河南省顶级名校联盟2025届高三上学期1月调研考试数学试题

河南省顶级名校联盟2025届高三上学期1月调研考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M＝｛x｜－x＋3≥0｝，N＝｛x｜＜0｝，则M∩N＝ A．｛x｜1＜x≤3｝ B．｛x｜－3≤x＜－1或x≥1｝ C．｛x｜－1＜x≤1｝ D．｛x｜x＜－1或1＜x≤3｝ 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则＝ A．1＋ B．1－ C．－1＋ D．－1－ 3．在平面直角坐标系中，角与角的顶点均与坐标原点重合，始边均与x轴的非负半轴重合，终边关于直线y＝x对称．若角的终边经过点P（，1），则cos＝ A． B． C． D． 4．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且x＞0时，f（x）＝＋ax＋5－a，则“f（x）在［－2，2］上单调递增”的充要条件是 A．a≥－5 B．－5≤a≤4 C．a≥4 D．4≤a≤5 5．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l分别交x轴的正半轴、y轴的正半轴于B，C两点，△BOC的面积为，若点A（1，4）为平面内一点，且满足·＝13，则｜OC｜＝ A． B． C．1 D．2 6．汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集龠、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，各器均为圆筒形（可视为圆柱）．如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳为升量，右耳上为合量，下为龠量．某兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛圆柱的底面半径分别为，高分别为，体积分别为．若成等比数列，且，，则＝ A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知抛物线C：＝2px（p＞0）的焦点为F，M（，）为C上一点，N为C上一动点，O是坐标原点．若MP⊥NF，垂足为P，则｜OP｜的最大值是 A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝cos x－＋（x＞），其从小到大的第n（n∈）个零点记为，则sin＋sin＋…＋sin＝ A．0 B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．踢毽子是一项深受青少年儿童喜爱的民间体育活动．某校踢毽子社团共10名学生，下表记录了这10名学生一分钟踢毽子的个数． 设这10名学生一分钟踢毽子的个数的平均数、方差、众数、中位数分别为u，，m，d，则下列说法一定正确的是 A．u≥16 B．＜10 C．20≤m＜30 D．20≤d＜30 10．已知函数f（x）＝若实数满足＝，＝，则 A．f（x）在（－∞，＋∞）上不单调 B．f（x）没有极值，也没有最值 C． D．＝6 11．已知数列｛｝满足｜｜＝1（n∈），且＝1，为数列｛｝的前n项和，则 A．若＜0，则存在k∈｛2，3，…，99｝，使得＝0 B．若＝100，则成等差数列 C．存在数列｛｝，使得＝1 D．存在k∈，使得＝100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f（x）＝ln x－ax在（1，2）上存在极值，则实数a的取值范围是_______． 13．若直线x＋ky＋3＝0与双曲线＝1有且只有一个交点，则实数k的值是_______． 14．有4个不透明的袋子A，B，C，D，每个袋子中均装有形状、大小完全相同的4个小球，编号分别为1，2，3，4．甲、乙、丙、丁4名同学依次随机从每个袋子中各取出1个球，取出不放回．已知甲取出的4个小球编号之和为14，乙取出的4个小球编号之和为13，则丙取出的4个小球编号之和大于6的概率是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＋－＝sin Asin C． （1）求B； （2）若c＝，b＝6，点D在BC延长线上，且CD＝10，求cos∠CAD． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥P－ABC中，BC⊥平面PAB，PA＝BC＝4，PB＝AC＝5，D为棱PC上的动点． （1）求证：PA⊥平面ABC； （2）是否存在点D，使得平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为?若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由． 17．（本小题满分15分） 已知函数f（x）＝（｜x｜＋a）． （1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点（2，5），求实数a的值； （2）求函数f（x）的单调递增区间． 18．（本小题满分17分） 已知椭圆E：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为，直线l过点与E交于A，B两点，且的周长为8． （1）求E的标准方程及离心率； （2）设与的角平分线交于点P，若点P到直线l的距离为，求直线l的方程． 19．（本小题满分17分） 已知集合A＝｛｝，定义集合（A）＝｛＋＋…＋｜，，…， 互不相等，且∈｛1，2，3，…，n｝，i＝1，2，3，…，k｝（2≤k≤n－1）． （1）若A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛1，2，4，8｝，写出集合（A），（B）； （2）若A＝｛｝｛1，2，3，…，100｝，且对任意∈（A），如果≤100，则存在j∈｛l，2，3，…，10｝，使得＝，求证：＞500； （3）给定整数k≥2，若存在集合A＝｛｝满足：对任意j∈｛1，2，3，…，n｝，存在∈（A），且≠j（i＝1，2，3，…，k），使得＝，求n的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$书 数学参考答案 ! 第 ! 页!共 " 页" 数学参考答案 题号 ! # ( % ' ) " * + !$ !! 答案 , - . , / / . - -, /. -/. 一!选择题"本题共 * 小题#每小题 ' 分#共 %$ 分 0 在每小题给出的四个选项中#只有 一项是符合题目要求的 0 !!, ! $试题立意%本题考查集合的运算#也涉及简单的解一元一次不等式及分式不等式等知识#考查数学运算 素养 ! $解析%由题易得集合 "1 ! # " # # ( "# $1 ! # " # $ &! 或 # % ! "#所以 " & $1 ! # " # $ &! 或 ! $ # # ( " ! 故选 ,! #!- ! $试题立意%本题考查复数的几何意义以及复数的运算等知识#考查数学运算素养 ! $解析%由题可知 %1&!2槡(3#所以 &% % 1 &% 槡&!2 (3 1 &% $槡(32!% &% 槡1!2 (3!故选-! (!. ! $试题立意%本题考查三角函数的定义$诱导公式等知识#考查直观想象素养 ! $解析%由角 ! 的终边经过点 & $ 槡& '#!%#结合角!与角 " 的终边关于直线 ' 1# 对称#得角 " 的终边必经过点 ( $ ! # 槡& '%!所以456 " 1 ! 槡!2' 1 槡) ) ! 故选 .0 %!, ! $试题立意%本题考查函数的单调性$奇偶性以及充要条件等知识#考查逻辑推理素养 ! $解析%先考查充分性#容易验证#当 % # ) # ' 时# * $ # %在& &# #'上单调递增(再考查必要性#若 * $ # %在& &# #' 上单调递增#则 * $ # %在$#'上单调递增#所以) # ' # #解得 ) ' %! 又由 * $ # %是奇函数#可知 * $% 1$ #所以 '& ) ' $ #所以 ) # '! 所以 % # ) # '! 综上所述#) * $ # %在& &# #'上单调递增*的充要条件是) % # ) # ' * ! 故选 ,! '!/ ! $试题立意%本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算#考查数学运算素养 ! $解析%根据题意#不妨设 + $# , %# - ! , # ! " $ #则 () .- + () .+1 ! , &! # ! " &% +$ &! # ,&% % 1!"& ! , &%,1!( #解 得 ,1 ! # #所以 " /+ " 1 ! # ! 故选 /0 )!/ ! $试题立意%新高考要求五育并进#立德树人#本题承担五育中%德育&的任务#以我国优秀传统文化中的 %新莽嘉量&为载体#考查圆柱的体积计算以及等比数列相关知识#渗透优秀传统文化#落实立德树人根本任 务 ! 考查数学运算$直观想象等素养 ! $解析%由题易得 0 ( 0 # 1 ! 1 # ( 2 ( ! 1 # # 2 # 1 2 ( 2 # 1!$ #即 0 ! # 0 # # 0 ( 所成等比数列的公比为 !$! 所以 0 ( 0 ! 1 ! 1 # ( 2 ( ! 1 # ! 2 ! 1!$$ #所以 2 ( 2 ! 1!$$7 ! #' 1%! 故选 /! "!. ! $试题立意%本题考查抛物线的标准方程$抛物线的几何意义$动点的轨迹等知识#灵活地将数和形结合# 能极大地提高本题的解答速度#考查直观想象和数学运算素养 ! $解析%由题可得 #1# 3 7 ! # #所以 3 1# #所以 4 $ ! # $ % ! 因为 "& * 4& #所以点 & 在以线段 "4 为直径的圆 上 ! 由题易得该圆的圆心为线段 "4 的中点#所以圆心坐标为 ( % # 槡# ! " # #半径为! # " "4 " 1 ! # 7 ! %槡2#1 数学参考答案 ! 第 # ! 页!共 " 页" ( % ! 所以 " /& " 的最大值为 ! " ( % # 2 槡# ! " #槡 # 2 ( % 1 槡(2 !" % ! 故选 .0 *!- ! $试题立意%本题考查三角函数的图象与性质$利用导数研究函数的性质$特殊角三角函数值等知识点# 考查逻辑推理$数学运算$直观想象等素养 ! 学生可以通过严谨推理论证得出答案#但需要花费一定的时间' 也可以通过灵活估算快速得出答案 ! 本题能有效区分不同思维水平的学生 ! $解析% * $ # % 1456#& 638# # 2 ! # 1 #456#&638#2! # #令 5 $ # % 1#456#&638#2! #显然 * $ # %在$ ! # 2 9 %上 的零点与函数 5 $ # %的相同#又 5 6 $ # % 1456#&#638#&456#1&#638# #所以 5 $ # %在$ #7 ! 2 ! # 7 ! 2# ! %$ 7 + ! %上单调递增#在$ #7 ! 2# ! # 7 ! 2( ! %$ 7 + ! %上单调递减 ! 又 5 $ #7 ! 2 ! % $ $ # 5 $ #7 ! 2# ! % % $ # 5 $ #7 ! 2( ! % $ $ $ 7 + ! %#所以 5 $ # %在每个单调区间内都有唯一零点 ! 另一方面#注意到 5 #7 ! 2 ! ! " # 1$ $ 7 + ! , % ! 所以 ) # 1 # ! 2 ! # ! # ) % 1% ! 2 ! # ! #,# ) #$#% 1#$#% ! 2 ! # ! 所以 638 ) # # 2638 ) % # 2 , 2638 ) #$#% # 1638 ! 2 ! ! " % 2 638 # ! 2 ! ! " % 2 , 2638 !$!# ! 2 ! ! " % 1$! 故选 -! 二!选择题"本题共 ( 小题#每小题 ) 分#共 !* 分 ! 在每小题给出的四个选项中#有多 项符合题目要求 ! 全部选对的得 ) 分#部分选对的得部分分#有选错的得 $ 分 ! +!-, ! $试题立意%新高考要求五育并进#立德树人#本题承担五育中%体育&的任务#以传统体育活动踢毽子为 背景#考查学生对平均数$方差等概念的理解#考查数据分析素养 ! $解析%平均个数的最小值$7(2#$7'2($7# !$ 1!) #无法确定具体数据#因此 - 一定正确# / # . 不一定正确 $判断 / 选项也可代数值#如 $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # ($ # ($ %(中位数应为数据排序后#第五个数据和第六个 数据的平均数#由题可知这两个数均在& #$ # ($ %内#所以 #$ # 8 $ ($ # , 一定正确 ! 故选 -,0 !$!/. ! $试题立意%本题以分段函数为载体#考查函数的单调性$极值最值$函数的零点等概念#对学生数学运 算$直观想象$逻辑推理素养均有一定的要求 ! $解析%由于二次函数 ' 1## # &*#2+ 在& # # 2 9 %上单调递增#而 ' 1 ! (&# 在$ & 9 #%上单调递增#同时 ' 1 ## # &*#2+ 在 #1# 处的函数值与 ' 1 ! (&# 在 #1# 处的函数值相等#所以 * $ # %在$ & 9 # 2 9 %上单调递 增# - 错误 ! 由 * $ # %在$ & 9 # 2 9 %上单调递增#所以 * $ # %没有极值#也没有最值# / 正确 ! 不妨设 # ! # # # # 则由 * $ # %单调递增可得 * $ # ! % # * $ # # % ! 又 # ! 1 * $ # # %# # 1 * $ # ! %#所以 # # # # ! ! 所以只能 # ! 1# # # . 正确 ! 所以 # ! 1 * $ # ! % ! 若 # ! ' # #则 # ! 1## # ! &*# ! 2+ #此时 # ! 1# # 1( (若 # ! $ # #则 # ! 1 ! (&# ! #此时 # ! 1# # 1 槡(& ' # # , 错误 ! 故选 /.0 !!!-/. ! $试题立意%本题给出数列的首项及递推公式#引导学生利用递推关系研究数列的特定项#以及前 9 项和#考查学生分析$解决问题的能力#以及数学运算$逻辑推理等数学学科核心素养 ! $解析%设 ) , 为数列中第一次取负值的项#则 ) ,&! 1$ #否则 " ) , &) ,&! "' # #与题设矛盾 ! 所以一定存在 7 + ! # # ( #,# ++ "#使得 ) 7 1$ # - 正确 ! 因为 ) !$$ &) ++ # ! # ) ++ &) +* # ! #,# ) # &) ! # ! #所以 ) !$$ &) ! # ++! 所以 ) !$$ # !$$ #当且仅当 ) :2! &) : 1! # :1! ## ( #,# ++ 时等号成立 ! 所以 ) ! # ) # #,# ) !$$ 成等差数列# / 正确 ! 取 ) ! 1) ' 1 , 1) !$! 1! # ) # 1) ) 1 , 1) !$# 1$ # ) ( 1) " 1 , 1) ++ 1&! # ) % 1) * 1 , 1) !$$ 1$ #则 ; !$# 1! # . 正 确 ! 由于 ) #7&! $ 7 + ! , %一定是奇数# ) #7 一定是偶数#所以 ; %72! 必为奇数#因此不存在 7 + ! , #使得 ; %72! 1 !$$ # , 错误 ! 故选 -/.0 数学参考答案 ! 第 ( ! 页!共 " 页" 三!填空题"本题共 ( 小题#每小题 ' 分#共 !' 分 ! !#! ! # # ! " ! ! $试题立意%本题考查利用导数研究函数的单调性$极值#也考查了对极值概念的理解 ! 本题考查 数学运算素养 ! $解析% * 6 $ # % 1 ! # &)1 &)#2! # #由题意 * 6 $ # %在$ ! #%内存在零点#且零点两侧附近导数异号 ! 当 ) # $ 时# * 6 $ # % % $ #无极值点(当 ) % $ 时#由题可得 &)2! % $ 且 &#)2! $ $ #解得! # $ ) $ !! !(!: 槡#" " ! $试题立意%本题考查直线和双曲线的位置关系#若直接将直线和双曲线方程联立#计算判别式等# 这样计算量相对较大#可能会花费一定的时间'若运用数形结合#发现直线不可能与双曲线相切#因此直接 令直线与双曲线的渐近线平行#这样能快速得到答案 ! 本题能有效区分不同思维水平的学生 ! 本题考查数学 运算$直观想象等素养 ! $解析%由于直线恒过定点$ &( # $ %#所以直线不可能与双曲线相切 ! 要满足有且只有一个交点#直线必须平 行于双曲线的渐近线#故 71: 槡#" " ! !%! ! # ! $试题立意%本题考查利用条件概率模型求解随机事件的概率#同时考查计数原理相关知识#对学生逻 辑素养有较高的要求 ! $解析%题中问题等价于往如下表格中随机地填数字#其中每列都是 ! ## ( # % 的排列#求在第一行数字之和 为 !% #并且第二行数字之和为 !( 的条件下#第三行数字之和大于 ) 的概率 ! . - + < 甲 乙 丙 丁 第一行数字之和为 !% #并且第二行数字之和为 !( 包含的情况数可如下计算- 如果第一行数字是 ( 个 % # ! 个 # #那么共 . ( % 7# % 种不同的填法( 如果第一行数字是 # 个 % # 个 ( #那么共 . # % 7#7# % 种不同的填法 0 所以共有$ . ( % 2#. # % % 7# % 种不同的填法 0 第三行数字之和大于 ) 包含的情况数可如下计算- " 第一行数字依次是 % # % # % ##则第二行只能依次为 ( # ( # ( # % #如下表 ! . - + < 甲 % % % # 乙 ( ( ( % 丙 丁 如果第三行第四列是 ( #则前 ( 列可以是 # ###或 # ## ! #或 # # ! # ! ( 如果第三行第四列是 ! #则前 ( 列可以是 # ###共有 !2(2(2!1* 种可能 ! 数学参考答案 ! 第 % ! 页!共 " 页" 所以如果第一行数字是 ( 个 % # ! 个 # #那么共 . ( % 7* 种不同的填法 0 # 第一行数字依次是 ( # ( # % # % #则第二行可能为 % # % # ( # 或 % # % ## ( #如下表$只列出其中一种情况% 0 . - + < 甲 ( ( % % 乙 % % ( # 丙 丁 此种情况下#余下两行也有 * 种不同的填法# 所以如果第一行数字是 # 个 % # 个 ( #那么共 . # % 7#7* 种不同的填法 0 所以第三行数字之和大于 ) 共有$ . ( % 2#. # % % 7* 种不同的填法 0 所以第三行数字之和大于 ) 的概率为* # % 1 ! # 0 四!解答题"本题共 ' 小题#共 "" 分 ! 解答应写出文字说明!证明过程或演算步骤 ! !'! $试题立意%本题考查正弦定理$余弦定理等#考查数学运算素养 ! $解析%$ ! %由正弦定理#得 ) # 2= # &> # 槡1 #)=# !分……………………………………………………………… 由余弦定理#得 456-1 ) # 2= # &> # #)= # # 分………………………………………………………………………… 所以 456-1 槡# # ! ( 分……………………………………………………………………………………………… 因为 - 为三角形内角#所以 -1 ! % ! % 分………………………………………………………………………… $ # %在 - .-+ 中#由正弦定理#得 > 638- 1 = 638 . .+- # ' 分……………………………………………………… 所以 638 . .+-1 =638- > 1 槡()7 槡# # ) 1 槡( # ! 因为 - .-+ 为锐角三角形#所以 . .+-1 ! ( ! " 分…………………………………………………………… 所以 . .+<1 # ! ( ! * 分…………………………………………………………………………………………… 在 - .+< 中#由余弦定理#得 .< # 1.+ # 2+< # &#.+7+<7456 . .+< # + 分……………………………… 所以 .< # 1()2!$$2#7)7!$7 ! # 1!+) # !$ 分……………………………………………………………… 所以 .<1!%! !! 分……………………………………………………………………………………………… 所以 456 . +.<1 .+ # 2.< # &+< # #7.+7.< 1 ()2!+)&!$$ #7)7!% 1 !! !% ! !( 分…………………………………………… !)! $试题立意%本题以最常见的空间几何体三棱锥为载体#考查线面垂直的定义$判定定理$空间向量及其在立 体几何中的应用#平面和平面的夹角等知识点#考查数学运算和直观想象素养 ! $解析%$ ! %因为 -+ * 平面 &.- # &. / 平面 &.- # .- / 平面 &.- # 所以 -+ * &. 且 -+ * .-! # 分………………………………………………………………………………… 由 -+ * .- #且 -+1% # .+1' #可得 .-1(! ( 分……………………………………………………………… 由 .-1( # &.1% # &-1' #可得 &. * .-! % 分………………………………………………………………… 数学参考答案 ! 第 ' ! 页!共 " 页" 因为 .- & -+1- # .- / 平面 .-+ # -+ / 平面 .-+ #所以 &. * 平面 .-+! ' 分………………………………………………………………………………… $ # %过 . 作 . ' 0 -+ #则 .& # .- # . ' 两两垂直# 建立如图空间直角坐标系 ! 则 & $# $ # % %# . $# $ # $ %# - $ ( # $ # $ %# + $ ( # % # $ % ! " 分…………………………… 设平面 -+< 的法向量为 ! ! 1 $ # ! # '! # % ! %# 由题可得() -+1 $# % # $ %# () -&1 $ &( # $ # % %# * 分…………………………………… 则 ! ! + () -+1$ # ! ! + () -&1$ ( # 即 % '! 1$ # &(# ! 2%% ! 1$ ( ! 取 # ! 1% #则平面 -+< 的一个法向量为 ! ! 1 $ % # $ # ( % ! + 分…………………………………………………… 由于 < 在棱 &+ 上#设 () &<1 # () &+ # $ ### ! # 所以 () &<1 # $ ( # % # &% % 1 $ ( # # % # # &% # % ! 所以 < $ ( # # % # # %&% # % ! !$ 分……………………………………………………………………………………… 设平面 .-< 的法向量为 ! # 1 $ # # # '# # % # %# 由题可得 () .-1 $ ( # $ # $ %# () .<1 $ ( # # % # # %&% # %# !! 分…………………………………………………………… 则 ! # + () .-1$ # ! # + () .<1$ ( # 即 (# # 1$ # ( # # # 2% # '# 2 $ %&% # % # 1$ ( ! 取 '# 1 # &! #则平面 .-< 的一个法向量为 ! # 1 $# &! #% ! !# 分…………………………………………… 由题意#得 " 456 . ! ! # ! # / " 1 " ( #" '7 $ # &! % # 2 #槡 # 1 槡(' #' # 整理得 ( # # 2# # &!1$! !( 分…………………………………………………………………………………… 解得 # 1 ! ( 或 # 1&!! 因为 $ ### ! #所以 # 1 ! ( ! 故存在点 < #且当点 < 位于 &+ 上靠近 & 的三等分点时#平面 .-< 与平面 -+< 夹角的余弦值为 槡(' #' ! !' 分……………………………………………………………………………………………………………… !"! $试题立意%本题考查利用导数研究函数的切线$单调性$不等式等知识#考查数学运算$逻辑推理等多种素养 ! $解析%$ ! %当 # % $ 时# * $ # % 1; # $ #2) % ! ! 分…………………………………………………………………… 因为 * 6 $ # % 1; # $ #2)2! %# # 分………………………………………………………………………………… 所以 * 6 $ ! % 1; $ #2) %# * $ ! % 1; $ !2) % ! % 分…………………………………………………………………… 所以切线方程为 ' &; $ !2) % 1; $ #2) %$ #&! % ! ' 分…………………………………………………………… 又切线过点$ # # ' %#代入切线方程可得 )1 ' #; & ( # ! ) 分……………………………………………………… $ # %当 # % $ 时# * $ # % 1; # $ #2) % ! 因为 * 6 $ # % 1; # $ #2)2! %# 所以若 ) ' &! #则当 # + $# 2 9 %时# * 6 $ # % % $ # * $ # %单调递增( * 分………………………………………… 若 ) $ &! #则当 # + $# &)&! %时# * 6 $ # % $ $ # * $ # %单调递减( + 分…………………………………………… 当 # + $ &)&! # 2 9 %时# * 6 $ # % % $ # * $ # %单调递增 ! !$ 分…………………………………………………… 当 # $ $ 时# * $ # % 1; # $ &#2) % ! 数学参考答案 ! 第 ) ! 页!共 " 页" 因为 * 6 $ # % 1; # $ &#2)&! % ! !! 分……………………………………………………………………………… 所以若 ) ' ! 时#则当 # + $ & 9 # $ %时# * 6 $ # % % $ # * $ # %单调递增( !# 分……………………………………… 若 ) $ ! 时#则当 # + $ )&! # $ %时# * 6 $ # % $ $ # * $ # %单调递减( !( 分…………………………………………… 当 # + $ & 9 # )&! %时# * 6 $ # % % $ # * $ # %单调递增 ! !% 分……………………………………………………… 又易知 ) ' ! 时#对任意 # ! $ $ # # % $ #均有 * $ # ! % $ * $% $ * $ # # %# 所以 ) ' ! 时#单调递增区间是$ & 9 # 2 9 % ! 综上所述# ) $ &! 时#单调递增区间是$ & 9 # )&! %#$ &)&! # 2 9 %( &! # ) $ ! 时#单调递增区间是$ & 9 # )&! %#$# 2 9 %( ) ' ! 时#单调递增区间是$ & 9 # 2 9 % ! !' 分…………………………………………………………………… !*! $试题立意%本题考查椭圆的方程及其性质$角平分线的性质$直线方程等#考查学生数学运算素养 ! $解析%$ ! %由题可知 %)1* #所以 )1#! 所以 > # 2!1% #解得 > 槡1 (! !分……………………………………… 所以 ? 的标准方程是# # % 2 ' # ( 1!! # 分………………………………………………………………………… 又 = # 1) # &> # 1! # ( 分…………………………………………………………………………………………… 所以离心率 @1 = ) 1 ! # ! % 分…………………………………………………………………………………… $ # %由$ ! %可知 4 # $ ! # $ %# 当直线 A 的斜率存在时#可设直线 A - ' 17 $ #&! % ! 与椭圆方程联立得$ %7 # 2( % # # &*7 # #2%7 # &!#1$! ' 分……………………………………………………… 设 . $ # ! # '! %# - $ # # # '# % ! 因为直线 A 过椭圆内的定点 4 # #所以 7 + " 均能保证 $% $ # ) 分……………………………………………… 则 # ! 2# # 1 *7 # %7 # 2( # ! # # 1 %7 # &!# %7 # 2( ! " 分……………………………………………………………………… 因为 . 4 ! .- 与 . 4 ! -. 的角平分线交于点 & # 所以点 & 到 4 ! . # 4 ! - # .- 的距离均为 槡(' !) ! * 分……………………………………………………………… 所以 - .-4 ! 的面积为 ;1 ! # $ " .4 ! " 2 " -4 ! " 2 " .- " % 7 槡(' !) 1 槡(' % ! !$ 分………………………………… 所以! # 7 " 4 ! 4 # " 7 " '! & '# " 1 槡(' % ! !! 分……………………………………………………………………… 所以 $ '! 2 '# % # &% '!'槡 # 1 槡(' % ! 又 '! 2 '# 17 $ # ! &! % 27 $ # # &! % 17 $ # ! 2# # &# % 1 &)7 %7 # 2( ! !# 分…………………………………………… '!'# 17 # $ # ! &! %$ # # &! % 1 &+7 # %7 # 2( ! !( 分……………………………………………………………………… 所以 ()7 # $ %7 # 2( % # &%7 &+7 # %7 # 2( 1 %' !) ! 化简得 !")7 % 2!()7 # &%'1$! 所以$ %7 # &! %$ %%7 # 2%' % 1$! 解得 71: ! # ! !' 分……………………………………………………………………………………………… 当直线 A 的斜率不存在时# " '! & '# " 1( 1 槡(' % #显然不符合题意 ! !) 分……………………………………… 数学参考答案 ! 第 " ! 页!共 " 页" 综上所述#直线 A 的方程是 #&# ' &!1$ 或 #2# ' &!1$! !" 分……………………………………………… !+! $试题立意%本题以集合为载体#考查学生对新定义数学概念的理解#考查学生在综合情境下分析解决问题 的能力#对学生的逻辑推理素养要求较高 ! $解析%$ ! % ( $ . % 1 ! ) # " # * # + "# % # $ - % 1 ! ( # ' # + # ) # !$ # !# " ! % 分……………………………………………… $ # %证明-不妨设 ) ! $ ) # $ , $ ) !$ ! 假设 ) : 2) !!&: # !$$ # :1! ## ( # % # ' # 则当 :1! 时# ) ! $ ) # $ ) ! 2) # $ ) ! 2) ( $ , $ ) ! 2) !$ # !$$ # 当 :1# 时# ) ! $ ) # $ ) ! 2) # $ ) ! 2) ( $ , $ ) ! 2) + $ ) # 2) + # !$$ # 同理#当 :1( # % # ' 时# ) ! $ ) # $ ) ! 2) # $ ) ! 2) ( $ , $ ) ! 2) !!&: $ ) # 2) !!&: $ , $ ) : 2) !!&: # !$$ # 所以 ) ! # ) # # ) ! 2) # #,# ) : 2) !!&: 均为集合 . 中不同元素 ! 而 ) ! # ) # # ) ! 2) # #,# ) : 2) !!&: 共 !! 个数#与 . 中只有 !$ 个数矛盾 ! 所以 ) : 2) !!&: % !$$ # :1! ## ( # % # '! 所以 ) ! 2) # 2) ( 2 , 2) !$ % !$$7'1'$$! !$ 分……………………………………………………………… $ ( %不妨设 . 中元素满足 ) ! $ ) # $ , $ ) 9 ! 由题可知#存在 ) B ! 2) B # 2 , 2) B 7 +% 7 $ . %# B : + !## ( #,# 9 "# :1! ## ( #,# 7! 使得 ) ! 1) B ! 2) B # 2 , 2) B 7 #且 ) B ! # ) B # #,# ) B 7 均不与 ) ! 相等 ! 所以 ) ! 1) B ! 2) B # 2 , 2) B 7 ' ) # 2) ( 2 , 2) 72! % ) ! 2) ( 2 , 2) 72! ! 所以 ) ( 2 , 2) 72! $ $! 同理存在 ) , ! 2) , # 2 , 2) , 7 +% 7 $ . %# , : + !## ( #,# 9 "# :1! ## ( #,# 7! 使得 ) 9 1) , ! 2) , # 2 , 2) , 7 #且 ) , ! # ) , # #,# ) , 7 均不与 ) 9 相等 ! 所以 ) 9 1) , ! 2) , # 2 , 2) , 7 # ) 9&! 2) 9&# 2 , 2) 9&7 $ ) 9 2) 9&# 2 , 2) 9&7 ! 所以 ) 9&# 2 , 2) 9&7 % $! 所以 ) 9&7 2) 9&72! 2 , 2) 9&# % ) ( 2) % 2 , 2) 72! ! 若 ) 9&7 # ) ( #则 ) 9&72! # ) % # ) 9&72# # ) ' #,# ) 9&# # ) 72! ! 所以 ) 9&7 2) 9&72! 2 , 2) 9&# # ) ( 2) % 2 , 2) 72! ! 与 ) 9&7 2) 9&72! 2 , 2) 9&# % ) ( 2) % 2 , 2) 72! 矛盾 ! 所以 ) 9&7 % ) ( #所以 9&7 % (! 所以 9 % 72( #即 9 ' 72%! 又 9172% 时#若 7 为偶数#设 71#= # 取 .1 ! =2# # =2! #,## ! # &! # &# #,# &=&! # &=&# "#显然符合题意( 若 7 为奇数#设 71#=2! # 取 .1 ! =2# # =2! #,## ! # $ # &! # &# #,# &=&! # &=&# "#显然符合题意 ! 所以 9 的最小值是 72%! !" 分…………………………………………………………………………………… 第 1 页 共 4 页 高三数学评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第 15 题： 第（2）问补充其他解法：（不同做法答案正确给满分） 第 16 题： 第（2）问补充其他解法（不同建系，正确即给满分）： 第 2 页 共 4 页 第 18 题： 第（2）问补充其他解法一： 其他解法接下页 第 3 页 共 4 页 第（2）问补充其他解法二： 注：用到光学性质（在椭圆（或双曲线）中，从焦点射出的光线经过曲线反射后， 反射光线（的反向延长线）经过另一个焦点，与反射点处切线垂直的直线为焦点 三角形顶角的角平分线），扣 2分. 第 4 页 共 4 页 第 19 题： 第（1）问补充评分细则： 两个集合，写对一个得2分. 第（2）问（学生在解析中体现排序思维，证出如： 1 10 100a a  或 2 9 100a a  或 3 8 100a a  等，阅卷老师即可酌情给分）补充其他解法: ...10 分