专题5.2 三角函数的概念（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题5.2 三角函数的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 2 【题型2 由单位圆求三角函数值】 3 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 4 【题型4 诱导公式一的应用】 4 【题型5 同角三角函数的基本关系】 5 【题型6 正、余弦齐次式的计算】 5 【题型7 三角函数式的化简、求值】 6 【题型8 三角恒等式的证明】 7 【题型9 同角三角函数基本关系的综合应用】 8 知识点1 三角函数的定义 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinα cosα tanα (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【变式1-3】（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 由单位圆求三角函数值】 【例2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点． (1)求以射线为终边的角的正弦值和余弦值； (2)求以射线为终边的角的正切值． 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 【例3】（24-25高一上·福建福州·期末）已知，，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式3-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ） A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【变式3-3】（24-25高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【题型4 诱导公式一的应用】 【例4】（24-25高一上·湖北·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·广东东莞·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·河北石家庄·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·广西南宁·期末）（    ） A． B． C． D． 知识点2 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（25-26高一上·北京·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 正、余弦齐次式的计算】 【例6】（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【变式6-1】（24-25高一上·四川内江·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角α满足，则=（    ） A． B． C． D． 【题型7 三角函数式的化简、求值】 【例7】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·黑龙江·期末）已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【变式8-1】（24-25高一·江苏·课后作业）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【变式8-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【题型9 同角三角函数基本关系的综合应用】 【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【变式9-1】（24-25高三上·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式9-3】（24-25高一上·广东·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 三角函数的概念（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 2 【题型2 由单位圆求三角函数值】 4 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 6 【题型4 诱导公式一的应用】 7 【题型5 同角三角函数的基本关系】 9 【题型6 正、余弦齐次式的计算】 10 【题型7 三角函数式的化简、求值】 12 【题型8 三角恒等式的证明】 14 【题型9 同角三角函数基本关系的综合应用】 16 知识点1 三角函数的定义 1．任意角的三角函数 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tanα，即(x≠0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 (2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则，，. 2．三角函数的定义域和函数值的符号 (1)三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinα cosα tanα (2)三角函数值在各象限的符号 由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知 ①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号； ②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号； ③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 因此，正弦函数(sinα)、余弦函数(cosα)、正切函数(tanα)的值在各个象限内的符号如图所示. 3．诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一)： 【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】 【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【解答过程】由题意有， 所以. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可. 【解答过程】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知点在角的终边上，若，则（   ） A． B．为第二象限的角 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误. 【解答过程】由题设，可得，A错； 所以，则为第三象限的角，B错； ，C错； ，D对. 故选：D. 【变式1-3】（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由三角函数的定义分角的终边在第一象限和第二象限讨论即可. 【解答过程】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故选：B. 【题型2 由单位圆求三角函数值】 【例2】（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意有求参数y，再由正弦函数的定义求. 【解答过程】由题意，且，解得， 所以. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由点在单位圆上，且终边在第三象限，求出，再求出. 【解答过程】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一上·湖北孝感·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【解答过程】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知直线与以原点为原心的单位圆交于两点，点在轴的上方，是坐标原点． (1)求以射线为终边的角的正弦值和余弦值； (2)求以射线为终边的角的正切值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； （2）求出点坐标，再根据三角函数的定义求值即可； 【解答过程】（1）由题意可知点坐标为， 所以，. （2）由题意可得点坐标为， 所以. 【题型3 三角函数值在各象限的符号】 【例3】（24-25高一上·福建福州·期末）已知，，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解题思路】分别根据条件确定所在的象限，即可判断选项. 【解答过程】由可知，是第一或第三象限角， 由可知，是第二或第三象限角， 所以是第三象限角. 故选：C. 【变式3-1】（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置. 【解答过程】因为点是第四象限的点， 所以且. 所以角的终边位于第二象限. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）若，则为（    ） A．第一、四象限的角 B．第二、三象限的角 C．第一、三象限的角 D．第二、四象限的角 【答案】A 【解题思路】利用三角函数与象限角的符号关系，就可以作出判断. 【解答过程】由可知，同号， 所以为第一象限的角和第四象限的角， 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【解题思路】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【解答过程】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 【题型4 诱导公式一的应用】 【例4】（24-25高一上·湖北·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由诱导公式求解． 【解答过程】， 故选：C． 【变式4-1】（24-25高一上·广东东莞·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用诱导公式即可求解. 【解答过程】 故选： 【变式4-2】（24-25高一上·河北石家庄·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】使用三角函数的诱导公式求解即可. 【解答过程】 故选：B. 【变式4-3】（24-25高一上·广西南宁·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用诱导公式化简求值即可. 【解答过程】由诱导公式得， ，故A正确. 故选：A. 知识点2 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (2)基本关系式的变形公式 【题型5 同角三角函数的基本关系】 【例5】（25-26高一上·北京·开学考试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同角的三角函数关系求出的平方的值，结合角的范围，判断的正负，即可求得答案. 【解答过程】因为， 所以 ， 而，故， 故， 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【解答过程】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将题给等式两边同时平方得到，结合范围可判断的符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得. 【解答过程】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将已知条件两边平方，求得的值以及判断和的符号，将由，求得的值，再等价变形，代入即可得解. 【解答过程】由 两边平方得 ， 即，而，故. 所以，而 解得， 所以， 故选：A. 【题型6 正、余弦齐次式的计算】 【例6】（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【解答过程】因为， 所以 . 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一上·四川内江·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化成“齐次式”求解. 【解答过程】由 . 所以 . 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值. 【解答过程】 . 故选：D. 【变式6-3】（24-25高一上·广东汕头·期末）已知角α满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据同角三角函数的商数关系“弦化切”，即可求值. 【解答过程】由题意，， 故选：C. 【题型7 三角函数式的化简、求值】 【例7】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解. 【解答过程】 ， 由于，所以，故， 故选：D. 【变式7-1】（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值. 【解答过程】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·黑龙江·期末）已知是第二象限角. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据平方关系化简，再根据角的象限确定开方符号，最后化简得结果； （2）先根据条件解得，再将待求式化成关于的齐次分式，并利用弦化切求结果. 【解答过程】（1）∵为第二象限角，∴ ∴ . （2）由，得， ∴， 所以 . 【变式7-3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）化简求值： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由已知可求，利用诱导公式化简所求即可计算得解. （2）将平方得出，再将平方，根据 的范围， 即可得解. 【解答过程】（1） 所以 （2）， 所以， 又，，则，故 而， 所以. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（25-26高一上·全国·课后作业）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式8-1】（24-25高一·江苏·课后作业）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明. （2）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明. 【解答过程】（1），即证. （2） ，即证. 【变式8-2】（24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：. （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【解题思路】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【解答过程】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【变式8-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用平方差公式及证明. （2）利用提取公因式及证明. （3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明. 【解答过程】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【题型9 同角三角函数基本关系的综合应用】 【例9】（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解． 【解答过程】方法一： 因为角的终边在直线上，所以设直线上一点， 可得． 所以 ． 方法二： 直线过第一象限和第三象限． 若的终边在第一象限，可取终边上一点， 则，， 则． 若的终边在第三象限，可取终边上一点， 则，， 则 故选：B. 【变式9-1】（24-25高三上·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，代入即可求解. 【解答过程】由三角函数的定义可得， 所以 . 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角函数的定义求出，再将弦化切，代入计算可得； （2）首先求出，，再代入计算可得. 【解答过程】（1）因为角的终边经过点， 所以， 所以； （2）因为角的终边经过点，所以，， 所以 . 【变式9-3】（24-25高一上·广东·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得. （2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得. 【解答过程】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 当时，，则， 所以． （2）依题意，， 由，得，代入， 于是，解得， 即，所以点的坐标为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $