2025年山东省九年级中考数学一轮复习专题等腰三角形同步训练

2025年山东省九年级中考数学一轮复习专题 -------等腰三角形同步训练答案 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）若等腰三角形一个外角为，则其顶角为（　　）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，利用补角的定义及三角形的内角和定理即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，补角的定义，三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一个外角为， 当这个外角与等腰三角形的顶角是邻补角时， ∴等腰三角形的顶角：； 当这个外角与等腰三角形的底角是邻补角时， ∴等腰三角形的一个底角：， ∴等腰三角形的顶角：； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；分两种情况：当腰为时，当底边为时，分别讨论即可求解，理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：当腰为时，底边长，， 则此时，这个三角形的周长为； 当底边为时，腰长，， 则此时，这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为或， 故选：C． 4．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 【答案】B 【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数． 【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°， ∵CF＝EF， ∴∠C=∠E， ∵∠DFE=∠C+∠E=50°， ∴∠E=25°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2024·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD. 【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠B=∠ACB=70°， ∵CD∥AB， ∴∠BCD=∠B=70°， 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大. 6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连 接．若，，则 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形及线段垂直平分线．熟练掌握等腰三角形等边对等角，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，三角形外角性质，是解决问题的关键． 首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质和线段垂直平分线的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：C． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 8．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 9．（2023·湖北武汉·中考模拟）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定，网格作图，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质分三种情况：为底边，C点在的垂直平分线上；为腰且为顶角时，为腰且为顶角时，分别判定可求解． 【详解】解：如图， 则符合条件的C点有8个， 故选：B． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，过M、N的直线l交边于点F，交边于点E，已知，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形外角的性质和线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出解答．根据线段垂直平分线的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 二、填空题 12．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则 ． 【答案】2-180° 【分析】先根据作图可知DE和FG分别垂直平分AB和AC，再利用线段的垂直平分线的性质得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度数． 【详解】解：由作图可知，DE和FG分别垂直平分AB和AC， ∴MB＝MA，NA＝NC， ∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC， 在△ABC中，， ∴∠B＋∠C＝180°−∠BAC＝180°−， 即∠MAB＋∠NAC＝180°−， 则∠MAN＝∠BAC−（∠MAB＋∠NAC）＝−（180°−）＝2-180°． 故答案是：2-180°． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．解题时注意：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 14．（2023·广西南宁·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、正方形性质、等腰三角形性质、等边三角形的性质的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据正方形性质得出，根据等边三角形性质得出，推出，根据等腰三角形性质得出，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形及解二元一次方程组，三角形三边关系，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：解方程组，得： ， ∴等腰三角形的两边长为2，5． 若腰长为2，底边长为5． ∵， ∴不能构成三角形． 若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为． 所以这个等腰三角形的周长为12． 故答案为：12． 16．（23-24七年级下·山东泰安·期末）在等边中，、分别是，上的点，且，交于，则的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，根据全等证出是解决本题的关键． 根据证出，得出，再根据三角形的外角性质即可得出的度数． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， 在D和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 17．（23-24七年级下·山东东营·期末）腰长为，底角为的等腰三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的外角性质，直角三角形的性质，三角形的面积，根据题意，画出图形，过点作的延长线于点，由三角形的外角性质可得，进而由直角三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，等腰中，，，过点作的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．已知给出了等腰三角形的一个内角的度数，但没有明确这个内角是顶角还是底角，因此要分类讨论． 【详解】解：（1）若等腰三角形一个底角为，顶角为； （2）等腰三角形的顶角为． 因此这个等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 19．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，F为边上一点，连接，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据证明，进而可证； （2）延长交于H，连接，先证明是的垂直平分线，再由互余关系可证，即可证明，再证明，即可，进而可证． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：延长交于H，连接， 平分，， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， E为边的中点， ， ， ， ， ， ． 20．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质， （1）根据题意可证是等腰直角三角形，则，，，再根据，，即可求证； （2）根据（1）的证明可得，是的垂直平分线，所以，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵点为的中点， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下， 如图所示，连接，    由（1）可知，，是等腰直角三角形，， ∴，平分，点是的中点，即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 21．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，线段DE的长度为 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质： （1）由题意，得，，根据为等腰三角形可得，进而列方程求解即可； （2）线段的长度是定值，过点M作交于点F，证明，得到，从而求出 【详解】（1）解：由题意，得．                 等边的边长为4， ． 当为等腰三角形时，， ． ．                   ． 即．                解得． （2）解：线段的长度为定值．如图，过点M作交于点F．        ． ， 为等边三角形．      ． ， ．              在和中，， ．          ．                    ．即线段的长度为． 22．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 23．（2023·山东济南·中考真题）如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接． （1）求证：； （2）试说明与的位置关系和数量关系． 【答案】（1）详见解析；（2），，理由详见解析． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，，由“”可证，可得； （2）由可得，进而可得，由即可证明是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，． 【详解】（1）∵是等边三角形， ，， ∵，， ∴，， ∵， ， ， ，且，， ， ， （2），.理由如下： 连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， 是等边三角形， ∵， ，且， ，. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． 24．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 【答案】(1) (2)的大小不发生变化，，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数； （2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数； （3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转的性质得． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：的大小不发生变化，，理由如下： 连接交于点O， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点C作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， 设， ∵， ∴， 如图所示，过点D作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴, ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴或（舍去）； ∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合）， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 25．（2020·山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析 【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论； （2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH和△FEC中， ， ∴△DEH≌△FEC（SAS）， ∴DH＝CF， ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 26．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论； （2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵点P与点A重合， ∴PB=AB，PC=AC，PA=0， ∴或； （2）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AB=AC，BP=CF， ∴（SAS），   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 27．（2023·山东菏泽·二模）如图（1）在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？ (1)先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； (2)再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先证明和是等边三角形，得到，从而，再证明，得到，从而，再由，即可得到答案； （2）将绕点旋转交于点，可得 ，由（1）可知，，可得，从而可得，故，，进而可得是等边三角形，所以，故，即． 【详解】（1）解：如图2，在和中， ∵，，， ∴和是等边三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 即； （2）解：结论：成立， 理由：如图， 将绕点旋转交于点， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，是等边三角形， ∴， ∴， 即； 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定方法． 28．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 29．（2022·山东济南·一模）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边上，且时，之间的数量关系是___________． (2)如图，点在边上，且当时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请写出结论并证明；若不成立请说明理由． (3)如图，当分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 【答案】(1)； (2)成立，； (3)，见解析 【分析】（1）由，可得是等边三角形，得到，然后由直角三角形的性质即可求解； （2）在的延长线上截取，连接，可证，得到，从而得到，即可求证； （3）在上截取，连接，可证得，即可求证． 【详解】（1）解：之间的数量关系． ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）猜想：结论仍然成立． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 证明：在上截取，连接 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用，作出合适的辅助线，构造出全等三角形． 30．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 31．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：填“”“”或“”)； (2)【特例启发，解答题目】如图，当为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；提示：过点作，交于点 (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点在直线上，点在线段的延长线上，且．若的边长为，，求的长．(利用备用图探究) 【答案】(1) (2)，见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ． 32．（23-24七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考： （2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 【答案】（1）；（2）①，见解析；②的度数仍为定值，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 【解决问题】由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解； 【拓展探究】①由“”可证； ②由可得，由外角性质可求解． 【详解】解：【解决问题】是等边三角形， ，， ，，， ， ， 又， ， ； 故答案为：； 【拓展探究】解：①仍成立． 理由如下：是等边三角形， ，， ， 又， ． ②的度数仍为定值． 理由如下：由（1）知，， ， 而，，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山东省九年级中考数学一轮复习专题-------等腰三角形同步训练 知识梳理 1、 等腰三角形性质判定 性质： （1） （2） 判定： 2、 等边三角形性质判定 性质: （1） （2） （3） 3、 判定： （1） （2） （3） 考点：（1）等腰三角形性质判定 （2）分类讨论数学思想 链接中考 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）若等腰三角形一个外角为，则其顶角为（　　）． A． B． C．或 D．或 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若等腰三角形一边长为，且腰长是底边长的，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 5．（2024·山东临沂·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连 接．若，，则 为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·湖北武汉·中考模拟）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，过M、N的直线l交边于点F，交边于点E，已知，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 二、填空题 12．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 13．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则 ． 14．（2023·广西南宁·中考真题）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是 ． 15．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 16．（23-24七年级下·山东泰安·期末）在等边中，、分别是，上的点，且，交于，则的大小为 ． 17．（23-24七年级下·山东东营·期末）腰长为，底角为的等腰三角形的面积为 ． 18．（23-24七年级下·山东济南·期末）如果等腰三角形一个内角为，则该等腰三角形顶角的度数为 ． 三、解答题 19．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，F为边上一点，连接，且． 求证：(1)； (2)． 20．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 21．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，等边的边长为，点M从点B出发沿BC运动，同时，点N从点A出发沿线段的延长线运动，点M，N的速度均为/秒，点M到达点C时，两点停止运动．作于点D，连接交AB于点E．设点M，N的运动时间为t秒． (1)当为等腰三角形时，求t的值； (2)线段的长度是否为定值？若是，请求出其长度；若不是，请说明理由． 22．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，； (2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 23．（2023·山东济南·中考真题）如图，已知等边，于，，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接． （1）求证：； （2）试说明与的位置关系和数量关系． 24．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由； (3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围． 25．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 26．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 27．（2023·山东菏泽·二模）如图（1）在和中，，，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存在怎样的数量关系？ (1)先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系； (2)再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立． 28．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 29．（2022·山东济南·一模）在等边的两边所在直线上分别有两点为外一点，且，，．探究：当分别在直线上移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边上，且时，之间的数量关系是___________． (2)如图，点在边上，且当时，猜想(1)问的结论还成立吗？若成立请写出结论并证明；若不成立请说明理由． (3)如图，当分别在边的延长线上时，探索之间的数量关系如何？并给出证明． 30．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 、 31．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：填“”“”或“”)； (2)【特例启发，解答题目】如图，当为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；提示：过点作，交于点 (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点在直线上，点在线段的延长线上，且．若的边长为，，求的长．(利用备用图探究) 32．（23-24七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”相关内容后，小明做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小明完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】（1）的度数为 ； 【拓展探究】小明继续进行了如下思考： （2）在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，如图2，其他条件不变． ①与有怎样的数量关系？ ②的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并写出证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$