4.1 成对数据的统计相关性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版2019）

4．1　成对数据的统计相关性 [学习目标]　1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会根据相关系数判断两个变量的相关程度． 知识点一　散点图与相关系数 [问题导引1]　我们知道函数关系是两个变量之间具有确定的对应关系，那么对于关系不确定的两个变量，我们如何发现它们的规律呢？ 提示：　为了研究两个变量之间的关系我们可以借助图象． [问题导引2]　从散点图可以看出两个变量之间是否具有相关关系，能准确的反映变量之间的关系强度吗？ 提示：　不能． 1．散点图 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，这些点称为散点，由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图． 2．相关关系 如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称相关关系． 点拨：　如果一个变量的取值完全依赖另一个变量，各观测点落在一条直线上，则称它们线性相关，但实际上就是函数关系，从散点图可以看出两个变量之间是否具有相关关系，分为线性相关关系和非线性相关关系． 3．相关系数 (1)rxy＝ ＝. 我们称rxy为{xi}和{yi}的相关系数． (2)相关系数的性质： ①rxy 的取值范围是[－1,1]．当0<rxy<1时，称{xi}与{yi}正相关；当－1<rxy<0时，称{xi}与{yi}负相关；当rxy＝0时，称{xi}与{yi}不相关． ②|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近． ③|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低． ④rxy具有对称性，即 rxy＝ryx. ⑤rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量． [点拨]　(1)在样本数据所作的散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域，两个变量为正相关；在样本数据所作的散点图中，若点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量为负相关；(2)当rxy＝0时，只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系；(3)统计经验告诉我们：当rxy>0.8时，y有随着x的增加而增加的趋势，这时我们认为{xi}和{yi}是高度正相关的；当rxy<－0.8时，y有随着x的增加而减少的趋势，这时我们认为{xi}和{yi}是高度负相关的． 学生用书第124页 计算本节案例中身高H与体重W之间的相关系数(结果保留三位小数)． 解析：　由题意可得＝165.5，＝55， sH＝ ＝ ≈4.213， sW＝ ＝ ≈1.947， sHW＝－ ＝(159×52＋160×52＋…＋172×57)－165.5×55＝7.875， 于是相关系数rHW＝＝≈0.960>0.8. 这说明身高H和体重W高度正相关，即高二女生体重随着身高的增高而增加． 相关系数公式的计算．　　 即时练1.根据下表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含 量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含 量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 参考数据： ≈48.07， ≈27.26，iyi＝19 403.2，＝34 181，＝11 051.77. 解析：　先画出散点图，如下图所示观察散点图， 可以看出样本点都集中在一条直线附近， 由此推断脂肪含量和年龄线性相关． ∵r＝ ＝， ∴r≈≈0.97. 由样本相关系数r≈0.97，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强．脂肪含量与年龄变化趋势相同． 知识点二　多组成对数据的相关性、相关系数与向量夹角 [问题导引1]　在实际问题中，往往不止一个因素对变量的变化产生影响，那么我们如何对多组成对数据之间的相关性进行讨论？ 提示：　可以考虑将其分成几个不同的两组数据分别进行相关性分析． [问题导引2]　我们通过引入相关系数，对成对数据进行分析，以刻画两个随机变量之间的相关性．若我们把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量(x1，x2，…，xn)，(y1，y2，…，yn)，而这两个向量的紧密程度可以从这两个向量的夹角大小来度量，那么能否从夹角的大小来判断两组数据的相关程度？ 提示：　可以． 1．多组成对数据的相关性 在许多实际问题中，往往不止一个因素对变量的变化产生影响，那么我们如何对多组成对数据之间的相关性进行讨论？ [点拨]　可以考虑其将分成几个不同的两组数据分别进行相关性分析，所以多组成对数据