第十六章 二次根式（培优卷 单元重点综合测试）（人教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，人教版）

第十六章 二次根式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 3．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 6．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 7．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 8．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 9．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．已知，则 ． 12．已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为 ． 13．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 14．在，，，，中最简二次根式有 个． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1)； (2)． 16．已知，求代数式的值． 17．已知、是实数，且，求的值． 18．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示： (1)圆形团扇的半径为__________（结果保留），正方形团扇的边长为__________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 19．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 20．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 21．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 22．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间 s； (2)若物体从高空落到地面的时间为3s，则从高空落到地面的高度＝ m； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度（m），某质量为的鸡蛋经过后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的动能） 23．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如的式子叫做二次根式”是解题关键． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D 2．已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 3．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 5．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 6．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 7．与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 8．已知，则代数式的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：A． 9．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．根据题意得到，，根据二次根式以及绝对值的性质，化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：1． 12．已知 ，，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题的关键．化简得，整数部分是；化简得，小数部分是，由此进一步代入求得答案即可． 【详解】解：，， ∵， ∴，， ∴x的整数部分是，y的小数部分是， ∴ ． 故答案为：． 13．定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 14．在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 16．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解代数式的值，先求解，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 17．已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用绑带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示： (1)圆形团扇的半径为__________（结果保留），正方形团扇的边长为__________； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆形团扇所用的包边长度更短 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 圆形团扇的半径为，正方形团扇的边长为． 故答案为：，； （2）解：∵ 圆形团扇半径为，正方形团扇的边长为， ∴ 圆形团扇的周长为，正方形团扇的周长为 ∵， ∴，                             ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 19．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 20．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 21．通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． （1）将7分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）由（1）可得，整理得，再将12分成，利用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)物体从的高空落到地面的时间 s； (2)若物体从高空落到地面的时间为3s，则从高空落到地面的高度＝ m； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度（m），某质量为的鸡蛋经过后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的动能） 【答案】(1) (2)45 (3)这个鸡蛋产生的动能是，对无防护人体具有杀伤力，启示我们要禁止高空抛物 【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将代入中计算，即得答案； （2）将代入，得到方程，解方程即得答案； （3）将代入，得到方程，解方程求得，然后根据物体质量高度（m），即可求得，再根据得出启示． 【详解】（1）解:当时，（s）； 故答案为：． （2）解:当时，， 解得； 故答案为：45． （3）解:当时，， 解得， （J）， ， 对无防护人体具有杀伤力，启示我们要禁止高空抛物． 23．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$