福建省莆田市南门中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试题

2023-2024学年南门学校九年级上学期期中 （满分150；考试时间120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共四十分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（    ） A．  B．  C．   D．   2．如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（  ） A．∠ACB B．∠ABD C．∠APB D．∠BAC 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知是一元二次方程x²-2x+c=0的一个根，则实数c的值是（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 5．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．任意两个等腰直角三角形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个矩形 D．任意两个正方形 6．如图所示的正方形中，点在边上，把△ADE绕点顺时针旋转得到△ABF，．旋转角的度数是（    ） A．110° B．90° C．70° D．20° 7． 如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为(　　) A．8m B．9.6m C．(4+1.6)m D．(8+1.6)m 8．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（    ） A．50° B．100° C．130° D．150° 10．对于二次函数y= +（1-2a）x（a＞0），下列说法错误的是（　　） A．当时，该二次函数图象的对称轴为y轴 B．当a＞时，该二次函数图象的对称轴在y轴的右侧 C．该二次函数的图象的对称轴可为x=1 D．当x＞2时，y的值随x的值增大而增大 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．若 tanA=，则锐角∠A= ° . 12．关于 x 的一元二次方程 x2+2x- 1＝0 有两个不相等的实数根 x1 、x2 ，则x1+x2 = . 13．如图，将绕点旋转得到△ADE，若∠B=90°，，，则 ． 14．如图，、两点在以为直径的圆上，，，则 ． 15．如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与OAB的位似比为的位似图形OCD，则点C的坐标为 ． 16．如图，平行四边形ABCD中，∠ACB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论： ①△PAB为等边三角形；②△PEB∽△APF；③∠PBC - ∠PAC = 30°；④EA = EB + EP 其中一定正确的是 （写出所有正确结论的序号） 三．解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明，证明过程、正确作图或演算步骤） 17．（本小题满分8分）计算：． 18． （本小题满分8分）解方程：． 19．（本小题满分8分）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)用含m的代数式表示n； (2)求的最小值． 20．（本小题满分8分）如图，在中，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到，与相交于点F，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的位置关系，并说明理由； 21．（本小题满分8分）如图，在中，点在边上，点在边上，且，． (1)求证：△AED∽△ADC； (2)若，，求的长． 22．（本小题满分10分）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处． 问题解决： (1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数； (2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离． 23．（本小题满分10分）为响应莆田市“创建全国文明城市”的号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为，求x的值； （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三中绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由. 24．（本小题满分12分）如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点． （1）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP； （2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边连结．求证：过△ABC的费马点P，且． （3）已知锐角ABC，∠ACB＝60°，请利用直尺和圆规在图上做出△ABC的费马点（保留作图痕迹，不写作法） 25．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）． (1)若该抛物线的顶点D坐标为，求其解析式； (2)如图（1），已知抛物线的顶点D在直线上滑动，且与直线l交于另一点E，若y轴交于点F，DE=DF，求抛物线顶点D的坐标； (3)如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线分别与抛物线交于M，N两点，求与满足的数量关系． 2023-2024学年南门学校九年级上学期期中 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．D． 2．A． 3．A． 4．C． 5．C． 6．B． 7．B． 8．D． 9．B． 10．C． 二．填空题（共5小题） 11．30°． 12．-2． 13．2． 14．2． 15．． 16．①③④． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】解： ． = = = 18.【解答】解： ∵， ， 则或， 解得，． 19.【解答】解：（1）解：由题意知 ∴ （2） ∵ ∴当时，的值最小，为 ∴的最小值为 20．【解答】（1）证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：结论：． 由旋转的性质可知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．【解答】（1）证明，如图： ∵，，， ∴， 又∵是公共角， ∴△AED∽△ADC． （2）由（1）得，△AED∽△ADC， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．【解答】 （1）解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，， ∵， ∴； （2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，    在中，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴CD=OD-OC=（）米. 答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为（） 23．【解答】 解：（1）∵， ∴BC=（36-2x）m， ∴， ∵，且 ∴， ∴； （2）由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10. （3） ∵y=-2x²+36x=-2（x-9）²+162， ∴当x=9时，y有最大值162. 设购买了乙绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意得14（400-a-b）+16a+28b=8600， ∴a+7b=1500. ∴，且b为整数. 又∵a≥0，且a为整数，b随a的增大而减小， ∴当a=2时，b的值最大，最大值为214. 此时种植的面积为. ∵161.2＜162， ∴这批植物可以全部栽种到这块空地上. 24．【解答】 解：（1）为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°． ∠APB＝∠BPC＝120°， ∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°， ∴∠PAB＝∠PBC， ∴△ABP∽△BCP． （2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE． ∠BPC=120°， ∴∠EPC=60°， ∴△PCE为正三角形， ∴PC=CE，∠PCE=60°，． ∵为正三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°， ∴P为△ABC的费马点． ∴过△ABC的费马点P，且． （3）如图所示： 25．【解答】 （1）解：∵抛物线顶点坐标为D，二次项系数， ∴， ∴该抛物线的解析式为； （2）设点D、E的坐标分别为， 则，将抛物线与直线l解析式联立得：， 整理得：， ∴， ∴， ∵DE=DF， ∴E点关于抛物线对称点为抛物线与y轴交点， ∴2x1=x2= ∴ ∴b=2 ∴x1=1， 代入抛物线得D（1,4）. （3）如图2，设P， ∵P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点， ∴， ∴， 由（1）知：， 令，则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：（舍去），， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$