广东省深圳市宝安区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

高一 数学试卷 第 1页 共 4页 宝安区2024-2025学年第一学期期末调研测试卷 高一 数学 注意事项： 1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定 的位置上，并正确粘贴条形码。 2．作答选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题 时，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或 草稿纸上，其答案一律无效。 3．本试卷共 4页，19小题，满分为 150分。考试时间 120分钟。 4．考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 { 2, 1,0,1,2}U    ，集合 2{ | 1}A x x  Z ，则 U A ð （ ） A．{ 2, 1,0,1}  B．{2} C．{ 1,0,1} D．{ 2,2} 2． cos( 1050 )  （ ） A． 3 2 B． 3 2  C． 1 2 D． 1 2  3．命题“ 2,x x x  R ”的否定是（ ） A． 2,x x x  R B． 2,x x x  R C． 2,x x x  R D． 2,x x x  R 4．记函数 2 3( ) logf x x x   的零点为 0x ，则 0x （ ） A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4) 5．已知 1 22, log 2, 1,( )a e b c x x x      R ，则 , ,a b c的大小关系为（ ） A． a b c  B．b c a  C．b a c  D． a c b  2025.1 高一 数学试卷 第 2页 共 4页 6． “ ( 1)log my x 在定义域内是增函数”是“函数 2( ) ( 7 13) mf x xm m   是幂函 数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 7． 已知函数 ( ) 2sin(2 ) 6 f x x   下列说法正确的是（ ） A． ( )f x 的周期为 2 B． ( )f x 在 [ , ],( ) 3 6 x k k k Z      上单调递减 C．当 , ( ) 6 x k k Z   时， ( )f x 取得最大值 D． ( ) ( ) 2 12 f f  8．已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x ，当 0 1x  时， ( ) 4 2 1xf x x   ，若 ( ) ( 2)f x f x   恒成立，则函数 ( ) ( ) 1g x f x x   的零点个数为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D．5 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有 选错的得 0分． 9．下列关于角的说法中，正确的为（ ） A．若 的终边在 y轴上，则 k  ， kZ B．若 是第二象限角，则 2  不是第二象限角 C．若 tan 3  ，则 3 10sin 10   D．若扇形的圆心角为，半径为 ，则该扇形的面积为 2 高一 数学试卷 第 3页 共 4页 10．下列选项正确的是（ ） A． 2025sin( π) cos 2 x x  B．  R ，使 3 3sin cos 1   C．若 π 1 πsin( ) , ( ,0) 3 3 2 x x    ，则 2 2 2cos( π ) 3 3 x   D．曲线 siny x 与 2cosy x 在 2 2( π, π) 3 3 x  有 6个交点 11．已知 0a  ， 0b  ，且 11b a   ，则（ ） A． b a 的最大值为 1 4 B． 22 1 b a  的最小值为 1 4 C． 2 a b 的最小值为 2 1 D． 1a b  的最小值为 4 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．设不等式 2 2 1 x x    的解集为 ( , )a b ，则b a  ． 13．已知 ln( 1) 1 ay x    为奇函数，则实数 a的值是 ． 14．若 12 5   ， 2log 4   ，则   ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合 1{ | 2 2} 4 xA x   ， ( 1) 2{ | ( }) 0x axB x    ． （1）当 2a   时，求 A B ； （2）当 0a  ，且 A B  Æ时，求实数 a的取值范围． 高一 数学试卷 第 4页 共 4页 16．（15分） 设函数 1( )f x x x   ． （1）用定义证明： ( )f x 在区间 (0, ) 上单调递增； （2）设 1x  ，求不等式 2 3(log ) 2 f x  的解集． 17．（15分） 已知函数 ( ) ( 5)( 3),( 0, 1)x xf x a a a a     . （1）求函数 ( )f x 的最小值 （2）当且仅当 2x  时， ( )f x 取得最小值，求 ( )f x 在 [ 1,3]x  的值域 （3）若 3a  ，对 [1,2], ( ) 3 1xx f x m     恒成立，求m的取值范围. 18.（17分） 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研．经调研发现，施用肥料 x千克时，这种果树的单株产量 22( 17),0 2, 8 50 , 2 5 1 ( ) x x W x x x             （单位：千克），单株施 用肥料及其它成本的总投入为 (20 10)x 元．已知这种水果的市场售价大约为 10元 /千克，且销路畅通供不应求．记该果树的单株利润为 ( )f x （单位：元）． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分） 已知函数 2( ) log [( 2) ] af x a x x    和 2( ) log [ (2 3)]g x x a   ，且 aR . （1）若 ( )f x 的最小值为 5 2 ，求实数 a的值. （2）若 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且仅有一个交点，求实数 a的取值范围. 数学试题 第 1 页 （共 6 页） 绝密★启用前 试卷类型：A 宝安区高一期末考试 数学试题答案及评分参考 2025.1 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C A B C D 8．已知定义在R 上的奇函数 ( )f x ，当0 1x  时， ( ) 4 2 1xf x x= + − ，若 ( ) ( 2)f x f x= − + 恒成立，则函数 ( ) ( ) 1g x f x x= − + 的零点个数为 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 解析： ( ) 0g x = 等价于 ( ) 1f x x= − ，故 ( )g x 的零点个数等于曲线 ( )y g x= 和直线 1y x= − 的交点个数， ∵ ( ) ( 2)f x f x= − + ，∴ ( 4) ( 2) ( )f x f x f x+ = − + = ，故 ( )f x 的一个周期为 4， 又∵ ( ) (2 ) ( 2 ) (2 )f x f x f x f x= − + = − − = − ，故曲线 ( )y f x= 关于直线 1x = 对称， 在同一坐标系下画出 ( )f x 和 ( ) 1h x x= − 的图像可知，共有 5 个交点，故选 D 选项． 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 数学试题 第 2 页 （共 6 页） 题号 9 10 11 答案 BD AC ACD 11．已知 0a  ， 0b  ，且 1 1b a = − ，则 A． b a 的最大值为 1 4 B． 2 2 1 b a + 的最小值为 1 4 C． 2 a b− 的最小值为 2 1− D． 1 a b + 的最小值为 4 解析：对于 A 选项， 2 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) 2 4 b a a a a a + − = −  = ，当 2a = 时等号成立，故 A 选项正 确； 对于 B 选项， 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2( ) 2( ) 1 2( ) 2 2 b a a a aa a + = + − = − + = − + ，故当 2a = 时， 2 2 1 b a + 有最小值 1 2 ，故 B 选项错误； 对于 C 选项， 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 a a b a − = − +  − = − ，当 2a = 时等号成立，故 C 选项 正确； 对于 D 选项， 1 1 1 ( 1) 2 4 1 1 1 1 a a a a a b a a a + = + = + = − + +  − − − ，当且仅当 1 1 1 a a − = − ，即 2a = 时，等号成立，故 D 选项正确． 综上所述，应选 ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．1 13． 2− ； 14．5 14．若 12 5 −+ = ， 2log 4 + = ，则 + = ． 解析：∵ ( ) 2 xf x x= + 是增函数，∴方程 ( ) 4f x = 有唯一解， 又∵ 1( 1) 1 2 4f   −− = − + = ， 2(log ) 4f  = ，∴ 21 log − = ， ∴ 21 log 5   + = + + = ． 数学试题 第 3 页 （共 6 页） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 已知集合 1 { | 2 2} 4 xA x=   ， ( 1) 2{ | ( }) 0x axB x − = − ． （1）当 2a = − 时，求 A B ； （2）当 0a  ，且 A B = 时，求实数 a 的取值范围． 解：（1）由 1 2 2 4 x  ，解得 2 1x−   ，∴ }2{ 1|A xx= −   ， ……………………2 分 当 2a = − 时， ( 1)( 2) 0x ax− −  即为 ( 1)( 2 2) 0x x− − −  ， 即为 ( 1)( 1) 0x x− +  ，∴ { | 1 , 1}B x x x=  − 或 ， ……………………………4 分 ∴ { | 1}A B x x=  ． ……………………………………………………………6 分 （2）∵ 0a  ，∴ 2 ( 1)( ) 0x x a − −  ， ………………………………………………8 分 当 2 1 a = ，即 2a = 时，B = ， A B = ，符合题意； …………………………9 分 当 2 1 a  ，即0 2a  时， 2 { |1 }B x x a =   ， A B = ，符合题意； …………10 分 当 2 1 a  ，即 2a  时，则 2 { | 1}B x x a =   ， A B B=  ，不合题意； ……11 分 综上所述，实数 a 的取值范围是 (0,2]． ………………………………………13 分 16．（15 分） 设函数 1 ( )f x x x = − ． （1）用定义证明： ( )f x 在区间 (0, )+ 上单调递增； （2）设 1x  ，求不等式 2 3 (log ) 2 f x  的解集． 解：（1）证明：任取 1 2 (0, ),x x  + ，且 1 2x x ， …………………………………1 分 则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( 1)1 1 ( ) ( ) ( ) x x x x f x f x x x x x x x − + − = − − − = ， ……………………………3 分 ∵ 1 2 0x x  ，∴ 1 2 0x x−  ， 1 2 1 0x x +  ， ………………………………5 分 ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) ( ) ( ) 0 x x x x f x f x x x − + − =  ， 即 1 2( ) ( )f x f x ， ………………………………………………6 分 数学试题 第 4 页 （共 6 页） ∴ ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增. ………………………………………………7 分 （2）易知 3 (2) 2 f = ， ……………………………………………………………………9 分 ∴原不等式等价于 2(log ) (2)f x f ， ……………………………………………10 分 ∵ 1x  ，∴ 2log 0x  ， …………………………………………………11 分 又由（1）可知， ( )f x 在区间 (0, )+ 上单调递增， ∴ 2(log ) (2)f x f 等价于 2log 2x  ， ……………………………………………13 分 即 2 2log log 4x  ，∴ 4x  ， ……………………………………………14 分 ∴不等式 2 3 (log ) 2 f x  的解集为{ | 4}x x  . ………………………………15 分 17．（15 分） 已知函数 ( ) ( 5)( 3),( 0, 1)x xf x a a a a= − −   . （1）求函数 ( )f x 的最小值 （2）当且仅当 2x = 时， ( )f x 取得最小值，求 ( )f x 在 [ 1,3]x − 的值域 （3）若 3a = ，对 [1,2], ( ) 3 1xx f x m    − 恒成立，求m的取值范围. 解：(1)由题： 2 2( ) ( ) 8 15 ( 4) 1x x xf x a a a= − + = − − ………2 分 0, 1, R 0xa a x a     ， ………3 分 4xa = 时， ( )f x 取得最小值为 1− . ………4 分 (2) 由（1）可知： 2 4a = ，故 2a = ………5 分 当 [ 1,3]x − 时， 1 2 [ ,8] 2 x  ………6 分 故当 2x = 时，即 2 4 x = 时， ( )f x 取得最小值 1− ………7 分 故当 3x = 时，即 2 8x = 时， ( )f x 取得最大值15 ………8 分 ( )f x 的值域为[ 1,15]− ………9 分 （3）由题：当 3a = ，原不等式为 23 8 3 15 3 1x xx m−  +   − ， 即 16 3 8 3 x x m  + − ………11 分 [1,2]x 时， 3 [3,9]x  ………12 分 数学试题 第 5 页 （共 6 页） 16 16 3 8 2 3 8 0 3 3 x x x x + −   − = ，当且仅当 3 16 3 log 4 3 x x x=  = 取等 ……14 分 故此时 ( )f x 取得最小值为 0 . 0m  ……15 分 18．（17 分） 某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研．经调研发现，施用肥料 x千克 时，这种果树的单株产量 2 2( 17), 0 2, 8 50 , 2 5 1 ( ) x x W x x x +   = −   −      （单位：千克），单株施用肥料及其它 成本的总投入为 (20 10)x + 元．已知这种水果的市场售价大约为 10 元/千克，且销路畅通 供不应求．记该果树的单株利润为 ( )f x （单位：元）． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）由已知得， ( ) 10 ( ) (20 10)f x W x x= − + ，………………………………………3 分 又 22( 17),0 2, ( ) 8 50 ,2 5, 1 x x W x x x  +    =  −   − ∴ ( ) 220( 17) (20 10),0 2, ( ) 80 500 20 10 ,2 5, 1 x x x f x x x x  + − +    =  − − +   − …………………………………………6 分 整理得 220 20 330,0 2, ( ) 80 490 20 ,2 5. 1 x x x f x x x x  − +    =  − −   − …………………………………………8 分 （2）当0 2x  时， 2 21( ) 20 20 330 20( ) 325 2 f x x x x= − + = − + ， ………………9 分 ∴当0 2x  时， ( ) (2) 370f x f = ， …………………………………………11 分 当 2 5x  时， 80 80 ( ) 490 20 490 [ 20( 1) 20] 1 1 f x x x x x = − − = − + − + − − 80 80 470 [ 20( 1)] 470 20( 1) 390 1 1 x x x x = − + −  −  − = − − ， ………………13 分 当且仅当 80 20( 1) 1 x x = − − ，即 3x = 时等号成立， max( ) 390f x = ， ……………15 分 ∵370 390 ，∴ ( )f x 的最大值为 390， ………………………………………16 分 ∴当施用肥料为 3 千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是 390 元． ……17 分 19.（17 分） 已知函数 2( ) log [( 2) ] a f x a x x = − + 和 2( ) log [ (2 3)]g x x a= + − ，且 aR . 数学试题 第 6 页 （共 6 页） （1）若 ( )f x 的最小值为 5 2 ，求实数 a 的值. （2）若 ( )f x 与 ( )g x 的图像有且仅有一个交点，求实数 a 的取值范围. 解：(1)由题可知：函数 ( 2) + a y a x x = − 的最小值为 4 2 . ………1 分 ①当 2a  时， 0x  ，此时 min 2 ( 2) 4 2 4y a a a= − =  = ………2 分 ②当 2a = 时， 2 y x = ，此时无最小值 ………3 分 ③当0 2a  时， 2 a x a  − − 或0 2 a x a   − ， ( 2) + a y a x x = − 在这两段上的取值范围 均为 (0, )+ ，故不成立. ………4 分 ④当 0a = 时， 2y x= − ，此时无最小值 ………5 分 ⑤当 0a  时， 0x  ，此时 ( 2) + a y a x x = − 有最小值，无最大值， min 2 ( 2) 4 2 2y a a a= − =  = − ……6 分 综上： 4 2a a= = −或 ………7 分 （2）由题可知 ( 2) (2 3), ( 2) 0, +(2 3) 0, a a x x a x a a x x x a  − + = + −   − +    −    ① ② ③ ………9 分 对于①，可得 2( 3) (2 3) 0a x a x a− − − + = ，即[( 3) ]( 1) 0a x a x− − − = ………10 分 （ⅰ）当 3a = 时，只有一个零点 1x = ，代入②③检验成立. ………11 分 （ⅱ）当 3a  时，方程有两个零点 1 2, 1 3 a x x a = = − ，由题只能有一个零点满足题意 若 1 3 a x a = − 满足，则 ( 2) ( 3) 0 3 3 3 2 3 0 3 3 a a a a a a a a a a  −  + −    −    + −     − …13 分 且 2 1x = 不满足，若 2 1x = 同时满足②③，则 2 0 1 2 2 0 a a a a − +    −  ，则 2 1x = 不满足的条 件为 1a  .故 a 无解. ………15 分 若 2 1x = 满足，即 1a  ， 1 3 a x a = − 不满足，即 3a  故 (1,3]a . …16 分 综上所述： (1,3]a ………17 分