第6章 实数（培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第6章 实数（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 2．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．8的立方根是 B．没有立方根 C．的立方根等于的立方 D．立方根等于本身的数只有0 4．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 5．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 7．计算的结果为（    ） A．0 B．4 C． D．0或 8．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 9．已知：，且a，b为两个连续的整数，则（   ） A． B． C． D． 10．若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．的相反数是 ，的倒数是 ． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 13．若，，则 ． 14．用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如，那么 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1) (2) 16．将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 17．请你将，，，，在数轴上表示出来，并用“”将上列各数连接起来． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知满足，求的算术平方根． 20．如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 21．已知正数x的两个平方根分别是和的整数部分为b，m和n互为相反数，p和q互为倒数． (1)求a和b值． (2)求的值． 22．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 23．【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 实数（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．下列实数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义“无限不循环小数是无理数”、立方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．先求出立方根，再根据无理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是无理数，则此项符合题意； B、，是有理数，则此项不符合题意； C、是有理数，则此项不符合题意； D、是有理数，则此项不符合题意； 故选：A． 3．下列说法正确的是（    ） A．8的立方根是 B．没有立方根 C．的立方根等于的立方 D．立方根等于本身的数只有0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根，理解平方根和立方根的定义是解答的关键．根据立方根、平方根的定义对相关选项作出判断即可． 【详解】解：A．8的立方根是2，故不正确； B．的立方根为，故不正确； C．的立方根等于的立方，正确； D．立方根等于本身的数有0，1，，故不正确； 故选C． 4．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出正方形边长，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是31， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， 故选；B． 5．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 6．如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 7．计算的结果为（    ） A．0 B．4 C． D．0或 【答案】A 【分析】本题主要查了立方根和算术平方根的性质．直接利用立方根和算术平方根的性质分别化简，即可得出答案． 【详解】解： 故选：A 8．有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 9．已知：，且a，b为两个连续的整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，已知字母的值求代数式的值，先由，得出，则，结合a，b为两个连续的整数，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，且a，b为两个连续的整数， 则， ∴， 故选：B． 10．若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和倒数，实数的运算，只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：， ∴的相反数是，的倒数是， 故答案为：，． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握平方根的概念是解题的关键．根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出m值，再求出一个平方根，进而就可以得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别为和， ∴， 解得， 则这个正数是． 故答案为：9． 13．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，根据算术平方根和立方根定义先求出x、y值，再代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 14．用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】42 【分析】此题考查了实数的运算，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则． 根据“※”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：42． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，绝对值等知识点， (1)原式去括号合并即可得到结果； (2)原式利用算术平方根定义，立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； 熟练掌握数的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 整数：　　； 分数：　　； 负数：　　； 无理数：　　． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了实数的分类，有理数的定义，无理数的定义等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 根据整数、分数、负数、无理数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数：； 分数：； 负数：； 无理数：； 故答案为：；；；． 17．请你将，，，，在数轴上表示出来，并用“”将上列各数连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，立方根和数轴等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先根据算术平方根、有理数的乘法和立方根的定义化简各数，再在数轴上表示出各个数，最后比较大小即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示为： ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，算术平方根的性质，根据整式的运算法则，先去括号，再合并同类项，得出最简式，代入字母的值计算即可得出答案，解题关键是掌握相关运算法则． 【详解】 ， ∵， ∴原式． 19．已知满足，求的算术平方根． 【答案】． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为，先根据算术平方根的非负性，得出，再由非负数之和为，求出，求得的值，进而求得的算术平方根，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 20．如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． 21．已知正数x的两个平方根分别是和的整数部分为b，m和n互为相反数，p和q互为倒数． (1)求a和b值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，整数部分的含义，相反数，倒数的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据正数x的两个平方根分别是和得到，求出a，根据的整数部分为b，而，可得的值； （2）根据相反数的定义，倒数的含义可得，，结合（1）求出x，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵正数x的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∵的整数部分为b，而， ∴． （2）解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别是________，________； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出多少块这样的木条，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)最多能截出8块这样的木条，理由见解析 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；． （2）解：， ∴剩余木料的面积为． （3）解：剩余木条长为，宽为， ∵，， ∴能截出块木条， 答：最多能截出8块这样的木条． 23．【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)整数部分为3，小数部分为； (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）按照材料1的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分为3，小数部分为； （2）的立方根是3，的算术平方根是4， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$