第08讲 向量的应用（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第08讲 向量的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握用向量法解决平面几何问题的方法； 2．能掌握向量知识研究物理问题的一般思路与方法． 知识点1 向量在几何中的应用 1、向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）转化：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）运算：通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）翻译：把运算结果“翻译”成几何关系． 2、向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：． （3）求夹角问题，利用夹角公式：． （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或． 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题． 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上． 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解． 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量．在解决问题时要注意数形结合． 考点一：利用向量证明平面几何问题 例1．（23-24高一下·河北邯郸·月考）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 . (1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【变式1-1】（23-24高一下·内蒙古·月考）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线． (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【变式1-2】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 【变式1-3】（23-24高一下·广西崇左·月考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 考点二：利用向量求线段的长度 例2.（23-24高一下·海南·月考）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 【变式2-1】（21-22高一下·山东济宁·期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【变式2-2】（23-24高一下·福建福州·月考）在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·四川自贡·月考）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 考点三：利用向量求线段的夹角 例3.（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【变式3-2】（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【变式3-3】（23-24高一下·安徽·月考）窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 考点四：力的合成问题 例4.（23-24高一下·广东江门·月考）平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，则 . 【变式4-1】（22-23高一下·江苏徐州·月考）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【变式4-2】（23-24高一下·山东青岛·月考）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【变式4-3】（23-24高一下·广东佛山·月考）（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 考点五：速度与位移的合成问题 例5.（23-24高一下·吉林延边·期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（    ） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【变式5-1】（23-24高一下·广东广州·月考）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【变式5-2】（23-24高一下·山东菏泽·月考）河中水流自西向东流速为，小船自南岸点出发，想要沿直线驶向正北岸的点，并使它的实际速度达到每小时，该小船行驶的方向为 ，小船在静水中的速度为 ． 【变式5-3】（23-24高一下·贵州六盘水·月考）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 考点六：功和动量的计算 例6.（23-24高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【变式6-1】（23-24高一下·河北沧州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ） A． B．18 C． D．12 【变式6-2】（22-23高一下·江苏无锡·期中）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 【变式6-3】一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J. 一、单选题 1．（23-24高一下·山东滨州·月考）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为（    ） A． B．4N C． D． 2．（22-23高一下·江苏南京·月考）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（    ） A．－28 B．－23 C．23 D．28 4．（22-23高一下·吉林长春·期中）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 6．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 8．（23-24高一下·四川内江·月考）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ） A．O为的外心 B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·重庆·月考）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 . 10．（23-24高一下·江苏泰州·月考）在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 四、解答题 11．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点. (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 12．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 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(1)请用 与 表示 ; (2)用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】(1)；(2)证明过程见解析 【解析】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以， 于是有， 即； （2）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以， 于是有， 即，因此， 显然有，不共线， 因此且， 所以四边形是平行四边形. 【变式1-1】（23-24高一下·内蒙古·月考）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线． (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【答案】(1)4；(2)证明见解析 【解析】（1）由题可知， 因为点为的中点，所以 ， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为4. （2） 由，则，即， ，所以， 又三点不共线，所以． 【变式1-2】如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ， 故. 【变式1-3】（23-24高一下·广西崇左·月考）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点. (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】（1）. （2）， ，. 考点二：利用向量求线段的长度 例2.（23-24高一下·海南·月考）正方形的面积为16，，点在线段上．若，则 ． 【答案】 【解析】如图建立直角坐标系，因正方形的面积为16， 则，又，则M为AB中点， 则，因点在线段上，则设，则，. 则，故. 故答案为：. 【变式2-1】（21-22高一下·山东济宁·期中）已知两点分别是四边形的边的中点，且，，，，则线段的长为是 【答案】 【解析】作，交于点，则， ，则； ，， 又，，， ， . 【变式2-2】（23-24高一下·福建福州·月考）在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以且， 故四边形为平行四边形， 设都是单位向量，且， 两边平方得，即， 所以，解得，故， 又均为单位向量，故， 即，且平分， 故四边形为菱形，且， 故为等边三角形，， ，两边平方得， 故.故选：A 【变式2-3】（23-24高一下·四川自贡·月考）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以，故选：C． 考点三：利用向量求线段的夹角 例3.（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以.故选：C. 【变式3-1】（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【解析】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以， 则，则， 又，所以. 【变式3-2】（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图， 因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 【变式3-3】（23-24高一下·安徽·月考）窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为50cm的正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则 ． 【答案】 【解析】根据正方形的对称性，设其中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设与轴正方向的夹角为， 则， 即， 所以， 因为三点共线，所以， 即， 解得， 所以，所以， 所以， 又为锐角，所以， 所以. 考点四：力的合成问题 例4.（23-24高一下·广东江门·月考）平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，则 . 【答案】 【解析】由题意可知，且， 同时平方得. 故答案为： 【变式4-1】（22-23高一下·江苏徐州·月考）若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为，可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以，即，则， 所以． 设与的夹角为，则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 【变式4-2】（23-24高一下·山东青岛·月考）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【解析】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 【变式4-3】（23-24高一下·广东佛山·月考）（多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【解析】对于A，依题意，，又， 则， 解得，而时，单调递减， 因此越小越省力，越大越费力，A正确； 对于B，，则，即，B错误； 对于C，当时,由，得，因此，C正确； 对于D，当时，由，得，因此，D错误. 故选：AC 考点五：速度与位移的合成问题 例5.（23-24高一下·吉林延边·期中）在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（    ） A．北偏西， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏东， 【答案】A 【解析】如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸， 依题意，，， 则，则， 因为为锐角，故， 故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.故选:A. 【变式5-1】（23-24高一下·广东广州·月考）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河．小船航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向东，求小船实际航行速度的大小与方向(    )． A． 正北 B．与水流方向夹角为 C．与水流方向夹角为 D．垂直于河岸 【答案】A 【解析】如图，为河水速度，为小船航行速度，设为小船实际航行速度． 设为渡口在对岸对应的点，则， 在中，∵，∴， ∴E和重合，． ∴小船实际航行速度的大小为，方向为正北方向．故选：A. 【变式5-2】（23-24高一下·山东菏泽·月考）河中水流自西向东流速为，小船自南岸点出发，想要沿直线驶向正北岸的点，并使它的实际速度达到每小时，该小船行驶的方向为 ，小船在静水中的速度为 ． 【答案】北偏西方向 【解析】如图所示，的方向代表水流方向，且， 的方向即为小船行驶的方向，且，，， 则，故， 故，小船行驶的方向为北偏西方向， 且，即小船在静水中的速度为. 故答案为：北偏西方向，. 【变式5-3】（23-24高一下·贵州六盘水·月考）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)，；(2). 【解析】（1）设游船的实际速度大小为， 由，得，. 如图所示速度合成示意图，由， 得，. 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示， ，则， 在Rt中，，从而， 因此， 故游船的实际航程为. 考点六：功和动量的计算 例6.（23-24高一下·宁夏银川·月考）一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（    ） A． B．26 C．8 D．18 【答案】A 【解析】由题意可知，，， 所以，所以对该物体所做的功为.故选：A 【变式6-1】（23-24高一下·河北沧州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（    ） A． B．18 C． D．12 【答案】D 【解析】因为，，所以，又， 故力对冰球所做的功为.故选：D. 【变式6-2】（22-23高一下·江苏无锡·期中）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（    ） A．16 B． C．110 D． 【答案】A 【解析】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为.故选：A. 【变式6-3】一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m.已知，方向为北偏东30°，，方向为北偏东60°，，方向为北偏西30°，这三个力的合力所做的功为 J. 【答案】 【解析】以三个力的作用点为坐标原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系， 如图所示. 由已知可得，，. ∴. 又位移， 所以. 故这三个力的合力所做的功为. 一、单选题 1．（23-24高一下·山东滨州·月考）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，，与的夹角为，则大小为（    ） A． B．4N C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 所以.故选：C. 2．（22-23高一下·江苏南京·月考）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以， 想要质点恰好达到平衡状态，只需．故选：D． 3．（23-24高一下·江苏无锡·月考）一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，求对该物体所做的功为（    ） A．－28 B．－23 C．23 D．28 【答案】C 【解析】由题意可知，，, , 所以对该物体所做的功为.故选：C 4．（22-23高一下·吉林长春·期中）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设船的实际速度为，则， 北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，所以， 即，解得，故选：D． 5．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】连接，如下图所示： 因为 ，则为圆 O 的一条直径，故 O 为的中点， 所以 ， 所以 . 当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立， 因此， 的最大值为故选：C. 6．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点． 因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为．故选：A． 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【解析】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确； 选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确； 选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误； 选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确.故选：ABD 8．（23-24高一下·四川内江·月考）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（    ） A．O为的外心 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为， 同理，，故O为的垂心，故A错误； 根据垂心可得，，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； ，同理，延长CO交AB于点P(如图)， 则， 同理可得，所以，故C正确； 设，，的面积分别为，，，则 ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确. 故选:BCD. 三、填空题 9．（23-24高一下·重庆·月考）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 . 【答案】 【解析】因为，，三个力处于平衡状态，所以，则， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高一下·江苏泰州·月考）在静水中船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过 ，该船的实际航程是 . 【答案】 【解析】如图所示，是流水的方向， 是垂直于河岸的方向，是船的实际航线， 因此是船在静水中的航行方向， ，， 则， 故经过 的航程为，即， 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点. (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为AM是中线，所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以，则， 又， ， 所以， 因为，所以. 12．（23-24高一下·陕西西安·月考）如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即，解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$