精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

哈三十二中学2024～2025学年度高一上学期期末考试 数学试题 一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知，则 A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共12分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下列各式中计算结果等于1的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（    ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 最大值为2 D. 将的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短原来的2倍得到函数图象 三、填空题（每空5分，共20分） 11. 已知幂函数过点，则等于____________ 12. 已知角的终边经过点，则_______. 13. 已知函数，则_________ 14. 已知，，则_________ 三．解答题：（共48分） 15. 若，为第二象限角； （1）求和的值. （2）求的值 16. 求下列函数的定义域 （1） （2） 17. 已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明． 18. 已知函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）求时，函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三十二中学2024～2025学年度高一上学期期末考试 数学试题 一、选择题（每小题只有1个选项符合题意，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接进行交集运算即可求解. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断. 【详解】当时，若，则，即“”不是“”充分条件； 当时，，即“”是“”必要条件， 综上所述，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数和对数函数的单调性逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：在上单调递增，，所以，故选项A正确； 对于B：在上单调递增，，所以，故选项B不正确； 对于C：因为即，故选项C不正确； 对于D：因为在上单调递减，，所以，故选项D不正确； 故选：A. 4. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求出最值. 【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立， 故的最小值是20． 故选：B 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本函数的奇偶性和单调性进行判断即可求解. 【详解】对于A：是偶函数，故选项A错误； 对于B：是非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C：是奇函数，且在定义域上为增函数， 故选项C错误； 对于D：是奇函数，且在定义域上为减函数， 故选项D正确. 故选：D. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理的应用即可求解. 【详解】由题意知，， ， 所以，而函数为上的增函数， 由零点的存在性定理知函数的零点在区间. 故选：C 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选:D 8. 已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正弦二倍角公式，化简可得，结合降幂公式及诱导公式，代入即可求得的值. 【详解】由及正弦二倍角公式可知 由余弦降幂公式及诱导公式化简可得 故选：B. 【点睛】本题考查了正弦二倍角公式的简单应用，余弦降幂公式及诱导公式化简求三角函数的值，属于基础题. 二、多选题（每题6分，共12分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下列各式中计算结果等于1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由同角三角函数关系得到答案；B选项，利用特殊角的三角函数值直接计算；CD选项，利用对数运算公式和换底公式计算即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：ACD 10. 已知，则（    ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 最大值为2 D. 将的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短原来的2倍得到函数图象 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用余弦的二倍角公式化简，再根据余弦函数的图象和性质、伸缩变换的概念逐一判断即可. 【详解】由题意， 选项A：是偶函数，说法正确； 选项B：的最小正周期，说法正确； 选项C：的最大值为1，说法错误； 选项D：将的图象经过纵坐标不变，横坐标缩短原来的得到函数图象，说法错误； 故选：AB 三、填空题（每空5分，共20分） 11. 已知幂函数过点，则等于____________ 【答案】 【解析】 【分析】设，根据函数过点代入求出参数的值，即可求出函数的解析式，最后代入计算可得. 【详解】设，则，解得，所以， 则. 故答案为： 12. 已知角的终边经过点，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】由终边上的点和三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点， 所以由三角函数的定义可得， 故答案为：. 13. 已知函数，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以， . 故答案为：. 14. 已知，，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得出，利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】由诱导公式可得，且， 所以，， 因此，. 故答案为：. 三．解答题：（共48分） 15. 若，为第二象限角； （1）求和的值. （2）求的值 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可； （2）利用商数关系求解即可. 【小问1详解】 因为，为第二象限角， 所以，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 16. 求下列函数的定义域 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式和根式定义域求解即可； （2）根据分式和对数函数的定义域求解即可. 【小问1详解】 ，则，解得且， 所以的定义域为. 【小问2详解】 ，则，解得且， 所以的定义域为. 17. 已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明． 【答案】（1）2 （2）奇函数，证明如下： ∵函数的定义域为， 又， ∴函数是奇函数． 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入解析式求解； （2）由奇函数的定义证明． 【小问1详解】 解：∵函数的图像过点， ∴，∴； 【小问2详解】 略 18. 已知函数，. （1）求函数的单调递增区间； （2）求时，函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令即可得出答案； （2）由得，由此即可求出答案． 【详解】解：； （1）令，得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由得， ∴， 从而函数的值域为． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $