高三数学开学摸底考（上海专用）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2025届高三下学期开学摸底考试卷（上海高考） 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，则 . 【答案】 【解析】因为集合， 所以， 故答案为： 2．已知向量，．若，则 ． 【答案】 【解析】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 3．已知随机变量，且，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】由随机变量，且，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为函数，所以，所以当时，， 即切线方程的斜率为，又因为切点为， 所以由直线的点斜式方程为：，即. 故答案为：. 5．的展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】根据题意，展开式中的项为 则的系数为： 故答案为：. 6．若等差数列满足，，则 ． 【答案】-7 【解析】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 7．已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 . 【答案】理求出的长，利用勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式结合锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【解析】如下图所示： 设的外心为点，连接、，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得，则， 所以，， ， 所以，. 故答案为：. 8．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为 . 【答案】0.5/ 【解析】将代入，得，解得， 所以， 故当时，， 所以残差. 故答案为：0.5. 9．已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则 . 【答案】 【解析】由题， 由正弦定理可得：  ③ 由正弦定理，故， 由余弦定理： 代入得： 所以，故. 故答案为：. 10．下列说法中，正确的有 （填序号）. ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，则，则. 【答案】②④ 【解析】对于①，回归直线恒过点，但不一定过样本点，故①错误； 对于②，因独立性检验是选取一个零假设条件下的小概率事件，故②正确； 对于③，当的值很小时推断两类变量相关的把握小，但不能说无关，故③错误； 对于④，因为服从正态分布，且，所以与关于直线对称， 由可得，，则，故④正确. 故答案为：②④. 11．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 【答案】 【解析】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 由题意可得，化简得， 即，解得（负值舍去）. 故答案为：. 12．已知函数，，且，，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则，，， ，，即， 若，则， 易知在上单调递增，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； ，即的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由：，即，：， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 14．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，， 故． 故选：B． 15．如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，    连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故选：C 16．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 如图，点为平面外一点，面，底面矩形面积为12，外接圆周长为，且.点分别为线段的中点，连接. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）记的中点为，连接， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，为矩形，所以，且， 所以且，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以直线平面. （2） 易知，矩形的外接圆半径为， 由题知，，解得， 因为平面，平面，且为矩形， 所以两两垂直， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 得， 记平面的法向量为， 则，令得， 设直线与平面所成角为， 则. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是上的增函数 (2) 【解析】（1）因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的x成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以，对任意的，， 有， 所以，故函数是上的增函数； （2）， 因为恒成立， 等价为恒成立， 令，， 则，则， 可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. 为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 (1)根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； (2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 【答案】(1)能 (2)分布列见解析， 【解析】（1）列联表如下： 性别 愿意 不愿意 合计 男生 6 10 16 女生 18 6 24 合计 24 16 40 零假设为：是否愿意参加健美操与学生性别无关. 根据列联表中的数据，可得, 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立, 既认为是否愿意参加健美操与学生性别有关联，此判断犯错误的概率不大于0.005. （2）根据列联表可得愿意参加健美操的学生中女生占全部的， ∴选取的8人中，女生有人，男生有人， ∴随机变量的可取值：0,1,2. ∴，，. ∴随机变量的分布列： 0 1 2 数学期望. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】（1）由题设可设 ,这里. 易知渐近线为 ，焦距为, 的右焦点， 由题设可知 , 解得. 所以 的方程为,的方程为. （2）（ⅰ）设直线 , 联立直线 和 的方程 ,得. 为使直线 和 均有2个交点，必须有， , 解得且． 由韦达定理可得 注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点． 记上述中点为 ，注意到,所以 . （ⅱ）由（ i ）可知和的面积相等． 记的面积为  , 的面积为 , 的面积为. 由 与 的方向相同可知 . 因为 ， 同理 所以 ， , 设, 则, 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此, 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最小值为． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 已知定义在区间上的函数，，若，存在一个正实数，满足，则称是的“－伴侣函数”，其中的最小值称为“伴侣指数”． (1)已知，判断函数是否为的“－伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由． (2)求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”． (3)已知，若函数是的“4－伴侣函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）假设是的“－伴侣函数”， 则，，即， 则，． （点拨：因为，所以） 因为且，所以，因此，因此，（注意等号能否取到） 因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3． （2）设，，，， ， ． 记，则，（放缩法的应用） 记，则，即， 因此是的“－伴侣函数”，即在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”． （3）由题知，， 即，不妨假设， 则， 则且， 所以函数递增，函数递减， 故，， 则，，又， 故， 所以． 令，则， （技巧：将的分子写成两项之积的形式，以便确定的正负） 令，易知在上单调递减，则， 故，（提示：当时，，） 则在上单调递减，则，因此． 令，则， 令，易知在上单调递减，且，， 则，，即，（零点存在定理的应用） 当时，，即，则在上单调递增， 当时，，即，则在上单调递减， 则． 由，得，则， 因此． 又，所以，即实数的取值范围为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三下学期开学摸底考试卷（上海高考） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，则 . 2．已知向量，．若，则 ． 3．已知随机变量，且，则的值为 ． 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 5．的展开式中的系数为 . 6．若等差数列满足，，则 ． 7．已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 . 8．对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其经验回归方程，则在样本点处的残差为 . 9．已知三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，，，成等差数列，则 . 10．下列说法中，正确的有 （填序号）. ①回归直线恒过点，且至少过一个样本点； ②根据列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误； ③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关； ④某项测量结果服从正态分布，则，则. 11．中国探月工程又称“嫦娥工程”，是中国航天活动的第三个里程碑.在探月过程中，月球探测器需要进行变轨，即从一条椭圆轨道变到另一条不同的椭圆轨道上.若变轨前后的两条椭圆轨道均以月球中心为一个焦点，变轨后椭圆轨道上的点与月球中心的距离最小值保持不变，而距离最大值扩大为变轨前的4倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2.5倍，则变轨前的椭圆轨道的离心率为 .（精确到0.01） 12．已知函数，，且，，若，则的最小值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 15．如图，将绘有函数（，）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则（   ）    A． B． C． D． 16．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 如图，点为平面外一点，面，底面矩形面积为12，外接圆周长为，且.点分别为线段的中点，连接. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 已知是定义在上的奇函数． (1)试判断函数的单调性； (2)已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. 为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 (1)根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； (2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 在平面直角坐标系中，等轴双曲线和的中心均为O，焦点分别在x轴和y轴上，焦距之比为2，的右焦点F到的渐近线的距离为2． (1)求，的方程； (2)过F的直线交于A，B两点，交于D，E两点，与的方向相同． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求面积的最小值． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 已知定义在区间上的函数，，若，存在一个正实数，满足，则称是的“－伴侣函数”，其中的最小值称为“伴侣指数”． (1)已知，判断函数是否为的“－伴侣函数”，若是，求出“伴侣指数”；若不是，请说明理由． (2)求证：在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”． (3)已知，若函数是的“4－伴侣函数”，求实数的取值范围． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三下学期开学摸底考试卷（上海高考） 19.（1） （2） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学·答题卡 姓名: 条形码粘贴区 学校: 班级: 正确填涂 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级及准考证号填写清楚。认真填涂准考证号下面的涂点，并认真核对。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的水笔或钢笔书写（画图除外），不得使用铅笔、圆珠笔。要求字体工整，笔迹清楚。 3．请严格按照题号在本题黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题或在草稿纸、试卷上答题无效。 4．请保持卡面清洁，不装订、不要折叠、不要破损。 错误填涂 缺考: (教师填涂) 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 18.（1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二．选择题 13． [A] [B] [C] [D] 14． [A] [B] [C] [D] 15． [A] [B] [C] [D] 16． [A] [B] [C] [D] 三．解答题 17.（1） 一．填空题 1．_______________ 2．_______________ 3．_________________ 4．_______________ 5．_______________ 6．_________________ 7．_______________ 8．_______________ 9．_________________ 10．_______________ 11．_______________ 12． 数学 第2页（共2页） 数学 第2页（共2页） 数学 第2页（共2页） 数学 第1页（共2页） 数学 第1页（共2页） 数学 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 21.（1） （2） （3） 20.（1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ $$ 2025届高三下学期开学摸底考试卷（上海高考） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1． 【解析】因为集合， 所以， 故答案为： 2． 【解析】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 3．/ 【解析】由随机变量，且，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 4． 【解析】因为函数，所以，所以当时，， 即切线方程的斜率为，又因为切点为， 所以由直线的点斜式方程为：，即. 故答案为：. 5． 【解析】根据题意，展开式中的项为 则的系数为： 故答案为：. 6． 【解析】因为数列为等差数列， 则，即， 且，可得， 即，解得 故答案为：. 7． 【解析】如下图所示： 设的外心为点，连接、，则平面， 在中，，，， 由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得，则， 所以，， ， 所以，. 故答案为：. 8．0.5/ 【解析】将代入，得，解得， 所以， 故当时，， 所以残差. 故答案为：0.5. 9． 【解析】由题， 由正弦定理可得：  ③ 由正弦定理，故， 由余弦定理： 代入得： 所以，故. 故答案为：. 10．②④ 【解析】对于①，回归直线恒过点，但不一定过样本点，故①错误； 对于②，因独立性检验是选取一个零假设条件下的小概率事件，故②正确； 对于③，当的值很小时推断两类变量相关的把握小，但不能说无关，故③错误； 对于④，因为服从正态分布，且，所以与关于直线对称， 由可得，，则，故④正确. 故答案为：②④. 11． 【解析】设变轨前的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 变轨后的椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，离心率为， 由题意可得，化简得， 即，解得（负值舍去）. 故答案为：. 12． 【解析】令，则，，， ，，即， 若，则， 易知在上单调递增，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； ，即的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 题号 13 14 15 16 答案 A B C A 13．A 【解析】由：，即，：， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 14．B 【解析】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，， 故． 故选：B． 15．C 【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，    连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以，即， 因为，点在递减区间内，所以. 故选：C 16．A 【解析】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A. 17．（14分） 【解析】（1）记的中点为，连接， 因为为的中点，所以，且， 又为的中点，为矩形，所以，且， 所以且，四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以直线平面. （2） 易知，矩形的外接圆半径为， 由题知，，解得， 因为平面，平面，且为矩形， 所以两两垂直， 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 得， 记平面的法向量为， 则，令得， 设直线与平面所成角为， 则. 18．（14分） 【解析】（1）因为是奇函数，则， 整理得：， 要使上式对任意的x成立， 则，解得或， 当时，的定义域为，不合题意， 当时，的定义域为，符合题意， 所以，对任意的，， 有， 所以，故函数是上的增函数； （2）， 因为恒成立， 等价为恒成立， 令，， 则，则， 可得在时恒成立， 由基本不等式，当且仅当时，等号成立，故． 19．（14分） 【解析】（1）列联表如下： 性别 愿意 不愿意 合计 男生 6 10 16 女生 18 6 24 合计 24 16 40 零假设为：是否愿意参加健美操与学生性别无关. 根据列联表中的数据，可得, 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立, 既认为是否愿意参加健美操与学生性别有关联，此判断犯错误的概率不大于0.005. （2）根据列联表可得愿意参加健美操的学生中女生占全部的， ∴选取的8人中，女生有人，男生有人， ∴随机变量的可取值：0,1,2. ∴，，. ∴随机变量的分布列： 0 1 2 数学期望. 20．（18分） 【解析】（1）由题设可设 ,这里. 易知渐近线为 ，焦距为, 的右焦点， 由题设可知 , 解得. 所以 的方程为,的方程为. （2）（ⅰ）设直线 , 联立直线 和 的方程 ,得. 为使直线 和 均有2个交点，必须有， , 解得且． 由韦达定理可得 注意到 ，因此线段 和线段 具有相同的中点． 记上述中点为 ，注意到,所以 . （ⅱ）由（ i ）可知和的面积相等． 记的面积为  , 的面积为 , 的面积为. 由 与 的方向相同可知 . 因为 ， 同理 所以 ， , 设, 则, 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此, 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最小值为． 21．（18分） 【解析】（1）假设是的“－伴侣函数”， 则，，即， 则，． （点拨：因为，所以） 因为且，所以，因此，因此，（注意等号能否取到） 因此是的“－伴侣函数”，且“伴侣指数”是3． （2）设，，，， ， ． 记，则，（放缩法的应用） 记，则，即， 因此是的“－伴侣函数”，即在同一给定闭区间上的一次函数是二次函数的“－伴侣函数”． （3）由题知，， 即，不妨假设， 则， 则且， 所以函数递增，函数递减， 故，， 则，，又， 故， 所以． 令，则， （技巧：将的分子写成两项之积的形式，以便确定的正负） 令，易知在上单调递减，则， 故，（提示：当时，，） 则在上单调递减，则，因此． 令，则， 令，易知在上单调递减，且，， 则，，即，（零点存在定理的应用） 当时，，即，则在上单调递增， 当时，，即，则在上单调递减， 则． 由，得，则， 因此． 又，所以，即实数的取值范围为． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 2 页） 数学 第 1 页（共 2 页） 数学 第 1 页（共 2 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 一．填空题 1．_______________ 2．_______________ 3．_________________ 4．_______________ 5．_______________ 6．_________________ 7．_______________ 8．_______________ 9．_________________ 10．_______________ 11．_______________ 12． 二．选择题 13． [A] [B] [C] [D] 14． [A] [B] [C] [D] 15． [A] [B] [C] [D] 16． [A] [B] [C] [D] 三．解答题 17.（1） （2） 19.（1） （2） 18.（1） （2） 2025 届高三下学期开学摸底考试卷（上海高考） 数学·答题卡 姓名: 学校: 班级: 正确填涂 注 意 事 项 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级及准考证号填写清楚。认 真填涂准考证号下面的涂点，并认真核对。 2．选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的水笔或 钢笔书写（画图除外），不得使用铅笔、圆珠笔。要求字体工整，笔迹清楚。 3．请严格按照题号在本题黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的 答题或在草稿纸、试卷上答题无效。 4．请保持卡面清洁，不装订、不要折叠、不要破损。 错误填涂 缺考: (教师填涂) 条形码粘贴区 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 2 页（共 2 页） 数学 第 2 页（共 2 页） 数学 第 2 页（共 2 页） 20.（1） （2） （3） 21.（1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！