第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 单元练习2024－2025学年北师大版数学八年级下册

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（　　） A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3 4．若0＜x＜1，则x,,的大小关系是（ ） A．x＜＜ B．x＜＜ C．＜＜x D．＜＜x 5．若关于x的不等式3－x＞a的解集为x＜4，则关于m的不等式2m＋3a＜1的解集为（　　） A．m＜2 B．m＞1 C．m＞－2 D．m＜－1 6．若不等式组的解集为，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．在数轴上表示不等式x﹣2≤0的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知关于，的二元一次方程组，有下列说法：①当时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数，使得，均为正整数；③，满足关系式；④当且仅当时，解得为的倍．其中正确的是(    ) A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④ 11．一元一次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．不等式的解集是（    ） A． B． C．无解 D．以上都不对 二、填空题 13．不等式组的解集为的解集为 ． 14．不等式组的解集为 ． 15．如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可知，若，则x的取值范围是 ． 16．不等式组的解集为 ． 17．不等式组的解集为 ． 三、解答题 18．若关于x、y的方程组的解满足，求m的取值范围． 19．画出函数的图象，并结合图象回答： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)当时，求的取值范围． 20．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 21．某商场计划购进两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示： 类型价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） 型 30 45 型 50 70 (1)若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？ (2)将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场最多购进多少盏型台灯？ 22．为迎接食品安全检查，南通市计划对崇川区两类饭店全部进行改造．根据预算，共需资金1500万元，改造两个类饭店和三个类饭店共需资金325万元；改造一个类饭店和四个类饭店共需资金350万元． （1）改造一个类饭店和一个类饭店所需资金分别是多少万元？ （2）若需改造的类饭店不超过6个，则类饭店至少有多少个？ （3）今年计划对两类饭店共7个进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过420万元；区财政投入的改造资金不少于68万元，其中区财政投入到两类饭店的改造资金分别为每个8万元和12万元，请你通过计算求出有几种改造方案． 23．求证：当时，一定比小． 24．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 学科网（北京）股份有限公司 《第二章一元一次不等式和一元一次不等式组》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C A D A C A B 题号 11 12 答案 C D 1．C 【分析】由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＜k1x+b解集． 【详解】两条直线的交点坐标为（-1，2），且当x＞-1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＞-1． 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数的图象，解一元一次不等式，解题关键在于掌握两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 2．B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据系数化为1时不等号的方向发生改变列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴． 故选B． 3．D 【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象与x轴的交点坐标为（3，0）， ∴当x＜3时，y＞0， 即不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜3． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 4．C 【详解】试题分析：当0＜x＜1时，则＜＜x．本题可以利用特殊值法来进行比较． 考点：数的大小比较 5．A 【详解】试题解析：解不等式3−x>a， 得x<3−a， 又∵此不等式的解集是x<4， ∴3−a=4， ∴a=−1， ∴关于m的不等式为2m−3<1， 解得m<2. 故选A. 6．D 【分析】根据不等式组的解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，即可得出m的取值范围． 【详解】解：不等式组， 由(1)得∶， 由(2)得∶， 不等式组的解集为， ． 故选∶D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围． 7．A 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤，去分母，移项、合并同类项、系数化为可得不等式解集，再将不等式解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得：， 解集在数轴上表示为：    故选：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，将不等式解集表示在数轴上，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 8．C 【分析】先解不等式，求出解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：不等式x﹣2≤0，得： ， 把不等式的解集在数轴上表示出来为： ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了解不等式，并在数轴上表示解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤，不等式的解集在数轴表示时空心圈不包含该点，实心圈包含该点． 9．A 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由2x＞3x﹣1，解得x＜1， 由x≤1，解得x≤4， ∴不等式组的解集为x＜1， 解集在数轴上表示为： 故选A． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10．B 【分析】利用加减法求出关于、的二元一次方程组的解(用含的代数式表示)，再根据A、B、C、D所述列出算式、方程和不等式组，解集不存在的即为正确答案． 【详解】二元一次方程组得， ， 当时， ，故当时，方程两根互为相反数；故①符合题意； ， ，代入得，， ，满足关系式，故③符合题意； 当时，，， 当且仅当时解得为的倍，故④符合题意； 当，时，则 ， ， 当时，，，(，均为正整数)， 存在自然数使得，均为正整数，故②不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程组的解，同时涉及方程组的解集，解题关键在于掌握运算法则． 11．C 【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 不等式两边同时乘以得，， 移项得，，含有“”符号，用实心点表示，表示在数轴上，如图所示， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握解不等式的性质，解一元一次不等式的方法是解题的关键． 12．D 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可. 【详解】， mx+2m≤x+4, mx-x≤4-2m, ∴(m-1)x≤4-2m, 当m-1>0，即m>1时，， 当m-1=0，不等式无解， 当m-1<0，即m<1时，， 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 13． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，x＜2， 解不等式②得，x≥-2 所以，不等式组的解集为： 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）． 14．x>1 【分析】分别解出两不等式的解集再求其公共解． 【详解】 由①得：x＞1 由②得：x＞ ∴不等式组的解集是x＞1． 【点睛】求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了． 15． 【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：在点左侧图象符合，且点的横坐标为 ∴若不等式，则 故答案为： 【点睛】本题考查的是根据函数图象，求不等式的解集，掌握一元一次不等式与函数图象的关系是解决此题的关键． 16．﹣1≤x＜2 【分析】分别求出两个一元一次不等式的解集，再求两个解集的公共部分即可． 【详解】， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 故答案为：﹣1≤x＜2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，关键是求两个不等式解集的公共部分，可以借助数轴，也可以根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求公共部分． 17．5＜x≤9 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得，x＞5， 由②得，x≤9， 故不等式组的解集为：5＜x≤9． 故答案为5＜x≤9． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 18． 【分析】本题考查了加减消元法求二元一次方程组，求解一元一次不等式，利用加减消元法求出，，代入，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 由，得， 将代入①求得：， ， ， 解得：． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象与轴的交点，即为方程的解； （2）根据函数图象，求得在轴下方时的自变量取值范围即可求解； （3）令，解得，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，，函数的图象如图所示， 方程的解为， （2）根据函数图象可得，不等式的解集为； （3）当时，即， 解得， 根据函数图象可知：当时，． 【点睛】本题考查了画一次函数图象，根据函数图象求方程的解，求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 20．(1)每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 (2)当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．由题意得，解方程组即可． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，．结合一次函数的性质，不等式的解集，整数解，解答即可． 本题考查了方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握方程组的解法，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，． ， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数． ∴当 时，w取得最大值，为（元）． ∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元． 21．(1)购进A型台灯55盏，B型台灯25盏 (2)20盏 【分析】（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，根据购进两种新型台灯共80盏，预计进货款为2900元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进A型台灯a盏，根据总利润不低于1500元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏，根据题意得： ， 解得， 答：购进A型台灯55盏，B型台灯25盏； （2）设购进A型台灯a盏，B型台灯盏， 根据题意得：， 解得， 答：该商场最多购进20盏A型台灯． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组和不等式． 22．（1）类：50万元；类：75万元；（2）16；（3）4种 【分析】（1）设改造一个A类饭店需要x万元，改造一个B类饭店需要y万元，根据“两个类饭店和三个类饭店共需资金325万元；改造一个类饭店和四个类饭店共需资金350万元”列出不等式组，求解即可； （2）设B类饭店至少有m个，根据“类饭店不超过6个”列不等式，求解，得出最小整数解； （3）设A类饭店改造a个，则B类饭店改造7-a个，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】解：（1）设改造一个A类饭店需要x万元，改造一个B类饭店需要y万元，根据题意， ，解得． 所以，改造一个A类饭店需要50万元，改造一个B类饭店需要75万元； （2）设B类饭店至少有m个，则根据题意， ，解得， 所以，B类饭店至少有16； （3）设A类饭店改造a个，则B类饭店改造7-a个，根据题意， 解得， a可取1，2，3，4，则可知共有4种改造方案． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式及一元一次不等式组的应用．弄清题意，找出题目中的等量关系或不等量关系是解决此题的关键． 23．见解析 【分析】对和进行作差与0进行比较，从而得出结论． 【详解】证明：由题意得， ， ， 当时，， ∴当时，一定比小． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意得出式子，在给定的取值范围内，用作差法比较大小是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$