专题03 等比数列所有考点（4大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题03 等比数列所有考点 等比中项的应用 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(    ) A． B．0 C．3 D．0或3 2．（22-23高二上·山西·期末）若，是函数的两个不同的零点，，，这三个数适当排序后可成等比数列，点在直线上，则的值等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（22-23高二上·山西太原·期末）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·山西忻州·期末）已知数列的通项公式为，则数列成等比数列是数列的通项公式为的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 等比数列下标和性质及和应用 1．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 2．（22-23高二上·山西太原·期末）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．14 C． D． 3．（22-23高二上·山西太原·期末）设是等比数列，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（    ）． A． B． C．14 D．16 5．（22-23高二上·山西大同·期末）已知正项等比数列中，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 利用等比数列的通项公式求数列中的项 1．（23-24高二上·山西太原·期末）数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列中，（m是正整数），若，则m所有可能的取值集合是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·山西运城·期末）记为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D．或 3．（22-23高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·山西太原·期末）等比数列中，，则的通项公式为（ ） A． B． C．或 D．或 等比数列片段和性质及应用 1．（23-24高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．8 B．26 C．80 D．54 2．（23-24高二上·山西临汾·期末）已知是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．或 4．（22-23高二上·山西晋中·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．（23-24高二上·山西大同·期末）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．76 D．80 6．（23-24高二上·山西晋中·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．5 D． 等比数列的奇偶性的性质及应用 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 4．（23-24高二上·山西·期末）已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 由递推关系证明等比数列 1．（23-24高二上·山西运城·期末）已知正项等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：数列{c，}的前n项和． 2．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*． (1)设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列； (2)若数列{an}满足（n∈N*），求实数m的取值范围． 3．（23-24高二上·山西大同·期末）在数列中，，. (1)证明是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，令 （1）求证数列为等比数列，并求通项公式； （2）求数列的前n项和. 5 ．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求． 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知数列满足，． （1）设，求证:数列是等比数列; （2）求数列的前项和． 求等比数列前n项的和 1．（23-24高二上·山西大同·期末）设是公比为正数的等比数列，其前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)设是首项为2，公差为3的等差数列，求数列的前项和. 2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知等比数列的公比，且，，是公差为的等差数列的前3项. (1)求的最小值； (2)在取最小值的条件下，设，数列的前项和为，证明：. 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等比数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列中，满足，求数列的前项和． 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知正项数列满足，数列的前项和为，且，. (1)求，的通项公式； (2)证明：. 8．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（23-24高二上·山西长治·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（23-24高二上·山西长治·期末）有理数都能表示成（，，且，与互质）的形式，于是有理数集可表示为.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数.反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而它是有理数.对于无限循环小数，它可以表示成，这是数列的无穷项和，记为.设该数列的前项和为，经计算得，当趋于无穷大时，趋于0，则，即可得. (1)数列的无穷项和是有限小数吗？请说明理由； (2)是有理数吗？请说明理由. 数列综合求通项及求和 1．（23-24高二上·山西·期末）已知数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（23-24高三上·山西忻州·期末）设数列的首项，前n项和为Sn，且满足． (1)求a2及an； (2)求满足的所有n的值． 3．（22-23高二上·山西大同·期末）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设 ，求数列的前项和． 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 5．（22-23高二上·山西太原·期末）已知各项为正的等比数列满足，设的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．（22-23高二上·山西临汾·期末）数列的前项和为，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 7．（22-23高二上·山西晋城·期末）已知数列的前n项和为Sn，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 8．（22-23高二上·山西晋中·期末）在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的前项和． 9．（22-23高二上·山西太原·期末）已知数列的首项，前项和为，且满足，数列满足，对任意的，，都有. (1)求数列，的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 等比数列所有考点 等比中项的应用 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(    ) A． B．0 C．3 D．0或3 【答案】D 【分析】根据等比中项和等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，∵，构成等比数列， ∴，解得d＝0或3. 故选：D. 2．（22-23高二上·山西·期末）若，是函数的两个不同的零点，，，这三个数适当排序后可成等比数列，点在直线上，则的值等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由零点定义得得，因此只能是等比数列的中间项，从而得，由点在直线上，得，这样可得值．从而得出结论． 【详解】∵，是函数的两个不同的零点，∴，∴， 而，，这三个数适当排序后可成等比数列，只能是是的等比中项，即， 点在直线上，则，得， 由，∴，． 故选：D． 3．（22-23高二上·山西太原·期末）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项的性质求得的值，进而利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】由等比中项的性质可得，解得，因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等比中项求值，考查计算能力，属于基础题. 4．（22-23高三上·山西忻州·期末）已知数列的通项公式为，则数列成等比数列是数列的通项公式为的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由为等比数列不一定得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，数列为等比数列， 所以“为等比数列”推不出“”； 由，，得， 则数列为等比数列，所以“”推出“为等比数列”， 所以“为等比数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 等比数列下标和性质及和应用 1．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 2．（22-23高二上·山西太原·期末）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．14 C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求出，再利用等差数列性质及前n项和求解作答. 【详解】等比数列中，，而，解得，即， 等差数列中，. 故选：B 3．（22-23高二上·山西太原·期末）设是等比数列，且，则（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】由等比数列的性质求得，再代入中即可求得的值. 【详解】, . 故选：C. 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则等于（    ）． A． B． C．14 D．16 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求得正确答案. 【详解】是函数的两个不同零点， 所以， 由于数列是等比数列， 所以. 故选：C 5．（22-23高二上·山西大同·期末）已知正项等比数列中，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用等比数列的下标性质可得，结合对数性质得到结果. 【详解】利用等比数列的下标性质可知，， 又等比数列各项为正， ∴， ∴. 故选：C 利用等比数列的通项公式求数列中的项 1．（23-24高二上·山西太原·期末）数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列中，（m是正整数），若，则m所有可能的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析前6项均为偶数的情况求，排除B、C，再从A中选判断是否成立，即可确定正确答案. 【详解】由题设，若前6项均为偶数，则是公比为，首项为的等比数列，故，即为一个可能值，排除B、C； A：当，则，，，，，，即不可能为3，排除； 故选：D. 2．（22-23高二上·山西运城·期末）记为等比数列的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式列式求解即可. 【详解】设比数列的公比为， 由题意可得：，解得或. 故选：D. 3．（22-23高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推公式得到是以为首项，以为公比的等比数列，则，然后利用累加法即可求解. 【详解】由可得：， 若，则，与题中条件矛盾，故， 所以，也即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以， 则有， 也即，所以， 故选：. 4．（23-24高三上·山西太原·期末）等比数列中，，则的通项公式为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由已知，结合等比数列的通项公式可得求公比，进而写出的通项公式. 【详解】令公比为，由题设有， 所以，解得或，经检验符合题设. 所以，可得或. 故选：C 等比数列片段和性质及应用 1．（23-24高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．8 B．26 C．80 D．54 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的片段和的性质，即可求得答案. 【详解】在等比数列中，，，，也成等比数列， 因为，，所以，所以，， 所以， 故选：C. 2．（23-24高二上·山西临汾·期末）已知是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由题可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和， ∴，，成等比数列， ∴，， ∴， ∴. 故选：B. 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．或 【答案】A 【分析】设出公比，根据，计算出答案. 【详解】设等比数列公比为，由题意得，故，解得. 故选：A. 4．（22-23高二上·山西晋中·期末）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 5．（23-24高二上·山西大同·期末）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（    ） A．64 B．72 C．76 D．80 【答案】D 【分析】设是该等比数列的前项和，依题意可知成等比数列，由等比数列的性质求解即可. 【详解】设是该等比数列的前项和，依题意可知 则成等比数列，即成等比数列， 则解得 故选：D. 6．（23-24高二上·山西晋中·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用成等比数列求解可得答案. 【详解】，，可得， 可得，，， 则. 故选；A. 等比数列的奇偶性的性质及应用 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数  在上单调递增，即可得出结论． 【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 2．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 3．（23-24高二上·山西运城·期末）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 4．（23-24高二上·山西·期末）已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即， 因为，所以， 则， 即，解得， 故选：B. 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系. 【详解】设，则， 又因为，所以， 所以. 故选: D 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得， 又前3项之积，解得，∴. 故选:B. 由递推关系证明等比数列 1．（23-24高二上·山西运城·期末）已知正项等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和为，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：数列{c，}的前n项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】(1)设公差d，结合等差数列中项的表示和等比数列的性质，解得d，即得的通项公式；利用判断是等比数列，即得其通项公式； (2)代入计算，结合公式法和裂项相消法，进行分组求和，再判断值的情况即可. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为， ∵，且，，成等比数列，∴， ∴或（舍去） ∴； ∵ ∴当时， ∴， 当时，，∴ ∴是一个以为首项，以为公比的等比数列 ∴； （2） ∴ 又∵，∴. 2．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N*． (1)设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列； (2)若数列{an}满足（n∈N*），求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）构造证明即可； （2）根据是等比数列，利用累加法与等比数列的求和公式可得，再根据的最大值分析即可 【详解】（1）因为，所以． 即，又因为，所以，则， 所以，数列是等比数列 （2）由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则． 所以， 则． 经检验时也符合，则． 又因为，所以． 3．（23-24高二上·山西大同·期末）在数列中，，. (1)证明是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据递推关系结合等比数列的定义即得； （2）根据等比数列的通项公式结合条件可得，然后利用裂项相消法即得. 【详解】（1）由已知可得， ∴，又，， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，因此，， 所以. 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列满足，令 （1）求证数列为等比数列，并求通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得 ，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． 又， ∴数列是首项为8，公比为3的等比数列， ∴． （2）当为正偶数时， ． 当为正奇数时， ． ∴． 5 ．（23-24高二上·山西大同·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系即可求证是等比数列，由等比数列的通项即可求解， （2）根据裂项求和即可求解. 【详解】（1）当时，，得， 由，得， 所以，化简得， 又，所以，即数列是等比数列，且公比． 所以． （2）由（1）得， 所以． 则 ． 6．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知数列满足，． （1）设，求证:数列是等比数列; （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）将变形为，得到为等比数列， （2）由（1）得到的通项公式，用错位相减法求得 【详解】（1）由，，可得， 因为则，，可得是首项为，公比为的等比数列， （2）由（1），由，可得， ， ， 上面两式相减可得： ， 则． 求等比数列前n项的和 1．（23-24高二上·山西大同·期末）设是公比为正数的等比数列，其前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)设是首项为2，公差为3的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出公比后代入计算即可得； （2）借助等比数列及等差数列求和公式即可得. 【详解】（1）设的公比为， 由，即， 两式作商得，解得（负值舍去）， 所以， 所以的通项公式为； （2）由题意得， 所以， 所以数列的前项和. 2．（23-24高二上·山西大同·期末）已知等比数列的公比，且，，是公差为的等差数列的前3项. (1)求的最小值； (2)在取最小值的条件下，设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差中项性质可得，进而可得，再根据基本不等式求的最小值即可； （2）由（1）可得此时，，再裂项根据求和证明即可. 【详解】（1）由题知，即，可得. . 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为3. （2）由（1）知，当取最小值时，，，， 所以，. 所以， 所以 . 又，所以，所以. 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解. (2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得， 所以数列的通项公式是：. （2）由(1)知，，， ， 所以数列的前n项和. 4．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等比数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列中，满足，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等比数列的性质和求和公式列出方程组，求出首项和公比，求出通项公式；（2）结合第一问及通项公式的特点，利用等差数列和等比数列求和公式进行求解数列的前项和. 【详解】（1）记等比数列的公比为，由可知， ，， 解得，，所以数列的通项公式为； （2）， ． 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）由递推关系把拆到等号两边，变成后推出即可； （2）求出数列的通项，再用错位相减法求出即可. 【详解】（1）证明： 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，所以. （2）因为，所有， ， ， 作差可得， 所以. 7．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知正项数列满足，数列的前项和为，且，. (1)求，的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）对数列两边取对数，再结合“累乘法”求数列的通项公式；对数列，根据前项和求通项公式； （2）利用错位相减求和法求数列的前项和，然后再证明不等式. 【详解】（1）因为，，且，所以， 所以，即. 当时，，所以. 因为，所以，所以. 也符合上式，所以. 当时，. 因为，所以当时，， 所以当时，，即， 所以当时，数列是以为首项的常数列， 即，所以， 所以的通项公式为 （2）因为， 所以， 两式相减得，所以. 因为，，所以，故. 8．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知等差数列与正项等比数列满足，且既是等差数列，又是等比数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算分别求得公差、公比即可得解. （2）首先由错位相减法求得，又，则不等式恒成立，判断的单调性以及最大值即可得解. 【详解】（1）因为既是等差数列，又是等比数列，所以， 又，设的公差为的公比为， 则， 解得或（舍去），所以. （2）由（1）可得， 所以， ， 所以 ， 所以. 因为对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 令， 则， 所以单调递减，则的最大值为， 所以，即实数的取值范围为. 9．（23-24高二上·山西长治·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件可得出关于的等式，解出的值，再利用等差数列的通项公式即可求得的表达式； （2）求出数列的通项公式，利用裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，则，， 因为、、成等比数列，则， 即，可得，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得：， 所以. 10．（23-24高二上·山西长治·期末）有理数都能表示成（，，且，与互质）的形式，于是有理数集可表示为.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数.反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而它是有理数.对于无限循环小数，它可以表示成，这是数列的无穷项和，记为.设该数列的前项和为，经计算得，当趋于无穷大时，趋于0，则，即可得. (1)数列的无穷项和是有限小数吗？请说明理由； (2)是有理数吗？请说明理由. 【答案】(1)是，理由见解析(2)是，理由见解析 【分析】（1）求出数列无穷项和为，从而当趋于无穷大时，则，从而求解. （2）由，从而求出其无穷项和为，从而求解. 【详解】（1）是，理由如下： 由题意得数列是首项为，公比为的等比数列，其无穷项和为， 当趋于无穷大时，趋于，则，所以是有限小数. （2）是，理由如下： 即为数列的无穷项和，记为，则其前项和为， 则，当趋于无穷大时，趋于， 则，所以是有限小数. 数列综合求通项及求和 1．（23-24高二上·山西·期末）已知数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)v(2) 【分析】（1）分类讨论与，利用作差法即可得解； （2）利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得，则， 当时，，则，满足上式， 所以. （2）由（1）得， 所以， 则， 两式相减，得， 所以. 2．（23-24高三上·山西忻州·期末）设数列的首项，前n项和为Sn，且满足． (1)求a2及an； (2)求满足的所有n的值． 【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）利用退位相减法，求得数列的递推关系，进而判断出数列为等比数列，从而求得通项公式； （2）利用（1）的结论，可求得以及，化简，即可求解. 【详解】（1）由，得． 因为，所以． 又①，②， ①②得 即． 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 故． （2）由（1）可得， 所以． 因此， 所以即，解得或， 故所有n的值为或. 3．（22-23高二上·山西大同·期末）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设 ，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，可得．两式相减，可得，再利用累乘法可得答案； （2）化简，利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）∵， ∴． 两式相减，得， 即 ． ∴，，，…， ． ∴ （2）∵， ∴，① ．② 两式相减，整理得， 所以 4．（22-23高二上·山西朔州·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出，根据条件可得，与原式相减得出递推关系，得出答案. （2）由（1）知，,利用分组求和可得答案. 【详解】（1）当时，，又， 所以，即. 又数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以； （2）由（1）知，， 所以 5．（22-23高二上·山西太原·期末）已知各项为正的等比数列满足，设的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由题得，解出则可得到通项，降次作差可得，再检验值即可； （2），利用乘公比错位相减法即可得到. 【详解】（1）因为为各项为正的等比数列，设公比为q,, 即，解得，所以. 当时,, 当时,，适合上式， 所以 （2）设的前项和为,则 ， ， 两式相减，得 则. 6．（22-23高二上·山西临汾·期末）数列的前项和为，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，利用数列通项和前项和的关系得到，再利用等差数列的定义求解； （2）求得，再利用错位相减法求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 又因为当时，， 所以 （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 所以. 7．（22-23高二上·山西晋城·期末）已知数列的前n项和为Sn，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据计算即可； （2）根据（1）的结论得出：，则数列的前项和可用错位相减法求得． 【详解】（1）当，，解得， 当时，，， 两式相减得，化简得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以； （2）由（1）可得：， ①， ②， 由①②得 ， 所以. 8．（22-23高二上·山西晋中·期末）在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用构造法证明该数列为等差数列； （2） 利用错位相减法与分组求和法可得. 【详解】（1）由，得， 等式左右同除，得， 故数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 故， 设，其前项和为， 则， ， 故， 即， 故. 9．（22-23高二上·山西太原·期末）已知数列的首项，前项和为，且满足，数列满足，对任意的，，都有. (1)求数列，的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据题意，利用可求出，根据等差数列定义可求出； （2）利用错位相减法即可求出数列的前项和为. 【详解】（1）当时，， ∵，∴，当时，，， 两式相减得， 得，∴数列的通项公式为. 对任意的，，都有，令，得， ∴数列是首项和公差均为2的等差数列， ∴数列的通项公式为. （2）由（1）得， ∴，① ，② 由①－②得， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$