精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期高一期末考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知集合且，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知集合分析判断集合间的关系及集合的运算判断各个选项. 【详解】由题意可得：集合M表示能被20整除的正整数， 而集合N表示能被40整除的整数，则不具有包含关系，AB选项错误； 为能被40整除的整数及能被20整除的正整数， 而表示能被20整除的非负整数，C错误； 据此可得，集合N与集合M的公共元素为能被40整除的正整数， 即，D正确. 故选：D. 2. 设，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断C；利用赋值法判断ABD； 【详解】令，所以，故A错； 令，所以，故B错； 若，则，所以，故C对； 令，则，故D错； 故选：C 3. 已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 17 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定对称轴为，进而得到，即可求解. 【详解】由题意可知二次函数对称轴为：，即， 解得：， 所以， 故选：D 4. 已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（ ） A B. C. 1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的概念与性质求解. 【详解】∵是幂函数，∴，解得或， 当时，，图象与x轴有公共点，不合题意； 当时，，图象与x轴没有公共点，符合题意， 综上，. 故选：B. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求的取值范围得函数的定义域. 【详解】由题意：且. 所以函数的定义域为：. 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，，再根据幂函数、指数函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 幂函数在R上单调递增，则，即， 指数函数在R上单调递增，则，即， ∴． 故选：A 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，先求出的取值范围，再根据指数函数的单调性求的值域即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减， ∵，∴， 故函数值域为. 故选：C. 8. 已知则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域代入求值即可. 【详解】根据题意，得， 所以. 故选：. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知x、y都是正数，则（ ） A. B. 若，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D. 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 当时，幂函数是增函数. B. 函数的定义域是，则函数的定义域是. C. 的图象恒过定点. D. 函数是偶函数，则. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A，利用抽象函数定义的求法可判断B，利用指数函数过定点的性质可判断C，利用函数奇偶性的定义可判断D，从而得解. 【详解】对于A，当时，取，则幂函数， 显然在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，因为函数的定义域是， 所以在中，，解得， 则的定义域为，故B正确； 对于C，对于，令，则，， 所以的图象恒过定点，故C正确； 对于D，当是偶函数时，， 则，解得， 当时，，由二次函数的性质可知的图象关于轴对称， 所以是偶函数，即，故D正确. 故选：BCD. 11. 如果角与角的终边重合，角与角的终边重合，那么的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念先表示出，然后可表示出，通过对赋值确定出的可能值. 详解】由条件知，， 将以上两式相减消去，得， 当时，；当时，；当时，， 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则方程不同解的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】分段函数，分段讨论方程解的个数即可. 【详解】当时，方程，即， ，，解得或， 当时，方程，即， ，，解得或， 因为，故此时. 故方程不同解的个数为3. 故答案为：3 13. 设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由充分不必要条件列出关于的不等式组即可得解. 【详解】，若p是q的充分不必要条件， 则当且仅当，解得. 故答案为：. 14. 申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______．（用含的表达式表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，集合， （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由得，再利用集合的补集和并集的定义求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集，分情况讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以， 所以或， 所以或； 小问2详解】 由于是的充分不必要条件，故是的真子集， 若，则，所以， 若，则，且且（等号不同时取得）， 当时，真包含于， 当时，真包含于， 故：， 综上所述，实数的取值范围是或. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式. （2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域. 【小问1详解】 观察图象知，，，即，又，且0在的递增区间内， 则，，由，得， 解得，又且，解得，因此， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，， 而正弦函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，， 所以在上的值域为. 17. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）设函数，若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用可得，经检验可知符合题意； （2）根据（1）中解析式判断出函数的单调性，结合奇函数性质解不等式可得结果； （3）依据题意可得只需满足，结合指数型复合函数单调性求得可得结果. 【小问1详解】 因为定义域是上的奇函数， 所以，即 解得. 经验证时，是奇函数. 【小问2详解】 设，则， 因为在上递增，且在上递减， 所以是上减函数， 又因为在上是奇函数， 则可转化为， 且在是减函数，则， 整理得，解得或， 可得或， 所以不等式的解集为或. 【小问3详解】 由题意可得 因为，即，则，可得， 所以的值域是， 若，使成立，只需， 设，则 可知在[1，2]上单调递增， 可知， 即时，取到最大值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题求解实数的取值范围时关键在于将问题转化为求解的问题，再根据复合函数单调性计算解不等式即可. 18. 已知幂函数在上单调递减. （1）求的解析式； （2）若正数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质求解； （2）根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 幂函数在上单调递减. ，解得， . 【小问2详解】 ，正数满足， ， 都是正数， ， 当且仅当时，即时取等号， 的最小值为24. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上， ． （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式； 【答案】（1），，. （2）为大于1的正整数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由的定义可求得，，. （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. 【小问1详解】 因为， 所以，，. 【小问2详解】 依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数. 则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为为大于的正整数. 【小问3详解】 若或或为内无理数时，， 而，此时， 若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以，， 综上，等式的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县四中2024-2025学年上学期高一期末考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合且，集合，则（ ） A. B. C D. 2. 设，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若则 3. 已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ） A. B. 1 C. 17 D. 25 4. 已知幂函数的图象与x轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 1 D. 或1 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知则等于（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知x、y都正数，则（ ） A. B. 若，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 当时，幂函数是增函数. B. 函数的定义域是，则函数的定义域是. C. 的图象恒过定点. D. 函数是偶函数，则. 11. 如果角与角的终边重合，角与角的终边重合，那么的可能值为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则方程不同解的个数为______． 13. 设p：；q：.若p是q的充分不必要条件，a取值范围是______ 14. 申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为______．（用含的表达式表示） 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，集合， （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的值域． 17. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求函数解析式； （2）解不等式； （3）设函数，若，使得，求实数的取值范围. 18. 已知幂函数在上单调递减. （1）求的解析式； （2）若正数满足，求的最小值. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上， ． （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$