江苏省启东中学2024-2025学年高二创新班上学期数学期末复习训练8(离心率)

高二创新班期末复习8(离心率) 【复习要求】 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 【内容梳理】 椭圆的离心率范围： ；双曲线的离心率范围： ；抛物线的离心率： ； 【强化训练】 1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足FA⊥FB，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A．(0,1) B． C． D． 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝，则双曲线C2的离心率的最小值为(　　) A． B． C． D． 4．已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　) A．2 B．1 C． D．2 5．椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 6．双曲线－＝1(a>2，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a，0)，B(0，b)，点(2,0)到直线AB的距离为d1，点(－2,0)到直线AB的距离为d2，且d1＋d2≥c，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 7．设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于A，B两点，F是C的焦点，若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，7) C．(2,7) D．(2，) 8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为(　　) A．(，＋∞) B．[＋1，＋∞) C．(＋1，＋∞) D．(，＋1] 9．(多选题)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率可能是(　　) A． B． C． D． 10．(多选题)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则(　　) A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B．双曲线C的离心率的最大值是 C．若·>0，则双曲线C的离心率的取值范围是 D．若＝，则双曲线C的离心率为 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且OM2＝OP·OQ，若直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围为________． 高二创新班期末复习8(离心率) 【复习要求】 圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁． 【内容梳理】 椭圆的离心率范围： ；双曲线的离心率范围： ；抛物线的离心率： ； 【强化训练】 1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点．若椭圆C上存在两点A，B满足FA⊥FB，且A，B，O三点共线，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A．(0,1) B． C． D． 答案　C 解析　设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，如图所示． 由椭圆的性质得，AF′∥BF，∠FAF′＝，即椭圆上存在点A，满足∠FAF′＝，即以FF′为直径的圆与椭圆有公共点． 设椭圆C的半焦距为c(c>0)，所以只需c≥b，即c2≥a2－c2，即e2≥， 又0<e<1，所以≤e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 2．(2023·宁波模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M，使得△MF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　△MF1F2的面积为F1F2·|yM|，因为△MF1F2的内切圆半径为， 所以△MF1F2的面积可表示为(2a＋2c)·，所以·2c·|yM|＝(2a＋2c)·，解得|yM|＝， 因为|yM|≤b，所以≤b，两边平方得2≤b2， 又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0， 因为e＝，不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1<e≤， 又椭圆C的离心率e∈(0,1)，所以椭圆C的离心率的取值范围为． 3．(2023·武汉模拟)已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝，则双曲线C2的离心率的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如图所示，△POA≌△POB，OB＝OA＝b，∠APB＝，∴∠OPB＝， 又OB⊥BP，∴OP＝2b，又OP≥a，故2b≥a， 即4(c2－a2)≥a2，即4c2≥5a2，∴e≥． 4．(2023·德阳模拟)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　) A．2 B．1 C． D．2 答案　C 解析　不妨设PF1＝m，PF2＝n(m>n)． 椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，两曲线的半焦距均为c， 由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 又在△PF1F2中，由余弦定理得m2＋n2－2mncos 60°＝4c2⇒(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，则a＋3a＝4c2，得＋＝4，由基本不等式得4＝＋≥2⇒e1e2≥，当且仅当e1＝，e2＝时，等号成立，所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为． 5．(2023·长春模拟)椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意得A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F2(c，0)， 则＝(a，b)，＝(－c，b)． 因为∠B1PA2为向量与的夹角，且∠B1PA2为钝角， 所以·<0，所以b2－ac<0．又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，两边同时除以a2得1－e－e2<0，解得e<或e>，因为e∈(0,1)，所以<e<1． 6．(2023·合肥模拟)双曲线－＝1(a>2，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a，0)，B(0，b)，点(2,0)到直线AB的距离为d1，点(－2,0)到直线AB的距离为d2，且d1＋d2≥c，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　依题意得直线AB：＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，又a>2， 所以d1＝＝，d2＝＝， 所以d1＋d2＝＋＝≥c，所以5·a≥2c2，即25(c2－a2)·a2≥4c4， 即4e4－25e2＋25≤0，解得≤e2≤5，又e>1，所以e∈． 7．(2023·温州模拟)设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于A，B两点，F是C的焦点，若△ABF的面积大于，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(，7) C．(2,7) D．(2，) 答案　D 解析　不妨设F是双曲线C的左焦点，如图，由题可知，直线AB的方程为y＝x， 由得x＝±，且b2>3a2， 所以yA＝－，yB＝， 因为S△ABF＝·OF·|yB－yA|＝·c·＝， 且S△ABF>＝ac，所以>ac，所以>， 解得0<e<，又因为b2>3a2，解得e>2，所以2<e<． 思维升华　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系． 8．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为(　　) A．(，＋∞) B．[＋1，＋∞) C．(＋1，＋∞) D．(，＋1] 答案　C 解析　如图所示，根据题意可得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(a，0)， 设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝(x＋c)， 所以直线PF1与y轴的交点Q， 由AQ∥PF2可得kAQ＝，即＝，整理得(a＋c)x1＝c2－ac，即x1＝， 又因为P为双曲线右支上一点，所以x1≥a，当x1＝a时，AQ，PF2共线， 与题意不符，即x1>a，可得x1＝>a， 整理得c2－a2－2ac>0，即e2－2e－1>0，解得e>＋1或e<1－(舍去)， 即双曲线E的离心率的取值范围为(＋1，＋∞)． 9．(多选题)(2023·西安模拟)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆的离心率可能是(　　) A． B． C． D． 答案　AD 解析　由题意，A关于原点的对称点为B，点F为椭圆右焦点，设左焦点为F1，如图所示，∵AF⊥BF，∴四边形AF1BF为矩形，∴AB＝F1F＝2c．∵∠ABF＝α，∴AF＝2csin α，BF＝AF1＝2ccos α，由椭圆的定义得2a＝2csin α＋2ccos α，∴e＝＝＝． ∵α∈，∴α＋∈，∴sin∈，∴e∈． 10．(多选题)已知O为坐标原点，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则(　　) A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点 B．双曲线C的离心率的最大值是 C．若·>0，则双曲线C的离心率的取值范围是 D．若＝，则双曲线C的离心率为 答案　ACD 解析　对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点(如图)，故选项A正确； 对于B，过点F作FD⊥l，垂足为D，易知FD＝b，因为圆F与直线l相交，所以b<a，又c2＝a2＋b2，所以c2<2a2，即e2<2，又e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围是(1，)，故选项B错误； 对于C，若·>0，则0<∠AFB<，故0<∠AFD<，故<cos∠AFD<1， 所以<<1，即<<1，即b<a<b，得<e2<2，所以e∈，故选项C正确； 对于D，因为＝，所以A为线段OB的中点，设AD＝m，则OA＝2m，OD＝3m， 在Rt△AFD和Rt△OFD中，由勾股定理得， 消去m2得c2＝9a2－8b2，即17a2＝9c2，所以e＝，故选项D正确． 11．(2023·襄阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为__________． 答案　 解析　由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0,1)，可得AF＝＝5．因为△APF的周长不小于18，所以PA＋PF的最小值不小于13． 设F2为双曲线的左焦点，可得PF＝PF2＋2a，故PA＋PF＝PA＋PF2＋2a， 当A，P，F2三点共线时，PA＋PF2＋2a取最小值，最小值为AF2＋2a，即5＋2a， 所以5＋2a≥13，即a≥4．因为c＝2，所以e＝＝≤．又e>1，所以e∈． 思维升华　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 12．(2023·南充模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且OM2＝OP·OQ，若直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围为________． 答案　 解析　设直线OP的方程为y＝x， 由解得即点M，设点Q(λa，λb)， 其中λ∈，由OM2＝OP·OQ得＝·λ，解得λ＝，故Q， 则直线BQ的方程为bx＋ay－ab＝0，由直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交， 得<，故a4－b4－a2b2>0，即b4<a2(a2－b2)，因为a2－b2＝c2， 所以(a2－c2)2<a2c2，即a2－c2<ac，即1－e2<e，又因为0<e<1，所以<e<1． ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 $$