第1章特殊的平行四边形 单元测试2024－2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直平分 2．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　） A．16 B．16 C．32 D．32 3．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=10，BD=24，则菱形的高AE长度为（　　） A． B． C．12 D．13 4．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．4cm2或12cm2 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=3，DB=4，则点A到BC的距离为（　　） A． B． C． D． 6．如图，正方形ABCD，分别取AD和CD边的中点E、F，连接BE、连接AF相交于点G，连接CG，若∠ABE=α，则∠DCG的度数为（　　） ​ A．α B．2α C．90°-α D．90°-2α 7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形，则∠DEB 的度数为（　　） A．37.5° B．42.5° C．45° D．47.5° 8．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB．下列说法中错误的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形 D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M是DC的中点．若菱形ABCD的周长为24，则OM的长为（　　） A．12 B．8 C．6 D．3 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，点M是边AC的中点，连接MP，作∠MPQ=90°，点Q在边BC上，若AC=6，BC=8，则（　　） A．当CQ=4时，点P与点D重合 B．当CQ=4时，∠MPA=30° C．当PD=时，CQ=4 D．当PM=PQ时，CQ=4 11．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点．现给出以下结论．其中错误的是（　　） A．∠GEB与∠GFB一定互补 B．点G到边AB，BC的距离一定相等 C．点G到边AD，DC的距离可能相等 D．点G到边AB的距离的最大值为2 二．填空题（共5小题） 13．如图，菱形ABCD的边长AB=3，对角线BD=4，点E，F在BD上，且BE=DF=，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为______． 14．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF=27°，则∠DAB的度数为______． 15．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为______． 16．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P在边BC上，且CP=1，点E，F分别是AP、AD的中点，则AE+EF=______． 17．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为对角线BD上的一个动点，连接CE，作EF⊥CE交射线AB于点F，以EC，EF为边作矩形CEFG，边FG交CB于点P，连接BG，EG．若EB平分∠FEG，则线段BP的长为 ______． 三．解答题（共6小题） 18．如图，在▱ABCD中，点E、F是BC上两点，BE=CF，连接AE、DF，AE=DF，求证：四边形ABCD是矩形． 19．如图，在菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求∠CHA的度数． 20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且2DE=AC，连接AE交OD于点F，连接DE、OE． （1）求证：AF=EF； （2）已知AB=2，若AB=2DE，求AE的长． 21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，且，连接DE． （1）求证：四边形AODE为矩形； （2）连接BE，若AC=2，，则菱形ABCD的面积为 ______． 22．如图，正方形ABCD，边长为2，BF平分∠CBE． （1）E为AD的中点，求CF的长； （2）若点E为AD上动点，求． 23．已知：将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF． （1）如图1，求证：四边形AECF为菱形； （2）如图2，若∠CFG=60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形． 北师大版九年级上第1章特殊的平行四边形单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、D 2、D 3、A 4、D 5、C 6、D 7、C 8、C 9、D 10、C 11、C 12、C  二．填空题（共5小题） 13、4； 14、102°； 15、1：1； 16、； 17、；  三．解答题（共6小题） 18、证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，∠B+∠C=180°， 在△ABE 和△DCF 中， ， ∴△ABE≌△DCF（SSS）， ∴∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形． 19、解：（1）如图，连接AC， ∵E为BC的中点，AE⊥BC， ∴AB=AC， 又∵菱形的边AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AE=AB=×4=2， ∴菱形ABCD的面积=BC•AE=4×2=8； （2）在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC， ∴∠CAE=∠BAC=×60°=30°， 同理∠CAF=30°， ∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°， ∵AE∥CG， ∴∠CHA=180°-∠EAF=180°-60°=120°． 20、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=AC， ∵2DE=AC， ∴DE=OA， 又∵DE∥AC， ∴四边形OADE是平行四边形， ∴AF=EF； （2）解：连接CE， ∵DE∥OC，DE=OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD， ∴四边形OCED是矩形， ∴∠OCE=90°， 又∵AB=2DE=AC， ∴△ABC为等边三角形， ∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴AC=AB=2，AO=AC=1， ∴在矩形OCED中，CE=OD==， ∴在Rt△ACE中， AE==． 21、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，， ∴∠AOD=90°， ∵， ∴AE=OD， ∵AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形， ∵∠AOD=90°， ∴四边形AODE为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，， ∵四边形AODE为矩形， ∴DE=AO=1，∠BDE=90°， ∴， ∴菱形ABCD的面积为． 22、解：（1）如图，将△ABE绕B点旋转，使AB和BC重合， 设△BCH是△ABE旋转后的三角形， ∴△ABE≌△CBH， ∵E为AD的中点， ∴AE=CH=1，BE=BH，∠ABE=∠CBH， ∵AB=2，AE=1， ∴BE===， ∵BF是∠EBC的角平分线， ∴∠EBF=∠FBC， ∴∠ABE+∠EBF=∠HBC+∠FBC， ∴∠ABF=∠FBH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠ABF=∠BFH， ∴∠HBF=∠BFH， ∴BH=HF， ∵HF=CH+CF=AE+CF，BH=BE=， ∴FC=-1； （2）延长DA至点G使AG=CF，连接BG， 在△ABG和△CBF中， ∵， ∴△ABG≌△CBF， ∴∠BFC=∠BGA，∠CBF=∠ABG， ∵BF平分∠CBE交CD于F， ∴∠CBF=∠EBF， ∴∠ABG=∠EBF， ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠BFC， ∴∠EBG=∠BFC， ∴∠EBG=∠BGA， ∴BE=GE， ∴BE=AE+CF， ∴=1． 23、解：（1）证明：由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AE∥CF， ∴∠AEF=∠EFC， ∵∠AEF=∠FEC， ∴∠FEC=∠EFC， ∴CE=CF， ∵AE=CE， ∴AE=CF， ∵AF=FC， ∴AE=CE=CF=AF， ∴四边形AECF为菱形． （2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COG；理由如下： ∵∠CFG=60°， ∴∠DFA=60°，∠CFA=120°， ∵四边形AECF是菱形， ∴AO⊥EF，AO=OC，AF=FC=CE=AE，∠AFE=∠CFE=60°， ∴△AEF和△CEF是等边三角形， ∴∠DAF=∠DAB-∠FAE=30°，∠FAO=30°， ∴∠DAO=60°， ∵∠ADC=90°， ∴OD=AC=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∵CG=AD=OC，OG=AC， ∴CG=OC=OG， ∴△COG是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$