精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年八年级上学期数学期末教学质量监测

八年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．不允许使用计算器进行计算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. ± D. ±2 【答案】D 【解析】 【详解】根据平方根的定义可得4的平方根是±2． 故答案选D． 2. 在实数，，，，3.14159，，0.232332332……（每相邻两个2之间依次多一个3）中，无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】无理数指的是无限不循环小数，根据定义解题即可． 【详解】解：题中无限不循环的小数有：，，0.232332332……（每相邻两个2之间依次多一个3）；其中，，都是有理数． 故选B． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，涉及到算术平方根的计算及立方根的计算． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及整式的加减、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键．利用整式的相关运算法则计算即可． 【详解】解：A中、与不是同类项，故不能合并，故，故选项A不符合题意； B中、，故选项B符合题意； C中、，故选项C不符合题意； D中、，故选项D不符合题意； 故选：B． 4. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算的逆运算，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则的逆运算即可求解． 【详解】解：， 故选：D ． 5. 如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰三角形，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据网格的特点，勾股定理，等腰三角形的定义和性质作图即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； ∵，，， ∴是等腰三角形， ∴点为所求点； 综上所述，点有4个， 故选：D ． 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 22 C. 19 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 故选：B． 7. 在中，，，，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理的运用，掌握勾股定理，角平分线的性质定理的知识是解题的关键． 根据勾股定理可得，过点作，可得，由面积的计算公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 如图所示，过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 8. 如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点表示的数为． 故选：B． 9. 下列命题的逆命题成立的有（ ） ①等边三角形的三个内角相等 ②等腰三角形的两个底角相等 ③若a是有理数，b是无理数，则是无理数 ④若，则 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题，先分别确定各选项的逆命题，再判断即可． 【详解】因为①的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”是正确的，所以①符合题意； 因为②的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”是正确的，所以②符合题意； 因为③的逆命题是“若是无理数，则a是有理数，b是无理数”不一定正确，所以③不符合题意； 因为④的逆命题是若，则”不一定正确，所以④不符合题意． 所以正确的有2个． 故选：C． 10. 如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线性质，三角形内角和定理等知识，由等腰三角形的性质得出，再根据折叠的性质可得，，由，得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11. 如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，三角形内角和定理可得，可判定A选项；由此可得，可证，得到，，可判定B选项；根据题意可得，得到，无法判定，可判定C选项；根据，得到，得到，结合可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 12. 有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，定义新运算，理解新运算的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据材料提示，分别算出第1项，，第2项，，第3项，，由此找出规律，可判定①②；根据计算可得第2023项为，可得，，可判定③；第（为正整数）项为，根据整式的混合运算可得，即，把代入可判定④；由此即可求解． 【详解】解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故①正确； ∴，故②正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 因式分解： _______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 14. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 15. 若是一个完全平方式，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 解得 故答案为： 16. 如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键． 根据题意，是4个全等的三角形，设每个的面积为，由此可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 17. 如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当与全等时，则的长为______． 【答案】或  【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据题意，分类讨论，结合全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 当时，，； 当时，，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或 ． 18. 在中，，，，平分，，连结交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，根据角平分线的性质定理可得是线段的垂直平分线，如图所示，过点作于点，运用等面积法可得，可得的面积，再证明，则有，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴，则， ∴是线段的垂直平分线， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴，则， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算， 先求算术平方根，绝对值和立方根以及乘方运算，再算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2） 证明：， . 又，， . 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号里多项式乘以多项式、完全平方差公式，再由去括号法则去括号，然后合并同类项化简括号内的运算，再由多项式除以单项式得到化简结果，再将代入化简后的结果由有理数乘法及加法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，涉及多项式乘以多项式、完全平方差公式、去括号法则、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘法运算及有理数加法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本这次调查的总人数． （2）请补全条形统计图． （3）求A组人数占本次调查人数的百分比． （4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度． 【答案】（1）100人 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数， （2）计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据A组的人数和求出的总人数，即可计算A组所占的百分比； （4）再进一步计算B组所占的圆心角度数即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数是：（人） 答：本这次调查的总人数为100人． 【小问2详解】 D组的人数为：（人）． 【小问3详解】 A所占的百分比为：． 答：A组人数占本次调查人数的百分比为． 【小问4详解】 B组所占的圆心角是：． 故答案为：． 23. 如图，在的网格中，点，点，点在格点处，，，，为的一个外角． （1）请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①作的平分线； ②取线段的中点，过画的垂线，与交于点，与交于点． （2）求证：． 【答案】（1） ①如图所示，即为所求交的平分线， ②如图； （2） ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查网格作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据提示作图即可； （2）根据（1）中的作图可证，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： （1）请补充完成探究二，直接在横线处填空； （2）当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? （4） 【答案】（1）， （2），最大值为 （3）时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 25. 综合与实践 问题情境：如图①，，分别是中，上的两点，且，． 猜想证明： （1）当时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图②所示，连接，则与的数量关系是 　　，的度数是 　　． （2）当时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图③所示，连接，请写出与的数量关系与位置关系，并说明理由． （3）当时，将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，如图④所示，试判断，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）， （2），． 理由如下： ，，， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）． 证明如下： 连接，如图所示： ，，， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， 由勾股定理可得， 在等腰中，，， 由勾股定理可得， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据已知条件得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 26. 已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． （1）如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． （2）如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． （3）线段从图2的位置出发，绕着点顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，下列说法始终正确的有______． 平分 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长交延长线于点，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行内错角相等可得，利用可证得，于是可得，，即为中点，利用等式的性质可推出，由三线合一即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，又可证得为等边三角形，于是有，进而可得，于是得解； （3）延长至点，使得，连接，，利用可证得，于是可得，，，利用多边形内角和问题及三角形的内角和定理可推出，进而利用可证得，于是可得，，由等边对等角可得，由三线合一可得，故说法正确；由三线合一可知，平分，而，故说法错误；由各三角形之间的面积关系可得，故说法错误；由各角之间的和差关系可得，故说法正确；综合以上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，延长交延长线于点， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为中点， ，， ， 即：， 为等腰三角形， 又为中点， ； 【小问2详解】 解：如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰三角形，， 又， ， 故说法正确； 由三线合一可知，平分， 而， 故说法错误； ， ， ， ， 故说法错误； ， 故说法正确； 综上，在运动的过程中，上述说法始终正确的有：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同旁内角互补两直线平行，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质（和），等式的性质，三线合一，多边形内角和问题，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）期末教学质量监测 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级、学校填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．不允许使用计算器进行计算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑． 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. ± D. ±2 2. 在实数，，，，3.14159，，0.232332332……（每相邻两个2之间依次多一个3）中，无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ） A. 28 B. 22 C. 19 D. 15 7. 在中，，，，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题成立的有（ ） ①等边三角形的三个内角相等 ②等腰三角形的两个底角相等 ③若a是有理数，b是无理数，则是无理数 ④若，则 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 12. 有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上． 13. 因式分解： _______ 14. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 15. 若是一个完全平方式，则k的值为______． 16. 如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为_____． 17. 如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当与全等时，则的长为______． 18. 在中，，，，平分，，连结交于点，则_______． 三、解答题：本大题共7个小题，共78分． 19. 计算： 20. 如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： （1）； （2）． 21. 先化简再求值：，其中． 22. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在八年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组“”；B组“”；C组“”；D组“”；E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本这次调查的总人数． （2）请补全条形统计图． （3）求A组人数占本次调查人数的百分比． （4）在扇形统计图中，B组所对应的圆心角度数为________度． 23. 如图，在的网格中，点，点，点在格点处，，，，为的一个外角． （1）请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①作的平分线； ②取线段的中点，过画的垂线，与交于点，与交于点． （2）求证：． 24. 阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： （1）请补充完成探究二，直接在横线处填空； （2）当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? （3）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? （4） 25. 综合与实践 问题情境：如图①，，分别是中，上的两点，且，． 猜想证明： （1）当时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图②所示，连接，则与的数量关系是 　　，的度数是 　　． （2）当时，将绕点逆时针旋转一定角度，如图③所示，连接，请写出与的数量关系与位置关系，并说明理由． （3）当时，将绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，如图④所示，试判断，，之间的数量关系，并加以证明． 26. 已知，平面内线段，点C，M，N，满足：，，，连接，D为的中点，连接、． （1）如图1，当点C在线段上时，直接写出与的位置关系． （2）如图2，当点C在线段上方时，若，求的度数． （3）线段从图2的位置出发，绕着点顺时针转到线段下方，且使线段同时落在和的内部，在运动的过程中，下列说法始终正确的有______． 平分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $