4.1多组成对数据的相关性、向量夹角 教案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

课题名称：数学选择性必修第2册 第4章 4.1多组成对数据的相关性、向量夹角 教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习） 教学目标： 1.利用生活中的实际问题，引入多组成对数据的相关性。 2.掌握相关系数与向量夹角之间的关系。 3.能够通过学习相关系数与向量夹角关系公式解决实际问题。 教学重点、难点： 教学重点：掌握相关系数与向量夹角之间的关系。 教学难点：能够通过学习相关系数与向量夹角关系公式解决实际问题。 教学过程 教学环节 教学过程 知识回顾 相关系数公式： 相关系数的性质： 1．rxy的取值范围是[－1，1]．当0<rxy<1时，称{xi}和{yi}正相关（散点图成右上发展趋势）；当－1<rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关（散点图成右下发展趋势）；当rxy=0时，称{xi}和{yi}不相关． 2．|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高， 这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，… ，(xn，yn)分散在一条直线附近． 3．|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低． 4．rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量． rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系． 5．rxy具有对称性，即rxy=ryx． 深入探究 （三）多组成对数据的相关性 在许多实际问题中，往往不止一个因素对变量的变化产生影响，这时我们需要对多组成对数据之间的相关性进行讨论． 一般情况下，我们可以考虑将其分成几个不同的两组数据分别进行相关性分析． 【例2】某研究者搜集了某种花的一些数据(见下表),试分别计算花瓣长与花枝长之间、花瓣长与花萼长之间的相关关系 (结果保留三位小数) 上述结果表明花瓣长与花枝长之间正相关程度高，花瓣长与花萼长之间呈正相关关系． 对于例2我们也可从它们的散点图发现它们确实呈正相关关系． （四）相关系数与向量夹角 在前面的统计案例中，我们通过引入相关系数，对成对数据进行分析，以刻画两个随机变量之间的相关性．若我们把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量（x1，x2，… ，xn），（y1，y2，… ，yn），而这两个向量的紧密程度可以从这两个向量的夹角大小来度量，因而我们可以设想一种度量方法，从夹角的大小来判断两组数据的相关程度． 由向量知识可知，向量夹角的大小可以用余弦来进行刻画，下面我们尝试着用余弦来刻画两个向量的相关关系．为了两个向量表达的一致性，通常将向量的每个元素都减去均值，形成 由上可知，用两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值与相关系数公式本质上是一致的． 由向量知识可知，两向量夹角的取值范围为[0，π]，其余弦值的取值范围为[－1，1]． 当夹角属于[0，)时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的正相关程度越高；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的正相关程度越低． 当夹角属于(，π]时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的负相关程度越低；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的负相关程度越高． 当夹角为时，余弦值为0，这说明两组数据不相关． 下面，我们借助这一思路来判断身高与体重案例中的两个随机变量的相关性，身高与体重案例中的数据如下表所示： 由此可以看出，其余弦值接近1，也就是两向量的夹角接近0，这说明这两组数据正相关程度高． 课堂小结 相关系数与向量夹角： 已知两组成对数据x1，x2，… ，xn和y1，y2，… ，yn构造n维向量 由向量知识可知，两向量夹角的取值范围为[0，π]，其余弦值的取值范围为[－1，1]． 当夹角属于[0， )时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的正相关程度越高；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的正相关程度越低． 当夹角属于(，π]时，余弦值越大表示两个向量的夹角越小，两组数据的负相关程度越低；余弦值越小表示两个向量的夹角越大，两组数据的负相关程度越高． 当夹角为时，余弦值为0，这说明两组数据不相关． 课后作业 教材练习题1，2 学科网（北京）股份有限公司 $$