精品解析：广东省云浮市云城区云浮市第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年第一学期期中考试 初三数学试卷 (时间: 120分钟, 满分: 120分) 一． 选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键． 3. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，本选项符合题意； C、抛物线的顶点坐标是，本选项不符合题意； D、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意． 故选：B． 6. 下列方程中，两个实数根之和等于2的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系对、 、、进行判断，熟练掌握若方程的的两根为，则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：、两实数根之和等于,所以选项不符合题意； 两实数根之和等于,所以选项符合题意； 、两实数根之和等于，所以选项不符合题意； 、两实数根之和等于,所以选项不符合题意； 故选：． 7. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 8. 已知抛物线 的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质等知识点，首先求出抛物线的对称轴为直线，然后由抛物线的对称性可得抛物线与轴另一个交点为，进而结合图象可得当则的取值范围，熟练掌握其性质并能正确求出抛物线与轴的另一个交点坐标是解决此题的关键． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为， ∴关于直线对称的点为， 即抛物线与轴另一个交点为， ∴当或时，， 故选：D． 9. 已知，点均在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，求得抛物线对称轴为，再根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】解：在二次函数的图象上，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为 ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点均在二次函数的图象上，且， ∴． 故选：A 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分．) 11. 若关于x的方程(m+2)x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答． 【详解】解：由题意得， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 12. 拋物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线，设它与轴的另一个交点的横坐标为t，列出方程，求解即可． 【详解】解：由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线， 设它与轴的另一个交点的横坐标为t， ∵轴的一个交点坐标是， ∴， 解得：， ∴它与轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根与系数的关系；由题意知，是方程的两个根，由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，两点都在抛物线， ∴是方程的两个根， 由根与系数的关系得：； 故答案为：4． 14. 若m是方程 的一个根，则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式的求值等知识点，先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程的解并能灵活运用是解决此题的关键．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 故答案为：． 15. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，此时顶点坐标为，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，顶点坐标为，于是可推出抛物线上的点的横坐标为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或，按照上述规律进行解答，即可求解． 【详解】解：一段抛物线， 图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为， 将绕点旋转得， 图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为， 将绕点旋转得， 图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为， ∴当n为奇数时，的顶点坐标为， 当n为偶数时，的顶点坐标为， 当时，的顶点坐标为，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标规律探究，抛物线与轴的交点，二次函数的顶点，二次函数与几何变换．找出顶点坐标的变化规律是解答本题的关键． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程: （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）原方程先移项，再运用因式分解法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 18. 如图，直线和抛物线都经过点． （1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）直接回答，当x为何值时，不等式． 【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点 （2）当或时， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式并配方成顶点式即可． （2）利用图像求二次函数图像高于一次函数图像的部分． 【小问1详解】 ∵直线经过点． ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点； 【小问2详解】 由函数图像可知，当或时，抛物线在直线上方， ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查二次函数求解析式及顶点式，图解法求一元二次不等式，能够熟练求二次函数解析式并化成顶点式，以及能够通过图像高低判断不等式解集是解题关键． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 华为手机王者归来，遥遥领先，系列火爆销售中，据调查，2021年华为 系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台． （1）求华为手机系列销售量的平均增长率； （2）如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能否超过2000万台? 【答案】（1）华为手机系列销售量的年平均增长率为； （2）如果保持此增长率，年华为手机系列销售量能超过万台. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算， (1)设华为手机系列销售量的年平均增长率为,利用预计年华为系列全年销售量年华为系列全年销售×(华为手机系列销售量的年平均增长率),可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； (2)利用年华为系列全年销售量年华为系列全年销售华为手机系列销售量的年平均增长率),可求出年华为手机系列销售量，再将其与万台比较后即可得出结论； 熟练掌握一元二次方程的应用以及有理数的混合运算并能找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：设华为手机系列销售量的年平均增长率为, , 解得：(不符合题意，舍去)， 答：华为手机系列销售量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：根据题意得：(万台), , 如果保持此增长率，年华为手机系列销售量能超过万台. 20. 已知抛物线 （1）求它与x轴和y轴的交点坐标 （2）求它的顶点坐标 （3）直接写出当 时，x的取值范围 【答案】（1）抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点为； （2）顶点坐标为, （3）当 时，x的取值范围或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质的应用， (1)令,求出的值即可得出抛物线与轴的交点坐标，令,求出的值即可得出抛物线与轴的交点坐标； (2)先把抛物线的解析式化为顶点式，根据顶点式即可得出结论； (3)根据(1)(2)的结论画出函数图象即可； 熟知二次函数的顶点坐标、对称轴、抛物线与轴的交点坐标等知识是解答此题的关键． 【小问1详解】 解：令,则, 解得, 抛物线与轴的交点， 令,则, 抛物线与轴的交点为； 【小问2详解】 解：, 顶点坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线如图所示， ∵ ，即， ∴由图可知，当或时，， ∴当 时，x的取值范围或． 21. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)， (1)求该函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由． 【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）P（5，8）或P（-1，8）． 【解析】 【分析】（1）分别将A、B的坐标代入二次函数解析式，构成二元一次方程组，解出b、c的值，进而得出二次函数的解析式； （2）设P（a，b），根据△APO的面积等于4可以计算出b的值，然后再利用二次函数解析式计算出a的值即可得到P点坐标． 【详解】解：（1）分别将A、B点的坐标代入函数解析式， 得出二元一次方程组，解得 所以，该二次函数的解析式为y=x2-4x+3； （2）设P（a，b）， ∵△APO的面积等于4， ∴OA•|b|=4， ∵OA=1， 解得：b=±8， 当b=8时，a2-4a+3=8， 解得：a=5或-1， ∴P（5，8）或（-1，8）； 当b=-8时，a2-4a+3=-8， ∵△=16-4×1×11＜0， ∴不存在这样的P点； 故P（5，8）或（-1，8）． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 五、解答题(三): 本大题共2小题, 22小题13分, 23小题14分, 共27分 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点． （1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点 ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 【答案】（1）存在和谐点，和谐点的坐标为， （2）①；②当时，函数的最小值为1，最大值为3 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键． （1）设函数的和谐点为，代入求解即可； （2）①将点代入，再由有且只有一个根，，两个方程联立即可求、的值； ②由①可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意． 【小问1详解】 解：存在和谐点，和谐点的坐标为，； 设函数的和谐点为，可得， 解得或， 和谐点为，； 【小问2详解】 ①点是二次函数的和谐点， ， ， 二次函数的图象上有且只有一个和谐点， 有且只有一个根， ， ，， 该二次函数的表达式为：； ②由①可知，， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， 当时，解得， ∵若时，函数的最小值为1，最大值为3， ∴当时，函数的最小值为1，最大值为3． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数经过点，，点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）当点位于直线上方且面积最大时，求线段的长； （3）是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）2； （3）存在，或或． 【解析】 【分析】（1）通过直线解析式求得点坐标，再将代入抛物线解析式，求解即可； （2）设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质可得：，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得． 直线的解析式为， 令，则， 把点，代入抛物线的解析式， 得解得 抛物线的解析式为； 令， 解得，． ； 【小问2详解】 设，则， ． ， ． ， 当时，的面积最大， 此时，． ； 【小问3详解】 存在．设， 则，． ， ． 轴，轴， ． 当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时， ， 即， 即， 当时， 解得， 此时点的坐标为； 当时，解得， 此时点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试 初三数学试卷 (时间: 120分钟, 满分: 120分) 一． 选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 下列方程中，两个实数根之和等于2的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线 的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知，点均在二次函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，满分15分．) 11. 若关于x的方程(m+2)x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝________． 12. 拋物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是_____． 13. 已知，两点都在抛物线上，那么______． 14. 若m是方程 的一个根，则 的值为______． 15. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，则的顶点坐标为______． 三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 解方程: （1） （2） 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 18. 如图，直线和抛物线都经过点． （1）求抛物线的解析式和顶点P的坐标； （2）直接回答，当x为何值时，不等式． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 华为手机王者归来，遥遥领先，系列火爆销售中，据调查，2021年华为 系列全年销售600万台，2023年预计销售1350万台． （1）求华为手机系列销售量的平均增长率； （2）如果保持此增长率，2024年华为手机系列销售量能否超过2000万台? 20. 已知抛物线 （1）求它与x轴和y轴的交点坐标 （2）求它的顶点坐标 （3）直接写出当 时，x的取值范围 21. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)， (1)求该函数的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由． 五、解答题(三): 本大题共2小题, 22小题13分, 23小题14分, 共27分 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点…都是和谐点． （1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点 ①求这个二次函数的解析式； ②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数经过点，，点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）当点位于直线上方且面积最大时，求线段的长； （3）是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $