上海市建平中学2024-2025学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题

建平中学2024学年第一学期期末教学质量检测 高二数学试卷 姓名: 学号: 班级: 说明: (1) 本场考试时间为120分钟, 总分150分; (2) 请认真答卷，并用规范文字书写. 一、填空题 (本大题共12题, 满分54分, 第1-6题每题4分, 第7-12题每题5分) 1. 不透明的布袋里有3个红球、7个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是 . 2. 若圆柱的底面半径与高均为2，则其侧面积为 . 3. 参数方程 (t为参数) 的普通方程是 . 4. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=45°,C=30°,c=2, 则a等于 . 5. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间(单位：min)，连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，其中，十位数为“茎”，个位数为“叶”，则这组数据的第60百分位数是 . 6. 已知抛物线 若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则P= . 7. 四面体ABCD中, M、N分别为BC、AD的中点, MN=1, 则异面直线AC与BD所成的角是 . 8. 已知某4个数据的平均数为6，方差为5，现加入一个数据6，此时这5个数据的方差为 ； 9.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, E是棱CC₁的中点, D是棱BC上一点, BD=λDC,若A₁B∥平面ADE则λ的值为 . 10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF卷后为圆柱O₁O₂的侧面. 为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设P(x,y)为裁剪曲线上的点, 作PH⊥x轴, 垂足为 H . 图乙中线段OH卷后形成圆弧OH(图甲)，通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式： 则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 . 第1 11. 若事件A、B、C满足P(A∩B)=P(A)P(B), P(A∩C)=P(A)P(C), P(B∩C)=P(B)P(C)同时成立，则称事件A、B、C两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字, 得到样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}, 若事件A={1,3.5}, 事件B={3,4,5,6}, 则可以构造事件C= (填一个满足条件的集合即可), 使得P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)成立, 但不满足事件A、B、C两两独立. 12. 已知正方体. 的棱长为 ，M，N为体对角线BD₁的三等分点，动点P在三角形ACB₁内, 且三角形 PMN 的面积 则点 P的轨迹长度为 . 二、选择题 (本大题共4题, 第13-14题每题4分, 第15-16题每题5分, 满分18分) 13. 已知圆 圆 则两个圆的位置关系为 ( ) A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 14. 已知a,b是两条不同的直线,α为一个平面, a⊂α,则“b∥α”是“a,b无公共点”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 在长方体. 中，点P在矩形ABCD内(包含边线) 运动，在运动过程中，始终有点P到顶点B的距离与点P到对角线B₁D所在直线距离相等，则点P的轨迹是 ( ) A. 椭圆的一部分 B. 圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 线段 16. 在平面直角坐标系xOy中, 动点P(x,y)到两个定点F₁(0,-1), F₂(0,1)的距离之积等于4,则下列命题中正确的个数是 ( ) ①曲线C关于x轴对称； ②x的最大值为2； 的最小值为 ④|OP|的最大值为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题 (本题共有5大题，满分78分) 17. (本题满分14分, 第(1) 题满分7分, 第 (2) 题满分7分) 在集合 中任意选取一个实数作为a，构造函数 记事件A为“所选取的实数a使得函数y=f(x)有两个不等零点”. (1) 观察选取的实数a，写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率； (2) 记事件B为“所选取的实数α使得函数y=f(x)在 上是严格增函数”，求事件A，事件B至少一个发生的概率. 18.(本题满分14分, 第(1) 题满分6分, 第(2) 题满分8分) 已知双曲线( 的焦点与椭圆 的焦点重合，其渐近线方程为 (1) 求双曲线C的标准方程； (2) 过点N(1，1)作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点?若能，求直线PQ的方程； 若不能，请说明理由. 19. (本题满分14分, 第 (1) 题满分7分, 第(2) 题满分7分) 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆O的直径AB长为8，点C是圆O上一点，∠BOC=45°, 点D 是劣弧AC上的一点, 平面PCD∩平面PAB=l, 且l∥ AB. (1) 证明: OC⊥PD. (2) 当三棱锥P-OCD的体积为 时，求点O到平面 PCD 的距离. 20.(本题满分18分, 第(1) 题满分4分, 第(2-i) 题满分6分, 第 (2-ii) 题满分8分) 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加A、B、C游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加A游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加B游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加C游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是 ，乙参加每一个游戏获胜的概率都是 第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1) 甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2) 在(1) 的基础上，解答下列两问： (i)求该运动员能参加C游戏的概率. (ii) 设4次游戏结束后有n种不同的奖金额，记： 元为该运动员最终获得的奖金额，p₁为获得x₁元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为 求该运动员最终获得奖金的期望. 21.(本题满分18分, 第(1) 题满分4分, 第 (2-i) 题满分6分, 第 (2-ii) 题满分8分) 已知椭圆 椭圆C与x轴交于点A₁，A₂，直线l与椭圆交于M，N两点(其中点M在x轴上方，点N在x轴下方)，设直线l的方程为y= kx+b 如图，将平面xOy沿x轴折叠，使点M 移动到点M'的位置，y轴的正半轴经折叠后记为y'， 且二面角 的大小为π/3 (1) 折叠前，若椭圆C的焦点F₁，F₂在x轴上，且与椭圆上一点P构成三角形. 的周长为 直线l的方程为 (i) 求椭圆C的标准方程. (ii) 求折叠后直线M'N 与平面A₁NA₂所成角的大小. (2)折叠后，是否存在定值k，对于任意 OM'⊥ON始终成立. 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$