预习专题06 相交线（4知识点+9考点+4易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题06 相交线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 学生能够准确理解相交线的概念，知道两条直线相交会形成对顶角和邻补角. 2. 理解对顶角相等这一重要性质。可以通过测量、推理等多种方式来验证，并且能在具体的几何计算或证明中运用该性质. 3.学生能理解垂线、垂线段的概念，以及点到直线的距离的概念. 相交线 1．经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． 【特别提醒】 这是一条公理，在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确，作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据，称为公理。 2．当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 对顶角 1．对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． 2．对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. 3.（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【解后反思】 “三点”确定对顶角 寻找对顶角时，要看两角是否满足三个条件:一是由两条相交直线形成，二是有公共顶点，三是两个角的两边分别互为反向延长线，若三个条件均满足，则这两个角是对顶角，否则不是对顶角.对顶角往往隐含在已知图形中，所以要理解对顶角的概念，注意挖掘图形中的隐含条件. 如图，直线与相交于点，平分，且，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角的性质和对顶角相等，可得∠AOC=80°，∠AOD=100°，从而得到∠AOE=40°，即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠AOC=80°，∠AOD=100°， ∵平分， ∴∠AOE=40°， ∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=140°． 故选：D 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质和对顶角相等，熟练掌握邻补角的性质和对顶角相等是解题的关键． 垂线 1.夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. 2.垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） 3.垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” 4.垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. 5.垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 如图，A、B、C三点在一直线上，已知，则CD与CE的位置关系是 ． 【答案】 【详解】解：∵A、B、C三点在一直线上，∠1=20°，∠2=70°，∴∠DCE=180°﹣∠1﹣∠2=90°，∴CD⊥CE．故答案为CD⊥CE． 【总结】 画垂线时，必须明确两点:一是画哪条直线的垂线;二是过哪个点画这条直线的垂线 如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画垂线，根据垂线的定义，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示， 垂线段 1.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 如图，AC⊥CD，∠BED＝90°.填空： (1)∠ACD＝_____度； (2)直线AD与BE的位置关系是__________； (3)点B到直线AD的距离是线段________的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度； (4)在线段DA，DB，DC中，最短的是线段______；在线段BA，BE，BD中，最短的是线段______，理由是_____________________________________． 【答案】(1) 90 ;(2) 互相垂直 ;(3) BE,DC ;(4) DC, BE,连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【分析】（1）、（2）、根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 【详解】解：（1）∵AC⊥CD， ∴∠ACD=90°， （2）∵∠BED=90°， ∴BE⊥AD， 故答案为:互相垂直． （3）∵BE⊥AD∴线段BE的长是点B到直线AD的距离的线段； 同理，点D到直线AB的距离是线段DC的长度； 故答案为线段BE的长、线段DC的长度； （4）在线段DA、DB、DC中，最短的线段是 DC；在线段BA，BE，BD中，最短的是线段BE．理由是垂线段最短． 故答案为:CD，BE，垂线段最短． 【点睛】垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【总结】 判断最短、最近问题的两依据 (1)两点之间,线段最短;(2)在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短. 对顶角的定义 例1 下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键． 根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可． 【详解】解∶①对顶角相等，说法正确； ②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确； ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误； 故选∶B． 【变式1-1】下列图中，、是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形及对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点是解题的关键． 根据对顶角的定义有公共顶点并且其中一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线的特点对各选项分析判断． 【详解】解：A、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； B、、的边不是反向延长线所以不是对顶角，不符合题意； C、、没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； D、、是对顶角，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据对顶角的定义，即可判断出结果． 【详解】解：对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角．满足条件的只有第三个图形． 故选：B 【点睛】本题考查了对顶角的定义，解本题的关键在是否能熟练识别对顶角．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角． 【变式1-3】下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用对顶角的定义：具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角判断即可． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，则不是对顶角，故不符合题意． B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，则不是对顶角，故不符合题意． C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，则不是对顶角，故不符合题意． D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，则是对顶角，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义． 【变式1-4】如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：第一个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线， 第二个图的两个角不满足有公共的顶点， 第三个图满足两个条件，是对顶角， 第四个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线， 故选A. 【点睛】本题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解题的关键. 利用对顶角的性质求角度 例2 如图，直线与相交于一点O，平分，若，则 ． 审题关键:根据题意找出题中的对顶角，结合邻补角、对顶角的性质求解. 【答案】/150度 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角以及对顶角的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义以及对顶角相等这一性质． 先根据对顶角相等求出，然后根据角平分线的定义求出，然后利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于一点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查余角和补角．利用对顶角的定义及邻补角的定义即可求得的度数． 【详解】解：如图，， ∵与互余， ∴与互余， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2-2】如图，直线和相交于点，平分，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据，即可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，直线、相交于，，是的角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义、余角和补角，对顶角，掌握它们的概念是解题的关键．利用角的和差关系和角平分线定义可得的度数，然后计算出的度数，再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：，， ， 又平分， ， ， ， 则． 【变式2-4】如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 【规律总结】 对顶角通常隐含在图形中，当遇到两条直线或三条直线都经过同一点，计算角度或寻找角度之间的关系时，要注意利用图形中的对顶角相等以及角的和差关系求解. 邻补角 例3 如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握邻补角的含义“有一条公共边，另一条边互为反向延长线的角是邻补角”； 根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：直线和相交于点O 与互为邻补角的有：，， 故选：A 【变式3-1】若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 【答案】145 【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案． 【详解】解：的余角是，， ， 的邻补角是， ， 的对顶角是， ， 故答案为：145． 【点睛】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键． 【变式3-2】如图，直线、相交于点，，则直线与直线的夹角是 ．    【答案】 【分析】先根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据直线的夹角为锐角解答． 【详解】解：∵∠BOC=135°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-135°=45°， ∴直线AB与直线CD的夹角是45°． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，要注意直线的夹角是锐角． 【变式3-3】下列说法正确的是（     ） A．相等的角是对顶角； B．邻补角一定互补； C．互补的两角一定是邻补角； D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等； 【答案】B 【分析】按照对顶角的概念和邻补角的概念逐一判断即可. 【详解】解：A项，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项错误； B项，由邻补角的定义可知，两个邻补角一定互补，故本选项正确； C项，如30°和150°的两个角一定互补，但它们不一定是邻补角，故本选项错误； D项，两个角不是对顶角，但它们有可能相等，如角平分线的模型，故本选项错误； 故答案为B. 【点睛】本题考查了对顶角和邻补角的概念和性质，熟知对顶角和邻补角的概念和性质是正确判断的关键. 利用邻补角互补求角度 例4 已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3= . 【答案】180° 【详解】解：∵∠1与∠3是邻补角，∴∠1+∠3＝180°．∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝180°（等量代换）．故答案为180°． 【变式4-1】已知，直线和直线交于点O，是它的邻补角的3倍，则直线与的夹角是 度． 【答案】45 【分析】本题考查了邻补角，一元一次方程的应用，关键是掌握邻补角互补． 设，则它的补角为，根据邻补角互补可得，再解方程即可． 【详解】解：设，则它的补角为， 由题意得：， 解得：，即直线与的夹角是45度， 故答案为：45． 【变式4-2】已知直线和直线相交于点O，，那么这两条直线的夹角等于 度． 【答案】或 【分析】根据，设，结合，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，补角的定义，熟练掌握补角的定义，方程的应用是解题的关键． 【详解】∵，设， ∵， ∴． 解得． 故答案为：或． 【变式4-3】已知直线和直线交于点，如果，那么直线与直线的锐角夹角是 ． 【答案】40 【分析】本题考查了邻补角，根据邻补角互补即可求出直线与直线的锐角夹角的度数．熟知邻补角互补的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 即直线与直线的锐角夹角是， 故答案为：40． 【变式4-4】如图，直线与相交于点O，，则直线与的夹角为 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了邻补角，根据邻补角互补可得的度数，进而可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴直线与的夹角是， 故答案为：． 【变式4-5】如图， 已知点O为直线上一点，平分，如果，那么 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了邻补角，有关角平分线的计算．根据邻补角的定义可得的度数，再由角平分线的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为： 垂线的定义理解 例5 如图，若，，垂足为，则 度． 审题关键:解答此题的关键是由两直线垂直得到90°的角,结合余角、对顶角的性质求解. 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，由垂直可得，进而得到，再根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 【详解】解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误， 故选：C． 【变式5-2】如图，于点，，则与的关系是 ．    审题关键:本题要判断两直线的位置关系，对两条相交直线来说，常常是判断其是否垂直，判断的方法是计算其所形成的夹角的度数. 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义及余角．根据，可得，即可得出，由，等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ，     ． 故答案为：． 【解后反思】 利用垂直进行角的计算时，要准确掌握相关锐角间的互余关系. 画垂线 例6 如图，直线与相交于点． (1)过点在的上方画射线； (2)在（1）的条件下，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)26，154 【分析】本题考查画垂线，邻补角，关键是掌握邻补角互补，垂线的概念． （1）由题意画图即可； （2）由邻补角的性质求出，由垂直的定义得到，即可求出，由邻补角的定义得求银即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【变式6-2】按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 垂线段最短 例7 如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ） A．线段的长是点到直线的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．，，三条线段中，最短 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项．掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：A、线段的长是点到直线的距离，选项正确，不合题意； B、线段的长是点到直线的距离，故该选项错误，符合题意； C、，，三条线段中，垂线段最短，即最短，选项正确，不合题意； D、线段的长是点到直线的距离，选项正确，不合题意； 故选：B． 【变式7-1】如图，要把河中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：要把池中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式7-2】如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人去车站距离最近，火车站应建在铁路线上的A点，这样做的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线的性质，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：这样做的数学道理是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式7-3】如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短，跳远的测量方法，可得答案． 【详解】：解：测量学生跳远成绩的依据是垂线段最短； 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则． 点到直线的距离 例8 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（    ） A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AP的长是点A到直线PC的距离 D．线段AP的长是点C到直线PA的距离 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. PB⊥a，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项正确，符合题意； B. PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故该选项正确，符合题意； C. PA⊥PC，线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项正确，符合题意； D. PA⊥PC，线段CP的长是点C到直线PA的距离，故该选项不正确，不符合题意, 故选D. 【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义，垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的定义与性质是解题的关键． 【变式8-1】如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离．利用点到直线的距离定义判断即可． 【详解】解：A、点B到的距离是线段的长，本选项错误，符合题意； B、点B到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； C、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意； D、点C到的距离是线段的长，本选项正确，不符合题意， 故选：A． 【变式8-2】如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段 的长度．    【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离：自直线外一点作直线的垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可解答．解决本题的关键是熟记点到直线的距离概念． 【详解】解：∵，垂足为点E， ∴点A到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 【变式8-3】如图，，，点B到边的距离是线段 的长． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离概念即可求出答案，熟练掌握点到直线的距离概念是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴点B到边的距离为线段， 故答案为：． 【变式8-5】如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段 的长度表示点A到直线的距离． 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可．本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：结合图形，∵ ∴点A到的距离是线段的长度， 故答案为：． 与相交线有关的规律探究题 例9 通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）： （1）若2条直线相交于一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （2）若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （3）若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （4）通过（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角． 审题关键:熟记概念并准确识图,按照一定的顺序数出对顶角的对数是解题的关键. 【答案】 2 4 6 12 12 24 【分析】（1）（2）（3）分别根据对顶角和邻补角的定义计算即可得解； （4）根据对顶角的对数、邻补角的对数和直线的条数的规律写出即可； 【详解】解：由画图可得， （1）两条直线相交于一点，形成2=1×2对对顶角，4=2×1×2对邻补角； （2）三条直线相交于一点，形成6=2×3对对顶角，12=2×2×3对邻补角； （3）4条直线相交于一点，形成12=3×4对对顶角，24=2×3×4对邻补角； （4）依次可找出规律，若有n条直线相交于一点，则可形成n（n-1）对对顶角，2n（n-1）对邻补角； 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数、邻补角的对数的规律是解题的关键． 【变式9-1】已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 【变式9-2】如图，两条直线相交只有1个交点，.三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，……，二十条直线相交最多有 个交点. 【答案】190 【分析】根据题意，结合图形，找出规律解答即可. 【详解】∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4， ∴n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）= n（n-1）个交点． ∴20条直线两两相交，最多有 n（n-1）= ×20×19=190． 故答案为 190． 【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，在相交线的基础上，着重培养学生的观查、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 【变式9-3】我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【答案】 90 n（n﹣1） 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论； （2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可． 【详解】解：（1）如图① 两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题． 【例1】下列语句正确的个数是（     ） ①有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；②如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于180°，则这两个角为邻补角；④两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等那么这两条直线互相垂直：⑤直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离；⑥互相垂直的两条线段一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了判断邻补角定义，对顶角定义，垂直定义，点到直线的距离，根据各定义直接判断即可，正确理解各定义是解题的关键 【详解】解：①有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故错误； ②如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角，正确； ③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于180°，则这两个角为邻补角，只是其中一种情况，故错误； ④两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等那么这两条直线互相垂直，正确； ⑤过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足之间的线段的长度是这一点到这条直线的距离，故错误； ⑥互相垂直的两条线段一定不相交，故错误； 故选：B 【防错警示】 对对顶角的判定，要严格依据概念，缺少任何一个条件，就不是对顶角.对顶角相等，反过来说是不成立的,即相等的角不一定是对顶角，不是对顶角的角也可能相等. 【例2】()在图中，过外一点作的垂线； ()在图中，分别过作的垂线. 【答案】（）作图见解析；（）作图见解析. 【分析】（）利用直角三角板，一条直角边与重合，沿平移，使另一直角边过，再沿直角边过画直线即可； （）利用直角三角板，一条直角边与重合，沿平移，使另一直角边过，再沿直角边过画直线即可，同法过作的垂线； 本题考查了基本作图，掌握用直角三角板画垂线的方法是解题的关键． 【详解】解：（）如图，直线即为所求； （）如图，直线即为所求． 【防错警示】 画线段或射线的垂线就是画这条线段或射线所在直线的垂线，垂足可能在线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上. 【例3】如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ） A．线段的长是点到直线的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．，，三条线段中，最短 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项．掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：A、线段的长是点到直线的距离，选项正确，不合题意； B、线段的长是点到直线的距离，故该选项错误，符合题意； C、，，三条线段中，垂线段最短，即最短，选项正确，不合题意； D、线段的长是点到直线的距离，选项正确，不合题意； 故选：B． 【防错警示】 线段是图形，线段的长度才是距离,切勿混淆“线段”与“线段的长度”的含义. 【例4】点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，，则点P到直线l的距离（　　） A．大于等于 B．大于且小于 C．等于 D．小于等于 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键，注意：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离．根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可． 【详解】解：根据垂线段最短得出P到直线l的距离是小于等于， 故选：D． 【防错警示】 在给出的三条线段中，PA最短，因为没有给出图形，所以线段 PA不一定是垂线段,所以有两种可能情况:线段PA是垂线段和线段PA不是垂线段. 1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据对顶角的概念判断即可得到答案． 【详解】解：A、不符合对顶角概念，不符合题意； B、不符合对顶角概念，不符合题意； C、符合对顶角概念，符合题意； D、不符合对顶角概念，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查的是对顶角的概念，掌握其概念是解决此题关键． 2．如图，已知，，则点到的距离指线段 的长度．    【答案】 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，正确把握点到直线的距离的定义是解题关键．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．直接利用点到直线的距离定义分析得出答案． 【详解】解：， 点到直线的距离是线段的长． 故答案为：． 3．如图，，于点D，点A到的距离是(　　) A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”，熟记定义是解题关键．根据点到直线的距离的定义即可得． 【详解】解：∵，即， ∴点到的距离是线段的长度， 故选：D． 4．如图，直线和的夹角是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的邻补角，根据邻补角互补求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线和交于O， ∵， ∴， ∴直线和的夹角是， 故答案为：． 5．如图，直线与相交于点，，平分且，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，根据邻补角、对顶角的定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 平分， ． 故答案为：． 6．如图，已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义和对顶角的性质，解题的关键是由，得，因为，所以，根据对顶角相等得． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据连接从直线外一点到这条直线上的所有点的线段中，垂线段最短求解了可． 【详解】解：∵， ∴于点B， ∴， ∴可能， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相交线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 学生能够准确理解相交线的概念，知道两条直线相交会形成对顶角和邻补角. 2. 理解对顶角相等这一重要性质。可以通过测量、推理等多种方式来验证，并且能在具体的几何计算或证明中运用该性质. 3.学生能理解垂线、垂线段的概念，以及点到直线的距离的概念. 相交线 1．经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单地说：两点确定一条直线． 【特别提醒】 这是一条公理，在几何里，挑选其中一些基本事实，承认其正确，作为用逻辑推理证实其他事实的原始依据，称为公理。 2．当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线．这个公共点叫作它们的交点． 【特别提醒】 两条直线相交，只有一个交点． 对顶角 1．对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． 2．对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 注意：对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角. 3.（补充）邻补角的概念 如图，和有公共顶点，有公共的一边，只有一条边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，它们的度数和是． 下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【解后反思】 “三点”确定对顶角 寻找对顶角时，要看两角是否满足三个条件:一是由两条相交直线形成，二是有公共顶点，三是两个角的两边分别互为反向延长线，若三个条件均满足，则这两个角是对顶角，否则不是对顶角.对顶角往往隐含在已知图形中，所以要理解对顶角的概念，注意挖掘图形中的隐含条件. 如图，直线与相交于点，平分，且，则为（  ） A． B． C． D． 垂线 1.夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. 2.垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） 3.垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” 4.垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【特别提醒】 (1)在画垂线时,要标记垂直符号.(2)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在的直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上. 5.垂线的数量:在同一平面上,经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线. 【易混易错提醒】 垂线、垂线段的辨析 垂线是直线，无法度量长度;垂线段是线段，可以度量长度. 如图，A、B、C三点在一直线上，已知，则CD与CE的位置关系是 ． 【总结】 画垂线时，必须明确两点:一是画哪条直线的垂线;二是过哪个点画这条直线的垂线 如图． ①过点画的垂线． ②过点分别画、的垂线． ③过点画的垂线． 垂线段 1.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段长度,叫作点到直线的距离如果一个点在直线l上,那么就说这个点到直线l的距离为零. 【补充说明】 （1）在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短. （2）垂线段是一条线段，是图形;点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位. 如图，AC⊥CD，∠BED＝90°.填空： (1)∠ACD＝_____度； (2)直线AD与BE的位置关系是__________； (3)点B到直线AD的距离是线段________的长度，点D到直线AB的距离是线段______的长度； (4)在线段DA，DB，DC中，最短的是线段______；在线段BA，BE，BD中，最短的是线段______，理由是_____________________________________． 【总结】 判断最短、最近问题的两依据 (1)两点之间,线段最短;(2)在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短. 对顶角的定义 例1 下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列图中，、是对顶角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】下列所示的四个图形中，和是对顶角的图形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】下面四个图形中，与是对顶角的图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-4】如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 利用对顶角的性质求角度 例2 如图，直线与相交于一点O，平分，若，则 ． 审题关键:根据题意找出题中的对顶角，结合邻补角、对顶角的性质求解. 【变式2-1】如图，，与互余，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，直线和相交于点，平分，，那么 ． 【变式2-3】如图，直线、相交于，，是的角平分线，，求的度数． 【变式2-4】如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【规律总结】 对顶角通常隐含在图形中，当遇到两条直线或三条直线都经过同一点，计算角度或寻找角度之间的关系时，要注意利用图形中的对顶角相等以及角的和差关系求解. 邻补角 例3 如图，直线和相交于点O，，那么下列选项中与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 【变式3-2】如图，直线、相交于点，，则直线与直线的夹角是 ．    【变式3-3】下列说法正确的是（     ） A．相等的角是对顶角； B．邻补角一定互补； C．互补的两角一定是邻补角； D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等； 利用邻补角互补求角度 例4 已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3= . 【变式4-1】已知，直线和直线交于点O，是它的邻补角的3倍，则直线与的夹角是 度． 【变式4-2】已知直线和直线相交于点O，，那么这两条直线的夹角等于 度． 【变式4-3】已知直线和直线交于点，如果，那么直线与直线的锐角夹角是 ． 【变式4-4】如图，直线与相交于点O，，则直线与的夹角为 度． 【变式4-5】如图， 已知点O为直线上一点，平分，如果，那么 垂线的定义理解 例5 如图，若，，垂足为，则 度． 审题关键:解答此题的关键是由两直线垂直得到90°的角,结合余角、对顶角的性质求解. 【变式5-1】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】如图，于点，，则与的关系是 ．    审题关键:本题要判断两直线的位置关系，对两条相交直线来说，常常是判断其是否垂直，判断的方法是计算其所形成的夹角的度数. 【解后反思】 利用垂直进行角的计算时，要准确掌握相关锐角间的互余关系. 画垂线 例6 如图，直线与相交于点． (1)过点在的上方画射线； (2)在（1）的条件下，若，求和的度数． 【变式6-1】按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【变式6-2】按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 垂线段最短 例7 如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ） A．线段的长是点到直线的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．，，三条线段中，最短 D．线段的长是点到直线的距离 【变式7-1】如图，要把河中的水引到处，可过点引于，然后沿开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据： ． 【变式7-2】如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人去车站距离最近，火车站应建在铁路线上的A点，这样做的数学道理是 ． 【变式7-3】如图，是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是 ． 点到直线的距离 例8 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（    ） A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AP的长是点A到直线PC的距离 D．线段AP的长是点C到直线PA的距离 【变式8-1】如图，在三角形中，，D为垂足，则下列说法中，错误的是（    ） A．点B到的距离是线段的长 B．点B到的距离是线段的长 C．点C到的距离是线段的长 D．点C到的距离是线段的长 【变式8-2】如图，在中，，，垂足为点E，D为的中点，则点A到直线的距离是线段 的长度．    【变式8-3】如图，，，点B到边的距离是线段 的长． 【变式8-5】如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段 的长度表示点A到直线的距离． 与相交线有关的规律探究题 例9 通过画图，寻找对顶角和邻补角（不含平角）： （1）若2条直线相交于一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （2）若3条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （3）若4条直线相交于同一点，则有 对对顶角， 对邻补角． （4）通过（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于同一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角． 审题关键:熟记概念并准确识图,按照一定的顺序数出对顶角的对数是解题的关键. 【变式9-1】已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个． 【变式9-2】如图，两条直线相交只有1个交点，.三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，……，二十条直线相交最多有 个交点. 【变式9-3】我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【例1】下列语句正确的个数是（     ） ①有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；②如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于180°，则这两个角为邻补角；④两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等那么这两条直线互相垂直：⑤直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离；⑥互相垂直的两条线段一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【防错警示】 对对顶角的判定，要严格依据概念，缺少任何一个条件，就不是对顶角.对顶角相等，反过来说是不成立的,即相等的角不一定是对顶角，不是对顶角的角也可能相等. 【例2】()在图中，过外一点作的垂线； ()在图中，分别过作的垂线. 【防错警示】 画线段或射线的垂线就是画这条线段或射线所在直线的垂线，垂足可能在线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上. 【例3】如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是（ ） A．线段的长是点到直线的距离 B．线段的长是点到直线的距离 C．，，三条线段中，最短 D．线段的长是点到直线的距离 【防错警示】 线段是图形，线段的长度才是距离,切勿混淆“线段”与“线段的长度”的含义. 【例4】点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，，则点P到直线l的距离（　　） A．大于等于 B．大于且小于 C．等于 D．小于等于 【防错警示】 在给出的三条线段中，PA最短，因为没有给出图形，所以线段 PA不一定是垂线段,所以有两种可能情况:线段PA是垂线段和线段PA不是垂线段. 1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则点到的距离指线段 的长度．    3．如图，，于点D，点A到的距离是(　　) A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 4．如图，直线和的夹角是 5．如图，直线与相交于点，，平分且，则 ． 6．如图，已知，，那么 ． 7．如图，点P在直线外，，，则线段的值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$