 4 人中时，最多再检测 2 次就可确 定患者，所以 A 正确； 对于 B 中，第 2 次检测后就可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第 1 次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第 1 次抽到他，其概率为 3 41 1 6 61 1 4 1 4 1 7 4 7 3 C CC C 2 C C C C 7  +  = ，所以 B 正确； 对于 C 中，第 3 次检测后可确定患病者有两种情况：1.患者在混检中并在逐个检测时第 2 次 抽到他；2.患者不在混检中并在逐个检测时第 1 次未抽到他， 答案第 5 页，共 10 页 其概率为 3 1 41 1 6 3 61 2 4 1 1 4 1 7 4 3 7 3 C C CC C 3 C C C C C 7   +  = ，所以C 错误； 对于 D 中，设检测次数为随机变量 X ，则其分布列为 X 2 3 4 P 2 7 3 7 2 7 所以 ( ) 2 3 2 2 3 4 3 7 7 7 E X =  +  +  = ，故 D 正确. 12．180 【分析】根据特殊元素优先法，按照 0 是否被取到，先分类再分步即可解决. 【详解】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，数字 0 被取到，则可从 2，4 中任选一个，再从 1，3，5 中任选两个， 接着从除 0 外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排， 此时共有 1 2 1 3 2 3 3 3C C C A 108= 个四位数； 第二类，数字 0 没被取到，故 2，4 全被取到，只需从 1，3，5 中任选两个， 再与 2，4 共 4 个数字在四个数位上全排，此时共有 2 4 3 4C A 72= 个四位数. 根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是108 72 180+ = . 13． 3 14 2 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由 3PACBS PB= 、 2 2PB PC CB= − ，将问题化为 先求PC 最小值，进而求最小面积. 【详解】由 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − − − = ，即 2 2: ( 1) ( 2) 9C x y− + − = ，则 (1,2)C ，半径 3r = ， 所以 (1,2)C 到 : 2 0l x y+ + = 的距离 5 3 2 d =  ，即直线与圆相离，如下图示， 由题意， ,CB PB CA PA⊥ ⊥ 且 2PACB PBCS S= ，而 3r CB= = ， 所以 1 2 3 3 2 PACBS PB PB=    = ，要使四边形PACB的面积最小，只需 PB最小， 又 2 2 2 9PB PC CB PC= − = − ，即只需PC 最小，显然 min 5 2 PC d= = ， 所以 min 25 14 9 2 2 PB = − = ，故最小 3 14 2 PACBS = . 故答案为： 3 14 2 . 答案第 6 页，共 10 页 14． 8 81 【详解】因为向左下落的概率为向右下落的概率的 2 倍，所以向左下落的概率为 2 3 ，向右下 落的概率为 1 3 ，则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到 4 号位置， 此时概率为： 1 3 1 4 2 1 8 C 3 3 81     =        . 15．(1) 960− (2)0 (3) 103 【详解】（1）二项式 ( ) 10 2 1x− 展开式的通项为： ( ) ( ) 10 1 10C 2 1 k kk kT x − + = − （0 10k  且 Nk ）， 所以 ( ) ( ) 3 77 3 8 10C 2 1 960T x x= − = − ，所以 3 960a = − ………………………………………4 （2）令 0x = ，得 0 1a = ， 令 1x = ，得 ( ) 10 0 1 2 3 10 2 1 1a a a a a+ + + ++ = − = ， 所以 1 2 3 10 0a a a a+ + +  = …………………………………………………………………..8 （3）因为展开式的通项为 ( ) ( ) 10 1 10C 2 1 k kk kT x − + = − （ 0 10k  且 Nk ）， 所以当 k 为奇数时，项的系数为负数. 所以 0 1 2 10 0 1 2 10a a a a a a a a+ + + = − + −+ ， 令 = 1x − ，得 ( ) 10 10 0 1 2 3 0 3 3a a a a a− + − + + = − = ， ∴ 10 0 1 2 10 3a a a a+ + ++ = ……………………………………………………………..13 16．(1)推断选科类别与选生物有关联 (2)分布列见解析， 15 8 【详解】（1）零假设为 0H ：选科类别与选生物无关联， 计算 ( ) 2 2 200 100 25 15 60 3200 8.18 6.635 115 85 160 40 391    −  = =      所以依据小概率值 0.01 = 的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联， 此推断犯错误的概率不超过0.01；………………………………………………………..4 （2）依题意选择生物的人抽取 100 8 5 160  = 人，不选择生物的人抽取 60 8 3 160  = 人， 则 X 的可能取值为 0，1，2，3，………………………………………………………….5 答案第 7 页，共 10 页 则 ( ) 3 3 3 8 C 1 0 C 56 P X = = = ， ( ) 1 2 5 3 3 8 C C 15 1 C 56 P X  = = = ， ( ) 2 1 5 3 3 8 C C 30 2 C 56 P X  = = = ， ( ) 3 5 3 8 C 10 3 C 56 P X = = = ，………………………………………13 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 30 56 10 56 所以数学期望 ( ) 1 15 30 10 105 15 0 1 2 3 56 56 56 56 56 8 E X =  +  +  +  = = ………………………..15 17．(1) 8 27 (2)分布列见解析， 107 27 (3)甲应该采用“五局三胜制”． 【详解】（1）若甲以3:1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2 :1， 所以 2 2 3 2 1 2 24 C 3 3 3 81 P       =  =            = 8 27 ．………………………………………………………3 （2）易知 取值为 3，4，5． ( ) 3 3 1 2 9 1 3 3 3 27 3 P      = = + = =        ， ( ) 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 10 4 C C 3 3 3 3 3 3 27 P              = =   +   =                        ， ( ) 2 2 2 4 2 1 8 5 C 3 3 27 P      = =  =        ，…………………………………………………………..9 故 的概率分布列为：  3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 所以 的数学期望为： ( ) 1 10 8 107 3 4 5 3 27 27 27 E  =  +  +  = ．……………………………11 （3）采用“五局三胜制”甲会以3: 0、3:1、3: 2获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： 答案第 8 页，共 10 页 3 2 2 2 2 2 3 4 2 2 1 2 2 1 2 64 C C 3 3 3 3 3 3 3 81 P               = +  +  =                            ；…………………………………..13 采用“三局两胜制”甲会以2 : 0、 2 :1获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 2 1 2 2 2 1 2 20 60 C 3 3 3 3 27 81 P        = +  = =              因为 64 60 81 81  ，所以甲应该采用“五局三胜制”．……………………………………………15 18．(1)证明见解析 (2) 3 9 (3) 6 3 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面PAD 与平面 PCD的法向量，利用两个向量的夹角公式 求解即可； （3）不妨设 0( )2 ,AM k k=   则设出M 的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出M 的坐标，然后求解点M 到平面 PCD的距离即可. 【详解】（1）证明：因为 1 / / , 1 2 AB CD CE CD AB= = = ， 所以四边形 ABCE是平行四边形， 因为 AB BC⊥ ，所以平行四边形 ABCE是矩形，则 AE AB⊥ . 因为PA ⊥平面 , ,ABCD AE AB 平面 ABCD，所以PA AE⊥ ， 又因为 ,PA AB 平面PAB，且PA AB A= ，所以 AE ⊥平面 PAB ………………………….4 （2）由（1）可知 , ,PA AE PA AB AE AB⊥ ⊥ ⊥ ，即 , ,PA AE AB两两垂直， 故以A 为坐标原点，分别以 , ,AE AB AP 所在直线为 , ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0,0,0), (0,1,0), (2 2,0,0), (2 2, 1,0), (2 2,1,0), (0,0,2)A B E D C P− ，………………………6 设平面PAD 的一个法向量为 ( , , )n a b c= ，而 (0,0,2), (2 2, 1,0),AP AD= = − 所以 2 0 2 2 0 AP n c AD n a b   = =   = − = ，令 1a = ，则 (1,2 2,0)n = r ………………………………………..8 设平面 PCD的一个法向量为 ( , , )u r s t= ，而 (0, 2,0), (2 2,1, 2)CD PC= − = − ， 所以 2 0 2 2 2 0 CD u s PC u r s t   = − =   = + − = ，令 1r = ，则 (1,0, 2)u = ，……………………………………10 记平面PAD 与平面 PCD的夹角为 ，则 π 0 2   ， 答案第 9 页，共 10 页 所以 | | |1 0 0 | 3 cos | cos , | 9| | | | 1 8 1 2 n u n u n u   + + =   = = =  +  + ， 所以平面PAD 与平面 PCD夹角的余弦值为 3 9 ……………………………………………..12 （3）依题意，不妨设 0( )2 ,AM k k=   则 ( ) ( )0,0, , 2 2, 1,M k CM k= = − − ， 又由（2）得平面PAD 的一个法向量为 (1,2 2,0)n = r ， 记直线 CM与平面PAD 所成角为  ， 所以 2 | | | 2 2 2 2 | 4 5 sin | cos , | 15| | | | 1 8 8 1 CM CM CM k n n n   − − =   = = =  +  + + ，………………………….15 解得 1k = （负值舍去）， 所以 (0,0,1)M ，则 (0,0,1)MP = ， 而由（2）得平面 PCD的一个法向量为 (1,0, 2)u = ， 所以点M 到平面 PCD的距离为 | | | 2 | 6 3| | 1 2 MP u u  = = + ……………………………………….17 19．(1) 2 2 1 4 x y+ = ； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求出轨迹 C的方程. （2）（i）设出点 , ,P Q T 的坐标，利用斜率坐标公式计算即得；（ii）联立直线PQ与轨迹 C 的方程，利用韦达定理结合（i）的结论计算即得. 【详解】（1）设动圆的半径为 r，圆 2 22 : ( 3) 16F x y− + = 的圆心 2 ( 3,0)F ，半径 4R = ， 显然点 1( 3,0)F − 在圆 2F 内，则 2 14MF R r MF= − = − ， 于是 1 2 1 24 2 3MF MF F F+ =  = ， 因此动点M的轨迹 C是以 1F ， 2F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，………………………….2 分 长半轴长 2a = ，半焦距 3c = ，则短半轴长 2 2 1b a c= − = ， 所以轨迹C的方程为 2 2 1 4 x y+ = ……………………………………………………...............4分 （2）（i）设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， (4, )T m ，由（1）知 ( 2,0)A − ， (2,0)B ， 答案第 10 页，共 10 页 显然 1 1 2 APk y x + = ， ( ) 0 4 2 6 AQ AT m m k k − = = = − − ，而 1 1 2 2 BP BT y m k k x = = = − ，则 1 1 2 2 y m x = − ，…7 分 2 1 1 1 1 2 1 1 1 12 6 2 3( 2) 3( 4) AP AQ y y y ym k k x x x x  =  =  = + + − − ，又 2 21 1 1 4 x y+ = ，即 2 2 1 1 ) 1 (4 4 y x= − ， 所以 2 1 2 1 1 (4 ) 14 3( 4) 12 AP AQ x k k x −  = = − − ，为定 ………………………………………………… 11 分 （ii）由 2 24 4 x ty n x y = +  + = 消去 x得 2 2 2( 4) 2 4 0t y tny n+ + + − = ， 2 2 2 2 2 24 4( 4)( 4) 16( 4 ) 0t n t n t n = − + − = + −  ， 由（i）得 1 2 21 2 2 2 2 4 , 4 4 y y y y tn n t t − + = − = + + ，又 1 12 AP AQk k = − ，…………………………14 分 则 ( )( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 y y y y y y x x ty n ty n t y y t n y y n  = = + + + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 22 2 22 22 2 2 4 4 14 2 2 4 16 16 124 2 4 4 n nt t n n n nn t n t t − −+= = = − + + +−  − + + + + ，解得 1n = ，满足 0  ， 因此直线 PQ的方程为 1x ty= + ， 所以直线 PQ过定点 (1,0) ……………………………………………………………………17 分 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： ①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性 证明； ②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲 线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标 的点即为所求点； ③求证直线过定点 ( )0 0,x y ，常利用直线的点斜式方程 ( )0 0y y k x x− = − 或截距式 y kx b= + 来 证明. 试卷第 1 页，共 5 页 2024-2025 学年度第一学期期末 高二年级数学学业质量监测数据采集 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过点 ( )1, 2A − 和点 ( )1, 4B − − 的直线的倾斜角为（ ） A．30 B．45 C．60 D．135 2．甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相 同的选法共有（ ） A．30 种 B．60 种 C．120 种 D．240 种 3．在四面体O ABC− 中，点M 为线段OA靠近 A 的四等分点，N 为BC 的中点，若 MN xOA yOB zOC= + + ，则 x y z+ + 的值为（ ） A． 1 4 B．1 C． 3 2 D． 1 3 4．已知某同学在高二期末考试中，A 和 B 两道选择题同时答对的概率为 2 3 ，在 A 题答对的 情况下，B 题也答对的概率为 8 9 ，则 A 题答对的概率为 A． 1    4 B． 7 9 C． 1     2 D． 3    4 5．下列说法正确的是（ ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数 r的值越接近于 1 B．回归直线方程为 ˆ 0.3 0.7y x= − 时，变量 x和 y负相关 C．在回归直线方程 ˆ 0.4 0.5y x= + 中，当 x每增加 1 个单位时，相应观测值 y增加 0.5 个 单位 D．由样本数据得到的回归直线 ˆˆ ˆy bx a= + 至少经过点 ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y 中的一个 6．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 90BCA = o ， 1 2AC BC AA= = = ，E 为 1 1AC 的中点，则 1BA 与 AE 所成角的余弦值是（ ） A． 30 10 B． 1 2 C． 15 15 D． 15 10 试卷第 2 页，共 5 页 7．某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为 150 分，90 分以上（含 90 分）为及格．阅 卷结果显示，全年级 1200 名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系 数=平均分/满分）为 0.49，标准差为 22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若 ( )2,X N   ，记 ( ) ( )p k P k X k   = −   + ，则 ( ) ( )0.75 0.547, 1 0.683p p  ． A．136 人 B．272 人 C．328 人 D．820 人 8．设双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b − =   的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过坐标原点的直线与C 交 于 ,A B两点， 2 1 1 2 22 , 4F B F A F A F B a=  = ，则C 的离心率为（ ） A． 2 B．2 C． 5 D． 7 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选 项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得 6分，有选错的得 0 分，部分选 对的得部分分。 9．已知甲、乙、丙、丁、戊 5 个人排成一列，则下列说法正确的是（ ） A．若其中甲不能排在最后，有 96 种不同的排队方法 B．若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有 72 种不同的排队方法 C．若其中甲乙必须相邻，有 48 种不同的排队方法 D．若其中甲乙不能相邻，有 36 种不同的排队方法 10．已知抛物线 2: 8C y x= 的焦点为F ，准线为 l，直线 l与 x 轴交于点 P ，过点F 的直线与 抛物线C 交于 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 两点，O为坐标原点，则（ ） A．若 1 2 8x x+ = ，则 12AB = B． 27OA OB = − C． 1 1 1 2AF BF + = D． ∆𝑃𝐴𝐵面积的最小值为 16 11．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患 病，已知 7 人中有 1 人患有这种疾病，先任取 4 人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结 果呈阳性，则表明患病者为这 4 人中的 1 人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若 结果呈阴性，则在另外 3 人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ） A．最多需要检测 4 次可确定患病者 B．第 2 次检测后就可确定患病者的概率为 2 7 C．第 3 次检测后就可确定患病者的概率为 2 7 D．检测次数的期望为 3 试卷第 3 页，共 5 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．若从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中任取 2 个偶数和 2 个奇数，组成一个无重复数字 的四位数，则不同的四位数的个数是 . 13．已知圆 2 2: 2 4 4 0C x y x y+ − − − = ， P 为直线 : 2 0l x y+ + = 上一点，过点 P 作圆C 的两 条切线，切点分别为A 和 B ，则四边形PACB的面积的最小值为 . 14．英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的 设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子 恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课 堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿 钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落 的概率为向右下落的概率的 2 倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的 5 个 不同位置.若一个小球从正上方落下，经过 5 层钉板最终落到 4 号位置的概率是 . 四、解答题：本题共 5 小题，15题 13 分，16 和 17题各 15 分，18 和 19 题各 17分，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15．已知 ( ) 10 2 3 10 0 1 2 3 102 1x a a x a x a x a x− = + + + ++ ， Rx . (1)求 3a 的值； (2)求 1 2 3 10a a a a+ + + + 的值； (3)求 0 1 2 10a a a a+ + ++ 的值. 试卷第 4 页，共 5 页 16．某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语 3 门全国统考科目；“1”为 考生在物理和历史中选择 1 门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物 4 门中再选择 2 门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生 中随机抽取 200 人进行调查，整理得到如下列联表： 选科类别 是否选择生物 合计 选择生物 不选择生物 物理类 100 60 160 历史类 15 25 40 合计 115 85 200 (1)依据小概率值 0.01 = 的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联? (2)现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出 8 人组成一个小组，从抽取的 8 人 中再随机抽取 3 人参加生物竞赛，求这 3 人中，选择生物的人数 X 的分布列和数学期望． 附： ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bc a b c d a c b d  − = + + + + ．  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方 先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比 赛，已知甲每局获胜的概率为 2 3 ，假设每场比赛的结果相互独立． (1)求甲以3:1获胜的概率； (2)设比赛场数为 ．试求 的分布列及数学期望 ( )E  ； (3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 试卷第 5 页，共 5 页 18．如图，在四棱锥P ABCD− 中，PA ⊥平面 , / /ABCD AB CD，且 2, 1, 2 2,CD AB BC PA= = = = 2, ,AB BC E⊥ 为 CD的中点. (1)求证： AE ⊥平面PAB； (2)求平面PAD 与平面 PCD夹角的余弦值； (3)若点M 在线段 AP 上，直线CM 与平面PAD 所成角的正弦值 为 4 5 15 ，求点M 到平面 PCD的距离. 19．已知动圆M经过定点 1( 3,0)F − ，且与圆 2 2 2 : ( 3) 16F x y− + = 内切. (1)求动圆圆心M的轨迹 C的方程； (2)设轨迹 C与 x轴从左到右的交点为点 A，B，点 P为轨迹 C上异于 A，B的动点，设直线 PB交直线 4x = 于点 T，连接 AT交轨迹 C于点 Q；直线 AP，AQ的斜率分别为 APk ， AQk . （i）求证： AP AQk k 为定值； （ii）设直线 :PQ x ty n= + ，证明：直线 PQ过定点.