精品解析：湖北省随州市2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

湖北省随州市2024—2025学年部分高中元月期末联考 高三数学试题 本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟. 考试时间：2025年1月7日14:30——16:30 ★祝考试顺利★ 考试范围： 高中全部高考内容 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别在、和情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 2. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案. 【详解】由题意，，则，所以或. 若c=2，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.函数在处有极小值，满足题意； 若c=6，则，时，，单调递增，时，，单调递减，所以在处有极大值，不满足题意； 综上：c=2 故选：A. 3. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 4. 已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值. 【详解】已知等比数列的公比为（且），若， 则，所以，解得. 故选：C. 5. 如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是（ ） A. 平面ANS⊥平面PBC B. 平面ANS⊥平面PAB C. 平面PAB⊥平面PBC D. 平面ABC⊥平面PAC 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定定理证得ACD选项正确，从而判断出B选项错误. 【详解】∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN⊂平面ABP，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确 由上述分析可知：BC⊥平面PAB，而平面，所以平面PAB⊥平面PBC，故C选项正确. 由上述分析可知：PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，所以平面ABC⊥平面PAC，故D选项正确. 从而可知B选项错误. 故选:B 【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，属于中档题. 6. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D． 考点：双曲线的标准方程和简单几何性质． 7. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】 的展开式中的系数是，借助组合公式：，逐一计算即可. 【详解】的展开式中的系数是 因为且，所以， 所以， 以此类推，. 故选：D. 【点睛】本题关键点在于使用组合公式：，以达到简化运算的作用. 8. 在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】先排，两道程序，再排剩余的3道程序，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先排，两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后， 则在第2，3，4道程序中选两个放，，共有种安排方法； 再排剩余的3道程序，共有种安排方法， 所以一共有种不同的顺序安排方法. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可． 【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确， ．函数在区间的导数为， 在区间上单调递增，正确； ．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误， ．时，， 当时，，为增函数，， 此时此时函数为减函数， 则函数内有极大值，是极大值点；故正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 零向量的长度等于0 C. 若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断. 【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； C.因为，都单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确； D.由向量相等的定义知D正确； 故选：BCD. 11. 树人中学组织三个年级学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列说法正确的是（ ） A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩第名的100人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据饼状图和条形图依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：由饼状图知，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确； 由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此成绩第名的100人中，高一人数为，B正确； 成绩第名的50人中，高一人数为，故高三最多有32，C正确； 成绩第名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 若命题“是假命题”，则实数的取值范围是___________. 【答案】#### 【解析】 【分析】等价于，解即得解. 【详解】解：因为命题“是假命题”， 所以， 所以. 故答案为： 13. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据极值的概念可转化为导数零点问题，根据判别式可得解. 【详解】由， 则， 由函数有极值， 即有变号零点， 所以， 解得或， 故答案为：. 14. 设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得等差数列的公差，进而求得，从而求得的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 对称轴为，开口向下， 所以当或时，最大，最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）2.6. 【解析】 【分析】 由求出. （1）由分子分母同除以求解； （2）将，变形为，再分子分母同除以求解 【详解】因为， 所以. （1）； （2）， ， ， ， 16. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: （1）的大小; （2）与的夹角的大小. 【答案】（1）(1+)N （2） 【解析】 【分析】（1）根据三个力平衡，得到，再由求解； （2）设与的夹角为θ，由求解. 【小问1详解】 解：因为三个力平衡，所以， 则， ， 故的大小为(1+)N. 【小问2详解】 设与的夹角为θ， 则， 即， 解得，因为， 所以 17. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【答案】（1） （2）1809 【解析】 【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项； （2）考虑到，，从而确定的前40项中有34项来自，其他6项由组成，由此分组求和． 【小问1详解】 由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式. 故. 【小问2详解】 由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 . 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证： （1）； （2）平面ABE． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质得到线线垂直，再由线面垂直的判定定理得到平面PAC，再由线面垂直的性质得到线线垂直； （2）先根据等腰三角形的三线合一得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到AE⊥PD，进而利用线面垂直的判定和性质进行证明. 【小问1详解】 在四棱锥中， ∵底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴， ∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴平面PAC． 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE． 【小问2详解】 由AB＝BC，，得， 又PA＝AB＝BC，所以AC＝PA． ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC． 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD． 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB． 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD． 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE． 19. 已知定点，，动点P满足. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点P的坐标为，根据已知建立方程，化简求解. （2）利用相关点法进行求解. 【小问1详解】 设动点P的坐标为， 因为，，且， 所以， 整理得， 所以动点P的轨迹C的方程为； 【小问2详解】 设点的坐标为，点A坐标为， 因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点， 所以，即， 解得，又点A在轨迹C运动， 由（1）有：， 化简得：， 即Q的轨迹方程：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省随州市2024—2025学年部分高中元月期末联考 高三数学试题 本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟. 考试时间：2025年1月7日14:30——16:30 ★祝考试顺利★ 考试范围： 高中全部高考内容 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置. 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4、考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处有极小值，则c的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 3. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 如图，AC＝2R为圆O直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是（ ） A. 平面ANS⊥平面PBC B. 平面ANS⊥平面PAB C. 平面PAB⊥平面PBC D. 平面ABC⊥平面PAC 6. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数是（ ） A. 60 B. 80 C. 84 D. 120 8. 在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中，两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 108种 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如果函数导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 10. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量是唯一没有方向的向量 B. 零向量的长度等于0 C. 若都为非零向量，则使 成立的条件是与反向共线 D. 若，，则 11. 树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列说法正确的是（ ） A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30 B. 成绩第名的100人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第名的50人中，高二人数比高一的多 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 若命题“是假命题”，则实数取值范围是___________. 13. 若函数有极值，则实数的取值范围是 __________ ． 14. 设等差数列的前n项和为.若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 16. 若平面上三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: （1）的大小; （2）与的夹角的大小. 17. 记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. （1）求数列{an}的通项公式； （2）对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证： （1）； （2）平面ABE． 19. 已知定点，，动点P满足. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）已知点B（6，0），点A在轨迹C运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$