6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第三册同步高效课堂（人教A版2019）

第六章 计数原理 6.1分类加法计数原理 与分步乘法计数原理 ·选择性必修第三册· 学习目标 1.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理;（重点） 2.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.（重点） 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.（难点） 4.培养数学建模、数学运算等重要学科素养 情境导入 6.1 两个计数原理 01 引入新知 随着人们生活水平的提高,家庭汽车拥有量迅速增长,汽车号牌序号需要扩容． 那么,交通管理部门应如何确定序号的组成方法,才能满足民众的需求呢? 计数问题 引入新知 小朋友数玩具 红、黄、绿三面旗帜组成航海信号 4种碱基组成不同的RNA分子 思考：通过一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数”，以提高效率呢？ 分类加法计数原理 6.1 两个计数原理 02 探究新知 思考 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 编号有2类方案： 第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出 26种 不同的号码; 第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出 10种 不同号码; 总共能编出 26+10=36种 不同的号码. 探究新知 探究 你能说一说这个问题的特征吗? 首先 这里要完成的事情是“给一个座位编号” 其次 “或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示 因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母 编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同． 这两类号码数相加就得到号码的总数． 探究新知 思考 上述计数过程的基本环节有哪些？ （1） 确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2） 分别计算各类号码的个数； （3） 各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 思考 你能举一些生活中类似的例子吗？ 探究新知 举例 小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？ 从北京到重庆有2类方案： 第一类方案 乘坐飞机：可编出 4种 不同的号码; 第二类方案 乘坐火车：可编出 3种 不同号码; 总共能编出 4+3=7种 不同的号码. 探究新知 定义 一般地，有如下 分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法. 应用新知 例1：在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些 自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1， 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 管理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ 应用新知 分析 要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件． 解析 该同学选一个专业，有两类方案： 第1类，在A大学中选，有5种专业选择方法； 所以根据分类加法计数原理，共有不同选法种数为: N = 5+4 = 9 第2类，在B大学中选，有4种专业选择方法．， 应用新知 可以从男生或女生种选一名． 从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法． 根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为 N= 30+24 = 54 解析 跟踪练习：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比 赛，共有_______种不同的选法. 54 探究新知 探究 完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N = m1+m2+m3 种不同方法 推广 如果完成一件事情有 n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 共有 N = m1+m2+ ... +mn 种不同方法 分步乘法计数原理 6.1 两个计数原理 03 探究新知 追问 前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？ 思考 这两个问题中编号的要求不同， 在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码． 但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤． 探究新知 提示 用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码. 图 6.1-1 是解决计数问题常用的 “树状图” 追问 你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 探究新知 追问 有没有更简单一点的计数方法？ 我们还可以这样来思考： 由于前 6 个英文字母的任意一个都能和 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码. 探究新知 探究 你能说一说这个问题的特征吗? 首先 这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号” 其次 “和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成 因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的． 探究新知 思考 上述计数过程的基本环节有哪些？ （1） 确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤； （2） 分别计算各步骤号码的个数； （3） 各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数． 思考 你能举一些生活中类似的例子吗？ 探究新知 举例 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？ 从北京到重庆：需分2个步骤进行 第一步 从北京到成都：有 4种 不同的走法; 第二步 从成都到重庆：有 3种 不同的走法; 总共有 4×3=12种 不同的走法. 探究新知 定义 一般地，有如下 分步乘法法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有： N = m×n 种不同的方法. 辨析 (1)无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数 (2)只有各个步骤都完成才算做完这件事情 应用新知 例2：某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加 比赛，共有多少种不同的选法? 分析 要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生． 任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为: N= 30×24 = 720 解析 应用新知 跟踪练习：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数 字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局 不同的电话号码最多有多少个？ 确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成： 第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法； 第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为 N= 10×10 = 100 解析 探究新知 探究 完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N = m1×m2×m3 种不同方法 推广 如果完成一件事情需要 n 个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 共有 N = m1×m2× ... ×mn 种不同方法 应用新知 例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书． (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法? (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 分析 (1)要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案； (2)要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成． 应用新知 (1)从书架上任取 1 本书，有三类方案： 解析 第 1 类方案是从第 1 层取１本计算机书，有 4 种方法； 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为：N = 4+3+2 = 9 第 2 类方案是从第 2 层取１本文艺书，有 3 种方法； 第 3 类方案是从第 3 层取１本体育书，有 2 种方法． 应用新知 (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成： 解析 第 1 步，从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法； 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N = 4×3×2 = 24 第 2 步，从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法； 第 3 步，从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法． 应用新知 跟踪练习：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别 挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不 同的挂法? 解析 法一：分步乘法计数原理 3×2 = 6 第 1 步：选出 2 幅画( 3种：甲乙、甲丙、乙丙) 第 2 步：对 2 幅画确定左右(各 2 种挂法) 法二：分步乘法计数原理 3×2 = 6 第 1 步：选 1 幅挂左边( 3种：甲、乙、丙) 第 2 步：选 1 幅挂右边(各 2 种选择) 应用新知 跟踪练习：要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅, 分别 挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不 同的挂法? 解析 法三：分类加法计数原理 2+2+2 = 6 第 1 类：甲在左( 2种方法：甲乙、甲丙) 第 2 类：乙在左( 2种方法：乙丙、乙甲) 第 3 类：丙在左( 2种方法：丙甲、丙乙) 法四：树状图列举法，如右图 探究新知 总结 分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同： 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题 不同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事； 针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 能力提升 6.1 两个计数原理 04 能力提升 题型一 “多面手”问题 例题1 7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法. 【详解】第 1 步：选出会象棋的，有5种选择; 第 2 步：选出会围棋的，有4种选择; 根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法. 3 象 2 围 2 多 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有20－2=18种选法 能力提升 总结 排除法解决“多面手”问题 模型 a 名会甲但不会乙，c 名会乙但不会甲，b 名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法. a 甲 c 乙 b 多 解析 第1步：选出会甲的，有 a+b 种选择; 第2步：选出会乙的，有 c+b 种选择; 根据分步乘法计数原理，共 (a+b)(c+b) 种选法. 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有 (a+b)(c+b)－b种选法 能力提升 题型二 “ ab与ba”问题 例题2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 【详解】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：36=729 (2)每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛． 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：63=216 能力提升 总结 模型 有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 分步乘法计数原理解决“abba”问题 解析 (1)人选项目，每人有 b 种选法，根据乘法原理：a个人共有种 ba 选法; (2)项目选人，每项目有 a 种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab 种选法; 课堂小结+限时小练 6.1 两个计数原理 05 课堂小结 两个 计数原理 随堂限时小练 解析 随堂限时小练 解析 随堂限时小练 解析 随堂限时小练 解析 随堂限时小练 解析 随堂限时小练 解析 随堂限时小练 解析 第1步：选出会下象棋的，有 6 种选择; 第2步：选出会乙的，有 7 种选择; 根据分步乘法计数原理，共 6×7=42 种选法. 其中同个多面手 4 次均被选中的情况应排除， 故有 42-4=38 种选法 2 象棋 3 围棋 4 多 作业布置 巩固作业 作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.  作业布置与课后练习答案 6.1 两个计数原理 06 课后作业答案 1．填空题 (1)一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 ； (2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是 ． 练习 (第5页) (1)由分类加法计数原理可得，不同选法的种数是：5 + 4=9 (2)由分步乘法计数原理可得，不同选法的种数是：3×2=6 课后作业答案 练习 (第5页) 在例1中，若数学也是A大学的强项专业，则A大学有6个专业可以选择，B大学有4个专业可以选择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6+4=10．这种算法有什么问题？ 这种算法不正确. 因为要确定的是这名同学的专业选择，并步需要考虑学校的差异， 所以应当是6+4-1=9（种）可能的专业选择. 课后作业答案 练习 (第5页) 3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 (1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? (1)从书架上任取 1 本书，有两类方法： 第 1 类方法是从上层取 1 本数学书，有 6 种取法； 第 2 类方法是从下层取 1 本语文书，有 5 种取法， 根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为 N=6+5=11 课后作业答案 练习 (第6页) 3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书 (1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? (2)从书架上任取数学书和语文书各1本，有多少种不同的取法? (2)从书架的上、下层各取 1 本书，可以分成两个步骤完成： 第 1 步，从上层取 1 本数学书，有 6 种取法； 第 2 步，从下层取 1 本语文书，有 5 种取法， 根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为 N=6×5=30. 课后作业答案 练习 (第6页) 4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． (1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? (2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法? (1)从三个年级的学生中任选 1 人，有三类方案： 第 1 类从高一年级的学生中选取 1 名，有 3 种选法；第 2 类从高二年级的学生中选取 1 名，有 5 种选法；第 3 类从高三年级的学生中选取 1 名，有 4 种选法； 根据分类加法计数原理可得，不同的取法种数为 N=3+5+4=12 课后作业答案 练习 (第6页) 4．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名． (1)从三个年级的学生中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法? (2)从三个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动．有多少种不同的选法? (2)从三个年级的学生中任各选 1 人，可以分三步完成： 第 1 步从高一年级的学生中选取 1 名，有 3 种选法；第 2 步从高二年级的学生中选取 1 名，有 5 种选法；第 3 步从高三年级的学生中选取 1 名，有 4 种选法； 根据分步乘法计数原理可得，不同的取法种数为 N=3×5×4=60. THANKS 感谢您的聆听 书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为 ( ) A．3 B．8 C．12 D．18 完成从书架上取1本书可以分三类方案，第1类，从第1层取有有3种取法；第2类，从第2层取有有3种取法；第3类，从第3层取有有2种取法；由分类加法计数原理可得，不同的取法种数共为： . 故选：B. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片 及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（    ） A．9种 B．12种 C．24种 D．72种 任选1部电影可分四类： 第一类选的是科幻片，有3种选法；第二类选的是警匪片，有4种选法；第三类选的是战争片，有3种选法；第四类选的是喜剧片，有2种选法； 由分类加法计数原理可得不同的选法共有 （种）． 故选：B． 有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤 配成一套，则不同的配法种数为（    ） A．13 B．40 C．72 D．60 搭配配成一套，需要分两个步骤： 第1步选上衣，共有5种选法；第2步选长裤，共有8种选法，由分 步乘法计数原理得不同的配法种数为 . 故选：B. 中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生， 每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（    ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 由题可知，每个人都必须有灯笼，所以是人选灯笼，每名同学都有3 种选法，故不同的选购方式有 种. 故选：A 书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书， 第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ (1)从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2类，从第2层 取1本数学书，有5种方法；第3类，从第3层取1本外语书，有 4种方法.根据分类加法计数原理，不同取法的种数为 . 书架的第一层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书， 第3层放有4本不同的外语书． (1)从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本语文书，有6种方法；第2步，从第2层 取1本数学书，有5种方法；第3步，从第3层取1本外语书，有 4种方法.根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为 . 有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下 象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生， 一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？ $$