第十六章 二次根式（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十六章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．在算式的中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是（    ） A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 5．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 6．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（每题3分，共18分） 7．当时，的值是 ． 8．已知，则 ． 9．若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 10．计算 ． 11．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 12．如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．计算： (1)； (2)． 14．先化简，再求值：，其中：． 15．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 16．下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： ……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是______（选填“完全平方式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第______步； (3)请写出正确的解题过程； (4)请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 17．（1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 18．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 19．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 20．一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 21．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 22．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 23．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 试卷第2页，共18页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 4．在算式的中填上运算符号，使结果最大，则这个运算符号是（    ） A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 【答案】D 【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．本题考查的是二次根式的运算及实数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键． 【详解】解：当填入加号时：； 当填入减号时：； 当填入乘号时：； 当填入除号时：． ， 使结果最大，则这个运算符号是除号． 故选：D． 5．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 6．如图，一个面积为（）的正方形边在数轴上，且O是数轴的原点，该正方形沿着数轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，t秒后运动到正方形的位置，此时正方形和正方形重叠部分的面积为．给出下面三个结论： ①长方形的面积为； ②； ③点对应的数为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，实数与数轴上点的对应关系，二次根式的运算．解题关键是正确进行分类，把每条线段的长度与实数对应再计算．由题意得，再计算可判断①；先求得，可得，从而计算出，再判断③；再诈，再计算出时间可判断出②． 【详解】解：正方形和正方形重叠部分的面积为， ， ， ，故①正确； 正方形面积为（）， ， ， ， 点对应的数为，故③错误； ， ，故②正确； 故选：A 二、填空题（每题3分，共18分） 7．当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 9．若计算的结果为，则这个数落在了数轴上的 段． 【答案】④ 【分析】本题考查二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的乘法，二次根式的估算，先计算，根据，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴这个数落在了数轴上的④段． 故答案为：④． 10．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先计算二次根式的乘除运算，再化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 11．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 12．如图，把边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形．两个长方形如图1摆放，四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为：两个长方形如图2摆放．四边形为正方形，两个长方形重叠部分面积记为．若，，求图2中 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查利用正方形的性质求解一元一次方程和二次根式的混合运算，根据题意可得，设，则，进一步得图2中， ，继而得，列出，解得x，则图2中代入求解即可． 【详解】解：∵边长为6的正方形对折并剪成2个大小相同的长方形． ∴， 设， ∵图1四边形为正方形， ∴， ∵， ∴图2中，则， ∵图2四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，解得， 则图2中， 故答案为：1． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）首先去掉绝对值，再利用零指数幂的性质和二次根式的性质化简求出答案； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简，再求值：，其中：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】(1)5秒 (2)米 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当米时， 答：落到地面需要5秒； （2）解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 16．下面是亮亮进行二次根式运算的过程，请你仔细阅读，并完成任务． 解： ……第1步 ……第2步 ……第3步 ……第4步 (1)从第2步到第3步运用的乘法公式是______（选填“完全平方式”或“平方差公式”）； (2)上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第______步； (3)请写出正确的解题过程； (4)请根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项． 【答案】(1)平方差公式； (2)3； (3)见详解； (4)二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方差公式的特征，即可解答； （2）利用二次根式的性质进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （4）根据二次根式运算的注意事项，即可解答． 【详解】（1）解：从第2步到第3步运用的乘法公式是平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解：上述解题过程，最开始出现错误的步骤是第3步， 故答案为：3； （3）解：正确的解题过程如下： （4）解：根据本题以及平时学习的经验，给同学们提一条二次根式运算的注意事项：二次根式的运算，最后结果应化为最简二次根式． 17．（1）若有意义，则满足条件__________． （2）若，，求下列式子的值： ①； ② 【答案】（1） ；（2）①1；②15 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式乘法运算，理解相关知识是解答关键． （1）根据二次根式的被开方数不能为负数来求解； （2）根据二次根式的乘法运算法则求解；先变形为完全平方式，再代入求解． 【详解】解：（1）有意义， ， 故答案为：． （2），， ． 18．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 19．材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 20．一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 21．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距市正北方向的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以的速度沿直线向处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台风中心，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问： (1)市是否受到这次台风影响？请说明理由； (2)市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出市受到台风影响的时间． 【答案】(1)A市受到这次台风影响，理由见解析 (2)A市所受的最大风力是7级，市受到台风影响的时间为小时 【分析】（1）过A作于点D，利用含30°角的直角三角形的性质求得的长度，再根据题意计算出受台风影响的半径，即可解答； （2）由的长度可求得台风中心在D处时，A处的风的级别，从而确定受到的最大风力．再在上取使，而于，可得；，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：过A作于点D． ∵在直角中， ， ， 由题意知：受台风影响范围的半径为， ∴A市受到这次台风影响． （2）解：当台风中心位于点D处时，A市所受风力最大， 风力为（级） 故A市所受的最大风力是7级． 如图，由（1）可得：受台风影响范围的半径为， 在上取使，而于， ∴； ∴， ∴（小时）； ∴市受到台风影响的时间为小时． 【点睛】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，化为最简二次根式，理解题意，构建图形解题是解本题的关键． 22．综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 23．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 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