江苏省启东中学2024-2025学年高二创新班上学期数学期末复习训练6(双曲线)

高二创新班期末复习6(双曲线) 【复习要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)； 3．了解双曲线的简单应用． 【内容梳理】 1．双曲线的定义： 2．双曲线的标准方程和简单几何性质： 【强化训练】 1．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±x D．y＝±x 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2＝2，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．3x2－＝1 3．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 4．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．－＝1(x>2) B．－＝1(x>3) C．＋＝1(0<x<2) D．＋＝1(0<x<3) 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2＝2OD，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．3 6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，连接F2B，满足＝，·＝0，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 7．(多选题)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是(　　) A．一个点 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 8．(多选题)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是(　　) A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0 B．若曲线C表示双曲线，则<α<π C．若0<α<，则曲线C表示椭圆 D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 9．(多选题) (2023·重庆模拟)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 10．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝9，则PF2＝________． 11．(2023·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率e为_____________． 12．椭圆＋＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为_____________． 13．(2023·内江模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足＝(＋)，||＝，则双曲线的方程为________． 14．已知双曲线－＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则MA＋MF2的最小值为________． 15．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________________． 16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，b)，直线F1B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若F2A＝F1F2，则双曲线的离心率为________． 17．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴于点M，N．若点P(－3a，0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为__________． 18．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若MF2，MN，NF2成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________． 19．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值． 高二创新班期末复习6(双曲线) 【复习要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程； 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)； 3．了解双曲线的简单应用． 【内容梳理】 1．双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 注意：(1)若将“小于F1F2”改为“等于F1F2”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于F1F2”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质： 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 F1F2＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2， 长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【二级结论】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b． 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点， 则(PF1)min＝a＋c，(PF2)min＝c－a． 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为． 4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)． 【强化训练】 1．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　由题意，该双曲线的离心率e＝＝，则＝2， 所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±2x． 2．(2023·安阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2＝2，P为C上一点，PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，则双曲线C的方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．3x2－＝1 答案　A 解析　由题可知双曲线的焦距为2c＝2，即c＝． 因为PF1的中点为Q，△PF2Q为等边三角形，所以F1Q＝F2Q＝F2P＝PQ， 所以∠PF2Q＝60°，∠F1F2Q＝30°，故PF2⊥F1F2， 所以PF2＝＝，PF1＝2PF2＝，所以PF1－PF2＝－＝＝2a， 所以＝，所以a＝1，b＝．所以双曲线C的方程为x2－＝1． 思维升华 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2． (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 3．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 答案　C 解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得MC1＝1＋r，MC2＝3＋r，MC2－MC1＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 4．(2023·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．－＝1(x>2) B．－＝1(x>3) C．＋＝1(0<x<2) D．＋＝1(0<x<3) 答案　A 解析　如图，设△ABC的边AC，AB，BC与内切圆的切点分别为D，E，F， 则有AD＝AE＝5，BF＝BE＝1，CD＝CF，所以CA－CB＝5－1＝4． 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5， 所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>2)． 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2＝2OD，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．3 答案　C 解析　如图所示，双曲线C的左焦点F1(－c，0)，DF1＝b， 由勾股定理得OD＝a， 在Rt△DOF1中，∠ODF1＝，∴cos∠DOF1＝＝， 在△DOF2中，OD＝a，DF2＝2a，OF2＝c， cos∠DOF2＝cos(π－∠DOF1)＝－cos∠DOF1＝－， 由余弦定理的推论得cos∠DOF2＝＝＝－， 化简得c2＝5a2，即c＝a，因此双曲线C的离心率e＝＝． 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 6．(2023·广州大学附属中学模拟)设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1作直线交双曲线C的两条渐近线于点A，B，连接F2B，满足＝，·＝0，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 答案　C 解析　设点B位于第一象限，如图所示， 因为＝，则A为线段F1B的中点， 又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B，因为·＝0，则F1B⊥F2B， 所以OA⊥BF1，所以OB＝OF1，则∠AOF1＝∠AOB， 又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π， 可得∠BOF2＝，易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan ＝， 因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2． 7．(多选题)(2024·邵阳模拟)已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是(　　) A．一个点 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 答案　ACD 解析　分以下几种情况讨论：设定圆O的半径为R， ①当点A在圆O上，连接OA(图略)，则OA＝OP， 所以点O在线段AP的垂直平分线上，由垂直平分线的性质可知AQ＝PQ． 又因为点Q是线段AP的垂直平分线与OP的公共点，此时点Q与点O重合， 此时，点Q的轨迹为圆心O，故A正确； ②当点A在圆O内，且点A不与圆心O重合，连接AQ(图略)， 由垂直平分线的性质可得QA＝QP，所以QA＋QO＝QO＋QP＝OP＝R>OA， 此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为R的椭圆，故C正确； ③当点A在圆O外，连接AQ(图略)，由垂直平分线的性质可得QA＝QP， 所以|QA－QO|＝|QP－QO|＝OP＝R<OA， 此时，点Q的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为R的双曲线，故D正确． 8．(多选题) (2023·江门模拟)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是(　　) A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0 B．若曲线C表示双曲线，则<α<π C．若0<α<，则曲线C表示椭圆 D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 答案　BD 解析　若曲线C表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π． 若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意， 若cos α＝0，则α＝，此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错； 若曲线C表示双曲线，则sin αcos α<0，由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0， 可得cos α<0，则<α<π，故B对； 若曲线C表示椭圆，则解得0<α<且α≠，故C错； 若0<α<，则0<sin α<cos α，则>>0，曲线C的方程可化为＋＝1， 此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对． 9．(多选题) (2023·重庆模拟)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 答案　BD 解析　如图所示， 若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1， 且AF1＝BF1．设AF2＝m，则由双曲线的定义得 AF1＝BF1＝AF2＋2a＝2＋m，AB＝2m．所以在Rt△ABF1中， 由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2．解得m＝2＋2， 所以AF1＝BF1＝4＋2， 所以△ABF1的面积为AF1·BF1＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确； AF1·BF1＝AB·F1F2，所以F1F2＝2＋2，故C不正确； 由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋， 所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；e＝＝1＋，故B正确． 10．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝9，则PF2＝________． 答案　17 解析　根据双曲线的定义得|PF1－PF2|＝8， 因为PF1＝9，所以PF2＝1或17．又PF2≥c－a＝2，故PF2＝17． 11．(2023·郑州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率e为_____________． 答案　2或 解析　由题意得双曲线的渐近线方程为y＝±x，而两条渐近线的夹角为，故y＝x的倾斜角为或，故＝或，e＝＝或2． 12．椭圆＋＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2,0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为_____________． 答案　＋＝1 解析　依题意，右焦点F2(2,0)，右准线x＝，由椭圆第二定义知＝，∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴椭圆方程为＋＝1． 圆锥曲线的第二定义：平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0<e<1时，轨迹为椭圆． (2)当e>1时，轨迹为双曲线． ①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线． ②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±． 13．(2023·内江模拟)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点F1作直线F1P与圆x2＋y2＝a2切于点E，与双曲线右支交于点P，且满足＝(＋)，||＝，则双曲线的方程为________． 答案　－＝1 解析　依题意作图，如图所示， 由条件＝(＋)知，E是PF1的中点，并且OE⊥PF1， ∴△OPF1是等腰三角形，OP＝OF1＝c， 又OF2＝c，∴△F1PF2的外接圆是以O为圆心，OF1＝c为半径的圆，∴F1P⊥PF2， 由OE＝知a＝，a2＝2，在Rt△OEF1中，EF1＝＝， PF1＝2EF1＝2，PF2＝2OE＝2，根据双曲线的定义有PF1－PF2＝2a， ∴PF1＝4，即2＝4，c2＝10，∴b2＝c2－a2＝8，∴双曲线的方程为－＝1． 14．已知双曲线－＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9,2)，则MA＋MF2的最小值为________． 答案　 解析　设M到直线x＝＝的距离为d，由双曲线第二定义知， ＝e＝，∴d＝MF2，∴MA＋MF2＝MA＋d， 如图，可知(MA＋d)min＝xA－＝9－＝． 思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系，利用三角形的面积公式求解．对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可． 15．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________________． 答案　－＝1或－＝1 解析　依题意，2c＝10，∴c＝5， 若双曲线的焦点在x轴上，则解得b2＝5，a2＝20， 双曲线的标准方程为－＝1． 若双曲线的焦点在y轴上，则解得b2＝20，a2＝5， 双曲线的标准方程为－＝1．综上，该双曲线的标准方程为－＝1或－＝1． 16．(2023·上饶模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，b)，直线F1B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若F2A＝F1F2，则双曲线的离心率为________． 答案　＋1 解析　因为F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，所以直线F1B的方程为y＝x＋b，又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由解得所以A， 又因为F2A＝F1F2，所以2＋2＝4c2，整理得2c2－4ac＋a2＝0， 即2e2－4e＋1＝0，解得e＝＋1或e＝1－(舍去)． 17．(2023·咸阳模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD并延长，分别交y轴于点M，N．若点P(－3a，0)在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为__________． 答案　2 解析　由－＝1得y2＝b2＝，即y＝±， 不妨设A，而D(a，0)， 所以直线AD的方程为y－0＝(x－a)，y＝(x－a)， 令x＝0得y＝，则M，同理可求得N， 所以以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＝2， 将P(－3a，0)代入上式得9a2＝2＝＝＝＝(c＋a)2， 即c2＋2ac－8a2＝0，即(c－2a)(c＋4a)＝0，则c＝2a，即离心率为＝2． 18．(2023·安庆模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，过x轴上方的焦点F1的直线与双曲线上支交于M，N两点，以NF2为直径的圆经过点M，若MF2，MN，NF2成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　如图所示， 由双曲线的定义知MF2＝2a＋MF1，NF2＝2a＋NF1， 所以MF2＋NF2＝4a＋MF1＋NF1＝4a＋MN． 因为MF2，MN，NF2成等差数列，所以MF2＋NF2＝2MN，即4a＋MN＝2MN，MN＝4a． 令MF1＝x，在△MNF2中，MF2⊥MN，所以MF＋MN2＝NF， 即(2a＋x)2＋(4a)2＝(6a－x)2，解得x＝a，即MF1＝a，MF2＝3a， 又在Rt△F1MF2中，a2＋(3a)2＝(2c)2,2c2＝5a2，又c2＝a2＋b2，所以2b2＝3a2，即＝， 故该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x． 19．已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求·的值． 解　(1)在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝＝＝， 又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝，b＝，所以双曲线C的方程是x2－＝1． (2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，故有2x－y＝2， 两条渐近线方程为l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0， 设l1：x－y＝0的倾斜角为α，故tan α＝， 设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，所以cos θ＝cos 2α＝＝－， 于是有cos〈，〉＝－cos θ＝． 因为P到双曲线两条渐近线的距离为PP1＝，PP2＝， 所以·＝··cos〈，〉＝·＝． ·2· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$