6.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理（共2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

6.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 第 六 章 计 数 原 理 人教A版2019选择性必修第三册 章节引入 0 本章我们就来探究现在的计数原理！ 石子计数 玛雅计数 结绳计数 古代计数方法 章节导读 0 6.1分类加法、分步乘法 6.2排列与组合 6.3二项式定理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 二项式定理 二项式系数的性质 排列数 组合 组合数 排列 学习目标 1 2 3 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 能理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，正确选择“分类”或“分步”． 能运用两类计数原理解决一些简单的实际问题． 0 新课引入 0 我们一起来探究这两个问题该如何解决吧！ （1）若你只吃一样，你有多少种选择？ （2）若要配成一素一荤的套餐，可以配制出多少种不同的套餐？ 食堂备有10种不同的素菜 8种不同的荤菜. 读教材 0 阅读课本P2-P7，4分钟后完成下列问题： 1.完成一件事的两种计数原理分别是什么？ 我们一起来探究两类计数原理吧！ 2.完成一件事需要考虑到哪些问题？ 01 03 02 目录 1 分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 学习过程 3 题型训练 新知探究 1 探究1：假如你国庆去外婆家玩，要从A市到B市，一天中，飞机有4个班次，火车有3个班次，那么你一天中乘坐这些交通工具从A市到B市能有多少种不同的方法？ 问题1 题中要完成一件什么事？怎么完成这件事？如何计算完成这件事情的方法数？ 火车3个班次 4+3=7 有7种不同方法出行 飞机4个班次 从A市到B市 坐飞机或坐火车 4+3=7 新知探究 1 探究1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号， 总共能编出多少种不同的编码？ 问题2 题中要完成一件什么事？怎么完成这件事？如何计算完成这件事情的方法数？ 共26个字母 26+10=36 有36种不同的编码 共10个数字 给教室的座位编号 用一个英文字母或阿拉伯数字 26+10=36 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z. 阿拉伯数字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 1 分类加法计数原理 新知1－－分类加法计数原理 一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法. 注意：两类不同方案中的方法互不相同. 这就是分类加法计数原理 新知探究 1 思考：读书课上，老师提供了6本不同的科普杂志，7本不同的文摘杂志， 你从其中任选一本，有几种选择方式？ 问题1 若老师提供了6本不同的科普杂志，7本不同的文摘杂志和5本不同的新闻杂志，你从其中任选一本，有几种选择方式？ 6+7=13（种） 问题2 如果还有9本不同的文学小说呢，有几种选择方法？ 6+7+5=18（种） 6+7+5+9=27（种） 你有什么发现？ 1 分类加法计数原理的推广 新知1－－分类加法计数原理   注：(1)各类方案之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加，因此分类计数原理又称加法原理； (2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类， 然后对每类方法计数. 学以致用 例1 某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（ ） A.24种 B.9种 C.3种 D.26种 B 解：不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选一本阅读，共有9种选法.故选B. 完成一件什么事 怎么完成这件事 英文字母 有什么要求 选一本杂志 方案1：在科普杂志中选 方案2：在文摘杂志中选 方案3：在娱乐新闻杂志中选 从科普、文摘、娱乐新闻杂志三类中选择 学以致用 例2 满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的 有序实数对(a，b)的个数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 C 解：由已知得ab≤1.当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能； 当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能； 当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能. ∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13；故选C. 学以致用 例3 用1,2,3这3个数字可写出没有重复数字的整数有____个. 15 解：分三类： 第一类为一位整数，有3个； 第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； 第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个. ∴可写出没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个). 思路点拨 利用分类加法计数原理解题的一般思路： 分类 计数 结论 将完成一件事的办法分成若干类 求出每一类中的方法数 将每一类中的方法数相加得最终结果 注意：确定分类标准时要确保每一类都能独立地完成这件事. 01 03 02 目录 学习过程 1 分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 3 题型训练 新知探究 2 探究2：假如你国庆去外婆家玩，要从A市到B市，首先，你要坐飞机有4个班次到C市，再坐高铁有3个班次到B市，那么你从A市到B市能有多少种不同的方法？ 问题1 题中要完成一件什么事？怎么完成这件事？如何计算完成这件事情的方法数？ 高铁3个班次 4×️3=12 有12种不同方法出行 飞机4个班次 从A市到B市 第一步：坐飞机 第二步：坐飞机 4×3=12 新知探究 2 探究2：用1个大写英文字母和1个阿拉伯数字给教室座位编号(以A0，A1，…，A9，B0，B1，…的方式)，总共能编出多少种不同的编码？ 问题2 题中要完成一件什么事？怎么完成这件事？如何计算完成这件事情的方法数？ 共26个字母 26×10=260 有260种不同的编码 共10个数字 给教室的座位编号 26×10=260 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z. 阿拉伯数字： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 第一步：英文字母编号有26种； 第二步：数字编号有10种； 2 新知2－－分步乘法计数原理 分类加法计数原理 一般地，如完成一件事需要两个步骤，第一步有m种不同的方法， 第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝mn 种不同的方法. 这就是分类步乘法计数原理 思考：如何区分“完成一件事”是分类还是分步？ 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键看一步能否完成这件事，若能完成，则是分类，否则，是分步. 分类加法计数原理的推广 2 新知2－－分步乘法计数原理   注：(1)各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成， 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数，又称乘法原理； (2)首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数. 新知探究 2 思考：你能说说分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系吗？ 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 都是完成一件事的不同方法种数的问题 都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 注意 分步要“步骤完整” 是方法的分类:“类类独立” 即每类方法中的每一种方 法都能独立地完成这件事 分类要“不重不漏” 是过程的分步：“步步相依” 即各个步骤是相互依存的， 必须每步都完成了，才算做完这件事 学以致用 例1 现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣 配成一套，那么不同的选法种数为（ ） A.7 B.64 C.12 D.81 解: 四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤共有：3×4＝12种不同选法。 C 完成一件什么事 怎么完成这件事 英文字母 有什么要求 搭配一套衣服 用上衣与长裤搭配 第1步：在四件上衣里面选一件 第2步：在三条长裤里面选一条 学以致用 例2 从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数 a＋bi，其中虚数有（ ） A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 C 解：要完成这件事可分两步， 第一步确定b(b≠0)，有6种方法， 第二步确定a，有6种方法， 故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数，C正确. 学以致用 例3 十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，共有____种行车路线. 解：十字路口车辆的起点分别在四个路口，所以起点有4种可能性， 因为不允许掉头，所有车辆可能直行、左转、右转，所以终点有3种可能性，根据分步乘法计数原理得：行车路线共有4×3＝12(种). 12 思路点拨 利用分步乘法计数原理解题的一般思路： 分步 计数 结论 将完成一件事的过程分成若干步 求出每一步中的方法数 将每一步中的方法数相乘得最终结果 注意：确定分步标准时要确保每一步都不能独立地完成这件事. 01 03 02 目录 学习过程 1 分类加法计数原理 2 分步乘法计数原理 3 题型训练 题型1－－两类计数原理 3 例1 食堂备有10种不同的素菜8种不同的荤菜？ (1)若你只吃一样，你有多少种选择？ (2)若要配成一素一荤的套餐，可以配制出多少种不同的套餐？ 解：(1)根据分类加法计数原理得：有10＋8＝18种选择； (2)根据分步乘法计数原理得：可以配置出10×8＝80种不同的套餐. 思路点拨 用两个原理的原则： 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类， 逐类解决，用分类加法计数原理； “分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决， 这时可用分步乘法计数原理. 3 例2 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ 解：(1)分为三类： 从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法. (2)分为三步： 国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理， 共有5×2×7＝70(种)不同的选法. 题型1－－两类计数原理 3 例2 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画. (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？ 解：(3)分为三类： 第一类是一幅选自国画，一幅选自油画， 由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法； 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法； 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法. 所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法. 题型2－－两类计数原理的综合应用 3 例3 如图，甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解：要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 第1类，从甲地经乙地到丙地，共需两步完成： 第1步，从甲地到乙地，有3条公路可走；第2步，从乙地到丙地，有2条公路可走. 根据分步乘法计数原理，从甲地经乙地到丙地有3×2＝6(种)不同的走法. 第2类，从甲地不经乙地到丙地，有2条水路可走，即有2种不同的走法. 由分类加法计数原理知，从甲地到丙地共有6＋2＝8(种)不同的走法. 题型1－－两类计数原理的综合应用 课堂小结 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 第1步有m种不同的方法， 第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.     课堂小结 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 都是完成一件事的不同方法种数的问题 都是完成一件事的不同方法种数的问题 区别 注意 分步要“步骤完整” 是方法的分类:“类类独立” 即每类方法中的每一种方 法都能独立地完成这件事 分类要“不重不漏” 是过程的分步：“步步相依” 即各个步骤是相互依存的， 必须每步都完成了，才算做完这件事 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手， “分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理； “分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理. $$