精品解析：山西省大同市云州区两校联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期期中考试 八年级 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将其字母标号填入下表相应题号的空格内） 1. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，由图可知：，即可求解； 【详解】解：由图可知：， ∴， 故选：C 2. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3， 即1＜x＜7， ∵x为整数， ∴x的最大值为6． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件． 3. 如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 65° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到∠D=∠A=36°，运用三角形外角性质得到∠DEC=∠D+∠F=60°． 【详解】∵， ∴∠D=∠A=36°， ∴∠DEC=∠D+∠F=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形，三角形外角，熟练掌握全等三角形角性质和三角形外角性质是解决此题的关键． 4. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：． 5. 如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，本题先求解，可得，再结合角的和差可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，已知，，给出下列条件：；；；．添加其中一个，能使的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据“”可判断，根据“”可判断，根据“”可判断，没有“”的判定方法，即可判断，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故符合题意； 由， ∴，故符合题意； 由， ∴，故符合题意； 若，不能证明，故不符合题意； 综上可知：添加能使，共个， 故选：． 7. 小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　） A. （﹣2，1） B. （﹣1，1） C. （1，﹣2） D. （﹣1，﹣2） 【答案】B 【解析】 【详解】解：棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，则这点所在的横线是x轴， 右下角方子的位置用（0，﹣1），则这点所在的纵线是y轴， 则当放的位置是（﹣1，1）时构成轴对称图形． 故选：B． 8. 如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，根据全等三角形的性质得到BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE，推出AF＝CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：延长AE交BC于F，如图所示： ∵BD为∠ABC的平分线，AE⊥BD， ∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△ABE与△FBE中，， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE， ∴AF＝AE+EF=6， ∵BC＝11， ∴CF＝BC-BF=6， ∴AF＝CF， ∴∠CAF＝∠C， ∵∠AFB＝∠CAF＋∠C＝2∠C， ∴∠BAE＝2∠C，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9. 如图，已知，点在上，，点、在上，且．若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作于点，结合，可得，推出，根据等腰三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ，，， ， ， 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，则即为的周长最小值．作延长线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案写在题中横线上） 11. 已知点与点关于 y 轴对称，那么的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出x、y的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵点与点关于 y 轴对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 12. 如果一个正多边形的内角和为，那么该正多边形的一个外角的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，根据正多边形的内角和定义列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为、且每个外角相等求解可得． 【详解】解：多边形内角和， ∴， 则正多边形的一个外角， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线，平行线的性质，由三角形的内角和定理可得，又平分，则，最后由平行线的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，分别以线段BC的两个端点为圆心，以大于BC长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，直线DE交BC于点F，点A是直线DE上的一点，连接AB、AC，若AB＝12cm，∠C＝60°，则CF＝______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】首先证明AB＝AC，BF＝CF，在Rt△ABF中求出BF即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：AE垂直平分线段BC， ∴AB＝AC，BF＝CF， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵AB＝12cm，∠AFB＝90°， ∴BF＝AB＝6（cm） 故答案为6． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 15. 如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点．给出下列结论：；；．其中正确的有________．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，只要证明，，即可解决问题． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，故①正确， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知正多边形的一个内角减去与其相邻的外角为，求这个正多边形的边数． 【答案】这个正多边形的边数为 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，设一个内角为，则外角为．由题意，得．即可求解； 【详解】解：设一个内角为，则外角为． 由题意，得． 解得． ∴该正多边形的每一个外角为． ∴这个正多边形的边数为 17. 如图， ∠B=∠E, AB=EF, BD=CE,请判断AC与FD的关系，并说明理由. 【答案】AC=DF且AC∥DF. 【解析】 【分析】先求出BC=ED，再利用“边角边”证明△ABC和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=DF，全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠FDE，再根据内错角相等，两直线平行证明即可． 详解】AC=FD且AC∥FD. 理由如下：∵BD=CE， ∴BD+CD=CD+ED， 即BC=ED， 在△ABC和△FED中, ∴△ABC≌△FED(SAS)， ∴AC=DF，∠ACB=∠FDE， ∴AC∥DF， 综上所述：,AC=FD且AC∥FD. 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键. 18. 如图，在中，，是的中线，点在的延长线上，且，．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定和性质，先由已知证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质、外角的性质及等腰三角形的性质即可推理得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴． 19. 已知：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A （-3，4），B （-1，3），C （-1，0）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；并直接写出点A1，B1的坐标； （2）如果要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标．（点D与点A不重合） 【答案】（1）图见解析， （2）（1，4）或（－3，－1）或（1，－1） 【解析】 【分析】（1）利用轴对称变换，即可得到 关于 轴对称的；根据直角坐标系可直接得出 的坐标； （2）依据以B，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边 ，运用对称即可得出所有符合条件的点D坐标． 【小问1详解】 如图， 即为所求；； 【小问2详解】 如图，有三种情况： 点D的坐标分别为（1，4）或（－3，－1）或（1，－1）． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图、全等三角形的判定及点的坐标知识，解题的关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用． 20. 阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是的三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： （1）反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ （2）归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． （3）拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 【答案】（1）依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （2）相等 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． （1）根据题意可直接进行作答； （2）结合（1）可得答案； （3）由（2）可得，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，上述证明过程中， 依据1：角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 依据2：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； 【小问2详解】 结合（1）可知，三角形的内心到三角形三边的距离相等． 故答案为：相等； 【小问3详解】 ∵，，，， ∴， ∴ ， 即的面积表示为． 21. 阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 【答案】（1）见解析 （2）①8；②见解析 【解析】 【分析】（1）任务一：根据题意可知，小华的方案中蕴含着一对全等三角形，即△ABC≌△DEC，将图形补充完整即可； （2）任务二：①由补充完整的图形可知，△ABC≌△DEC，且AB与DE是对应边，可知AB＝DE＝8米，得出答案为8； ②由题意可知AC＝CD＝20米，∠A＝∠D＝90°，∠ACB与∠DCE是对顶角，由“ASA”可判定△ABC≌△DEC，则AB＝DE＝8米，说明小明的方案是正确的． 【小问1详解】 解：任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示． 【小问2详解】 任务二：①由△ABC≌△DEC，得AB＝DE＝8（米）， 故答案为：8． ②理由：如图， 由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°， ∴AC＝DC，∠A＝∠D， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE＝8米， ∴小明的方案是正确的． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、全等三角形的应用等知识与方法，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形的图形． 22. 如图，在等边中，，现有M、N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M、N两点同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边？（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形） （3）当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）M、N运动12秒后，M、N两点重合 （2）点M、N运动4秒后，可得到等边 （3）存在，点M、N运动时间为16秒 【解析】 【分析】（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，根据题意，列出方程，解方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边．则，，因为是等边三角形，所以，即，求解即可； （3）设当点M、N在BC边上运动时，点M、N运动的时间为y秒，是等腰三角形，所以，，由，得，求解即可． 【小问1详解】 解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合． 根据题意，得，解得． 即M、N运动12秒后，M、N两点重合． 【小问2详解】 解：如图，设点M、N运动t秒后，可得到等边． 根据题意，得，， 因为是等边三角形，所以，解得， 所以点M、N运动4秒后，可得到等边． 【小问3详解】 解：当点M、N在边上运动时，存在以为底边的等腰． 由（1）知12秒时M、N两点重合，且恰好在顶点C处． 如图，假设是等腰三角形，所以，所以， 所以，因为是等边三角形，所以． 在和中，因为，，， 所以，所以． 设当点M、N在边上运动时，点M、N运动的时间为y秒，是等腰三角形， 所以，，由，得，解得．故假设成立． 所以当点M、N在边上运动时，存在以为底边的等腰，此时点M、N运动的时间为16秒． 【点睛】此题是三角形的综合问题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论． 23. 在自习课上，小明拿来如下框的一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流． 如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB，BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系． 小红同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G，构造全等三角形，通过推理使问题得解． 小华同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°． 请你参考小明同学的思路，探究并解决以下问题： （1）写出原问题中DF与EF的数量关系为　 ． （2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）DF＝EF；（2）不发生变化，理由见解析 【解析】 【分析】（1）结论：DF＝EF．只要证明△DFG≌△EFB（AAS）即可解决问题； （2）猜想：DF＝FE．过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．由Rt△DBG≌Rt△BAC（HL），推出DG＝BC，再证明△DFG≌△EFB（AAS）即可解决问题； 【详解】解：（1）结论：DF＝EF． 理由：作DG⊥AB于G． ∵∠DBG＝∠CBE＝45°，∠DGB＝∠BEC＝90°，DB＝BC， ∴△DBG≌△BCE（AAS）， ∴GD＝BE， ∵∠DGB＝∠GBE＝90°， ∴DG∥BE， ∴∠FDG＝∠BEF， ∵∠DFG＝∠BFE， ∴△DFG≌△EFB（AAS）， ∴DF＝EF． 故答案为DF＝EF． （2）猜想：DF＝FE． 理由：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°． ∵DA＝DB，∠ADB＝60°． ∴AG＝BG，△DBA是等边三角形， ∴DB＝BA， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AC＝AB＝BG， 在Rt△DBG和Rt△BAC中， ∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）， ∴DG＝BC， ∵BE＝EC，∠BEC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴BC＝BE，∠CBE＝60°， ∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， 在△DFG和△EFB中， ∴△DFG≌△EFB（AAS）， ∴DF＝EF． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，能够合理的作出辅助线，找到两个三角形全等的条件是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期中考试 八年级 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意，请将其字母标号填入下表相应题号的空格内） 1. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 3. 如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 65° D. 120° 4. 如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，给出下列条件：；；；．添加其中一个，能使的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（　　） A （﹣2，1） B. （﹣1，1） C. （1，﹣2） D. （﹣1，﹣2） 8. 如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知，点在上，，点、在上，且．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案写在题中横线上） 11. 已知点与点关于 y 轴对称，那么的值为_______． 12. 如果一个正多边形的内角和为，那么该正多边形的一个外角的度数为________． 13. 如图，在中，，，平分，交于点，，交于点，则的度数为______． 14. 如图，分别以线段BC的两个端点为圆心，以大于BC长为半径画弧，两弧分别相交于D、E两点，直线DE交BC于点F，点A是直线DE上的一点，连接AB、AC，若AB＝12cm，∠C＝60°，则CF＝______cm． 15. 如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，，并延长交于点．给出下列结论：；；．其中正确的有________．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知正多边形的一个内角减去与其相邻的外角为，求这个正多边形的边数． 17. 如图， ∠B=∠E, AB=EF, BD=CE,请判断AC与FD的关系，并说明理由. 18. 如图，在中，，是的中线，点在的延长线上，且，．求证：． 19. 已知：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A （-3，4），B （-1，3），C （-1，0）． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；并直接写出点A1，B1的坐标； （2）如果要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标．（点D与点A不重合） 20. 阅读下面材料： 三角形的内心 定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 我们可以证明三角形的三条内角平分线相交于一点． 如图①，已知，，是三条内角平分线． 求证：，，交于一点． 证明：如图②，设，交于点，过点分别作，，，垂足分别为点，，． ∵点是的平分线上一点， ∴（依据1）． 同理． ∴． ∵是的平分线， ∴点在上（依据2）． ∴，，交于一点． 请解答问题： （1）反思：上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是什么？ （2）归纳：三角形的内心到三角形三边的距离________． （3）拓展：已知，，，，请直接用，，，表示的面积． 21. 阅读并完成相应的任务． 如图，小明站在堤岸凉亭点处，正对他的点（与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案． 课题 测凉亭与游艇之间的距离 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①小明沿堤岸走到电线杆旁（直线与堤岸平行）； ②再往前走相同的距离，到达点； ③他到达点后向左转90度直行，当自己，电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时小明位于点处． 测量数据 米，米，米 （1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整． （2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是________米． ②请你说明小明方案正确的理由． 22. 如图，在等边中，，现有M、N两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M、N两点同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边？（提示：有一个角是的等腰三角形是等边三角形） （3）当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 23. 在自习课上，小明拿来如下框的一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流． 如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB，BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系． 小红同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G，构造全等三角形，通过推理使问题得解． 小华同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°． 请你参考小明同学的思路，探究并解决以下问题： （1）写出原问题中DF与EF的数量关系为　 ． （2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$