精品解析：甘肃省定西市安定区石泉初级中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

定西市安定区石泉初级中学 2024-2025学年九年级第一学期第一次月考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 用配方法解方程时，配方后的形式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线向下平移5个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 8. 二次函数的对称轴是（ ） A. B. C. y轴 D. 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣3，1，则下列结论正确的个数有（　　）①ac＞0；②2a﹣b=0；③4a﹣2b+c＞0；④对于任意实数m均有am2+bm≥a﹣b． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根为__________ 12. 已知抛物线，当___时，y有最___（填“大”或“小”）值，是____． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是_____． 14. 已知二次函数，则当_____时，随x的增大而减小． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（请用“”连接） 16. 某班同学毕业时都与全班其他同学握手一次，全班共握手1770次，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为_______． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共32分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 函数为开口向下的抛物线，求m的值． 19. 已知关于的一元二次方程．试说明：无论取何值，这个方程总有实数根． 20. 二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）当为何值时，，又为何值时，？ 21. 一个二次函数的图象经过三点．求这个二次函数的解析式． 22. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形劳动实践基地，基地一面靠墙（墙足够长），另外三面用长的篱笆围成，要使得该矩形基地的面积为，学校该怎样围？ 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展倡议等多重因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2021年利润为2亿元，2023年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2021年至2023年利润的年平均增长率； （2）若2024年利润保持前两年的年平均增长率不变，求该企业2024年利润为多少亿元？ 24. 已知抛物线，其顶点为M，与轴交于A、B两点（A点在B点的左面），与轴交于点C． （1）求M、A、B、C四点的坐标； （2）求的面积． 25. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； （2）几秒时的面积等于？ 26. 如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，． 当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： （1）在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； （2）解方程． 27. 如图，抛物线与轴交于两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由； （3）设抛物线上有一个动点，当点在抛物线上滑动到什么位置满足，并求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定西市安定区石泉初级中学 2024-2025学年九年级第一学期第一次月考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．整理后，利用直接开平方法即可解题． 【详解】解：整理得， 解得， 故选：C． 2. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．直接利用顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：（1），方程有两个不相等的实数根，（2），方程有两个相等的实数根，（3），方程没有实数根． 把代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4. 若关于x的函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义得出且，求出m即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 5. 用配方法解方程时，配方后的形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程：先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用开平方法求解．根据配方法的解法步骤解答即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：B． 6. 把抛物线向下平移5个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向下平移5个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是， 故选：C． 7. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A. （32﹣2x）（20﹣x）=570 B. 32x+2×20x=32×20﹣570 C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D. 32x+2×20x﹣2x2=570 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得： (32−2x)(20−x)=570， 故选：A 【点睛】本题考查根据题意列方程.理解题意是解题的关键. 8. 二次函数的对称轴是（ ） A. B. C. y轴 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据顶点式的对称轴是直线，找出h即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为y轴． 故选：C． 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣3，1，则下列结论正确的个数有（　　）①ac＞0；②2a﹣b=0；③4a﹣2b+c＞0；④对于任意实数m均有am2+bm≥a﹣b． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与y轴的交点、对称轴、x=-2时的函数值及函数的最小值等要素逐一判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上且与y轴交于负半轴，即x=0时，y＜0， ∴a＞0、c＜0， ∴ac＜0，故此结论错误； ②∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为-3，1， ∴，即故此结论正确； ③由图象可知，当x=-2时，y＜0， ∴4a-2b+c＜0，故此结论错误； ④∵抛物线的对称轴为x=-1，且开口向上， ∴当x=-1时，二次函数取得最小值， ∴当x=m时，即故此结论正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 已知抛物线，当___时，y有最___（填“大”或“小”）值，是____． 【答案】 ①. 1 ②. 大 ③. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．根据题中抛物线的顶点式得到抛物线开口向下，顶点坐标为，结合二次函数图象与性质即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值． 故答案为：1，大，． 13. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义.把代入方程，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：， ∵， ∴； 故答案为：. 14. 已知二次函数，则当_____时，随x的增大而减小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性．把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：． 15. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是________．（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，将x值代入求出对应的y值是解题的关键． 【详解】解：，，为二次函数的图象上的三点， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 某班同学毕业时都与全班其他同学握手一次，全班共握手1770次，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．如果全班有x名同学，那么每名同学要握手次，那么总共握手次数应该是，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要握手次； 又∵是相互握手， ∴总共握手次数应该是． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共32分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解答即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：， 则， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：． 18. 函数为开口向下的抛物线，求m的值． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数开口方向与系数的关系．根据抛物线的定义和开口向下即可得到，由此进行求解即可． 【详解】解：∵函数为开口向下的抛物线， ∴， ∴， ∴解得． 19. 已知关于的一元二次方程．试说明：无论取何值，这个方程总有实数根． 【答案】 ． ∵， ∴， ∴无论取何值，这个方程总有实数根． 【解析】 【分析】先求出△的值，再根据根的判别式的内容判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 20. 二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1）写出方程的两个根； （2）当为何值时，，又为何值时，？ 【答案】（1） （2）当时，；当或时， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与轴交点等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）结合二次函数图像分析求解即可； （2）结合二次函数图像与轴点，观察图像总在轴的上方和图像总在轴的下方时的取值范围，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴的根为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图像与轴交于点， 观察图像可知：当时，图像总在轴的上方， ∴当时，． 观察图像可知：当或时，图像总在轴的下方， 当或时，． 21. 一个二次函数的图象经过三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】y＝4x2＋5x 【解析】 【分析】根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， 分别把（0，0），（－1，－1），（1，9）代入， 得 解得a＝4， b＝5，c＝0， 所以这个二次函数的解析式为y＝4x2＋5x． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 22. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形劳动实践基地，基地一面靠墙（墙足够长），另外三面用长的篱笆围成，要使得该矩形基地的面积为，学校该怎样围？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意，设，则，要使得该矩形基地的面积为，则，由此得到和的长． 【详解】解：四边形是矩形， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 答：或． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展倡议等多重因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2021年利润为2亿元，2023年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2021年至2023年利润的年平均增长率； （2）若2024年利润保持前两年的年平均增长率不变，求该企业2024年利润为多少亿元？ 【答案】（1） （2）3.456亿元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业从2021年至2023年利润的年均增长率为x，根据该企业2023年的利润=该企业2021年利润该企业从2021年至2023年利润的年均增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用该企业2024年的利润=该企业2023年的利润该企业从2021年至2023年利润的年均增长率），可求出该企业2024年的利润，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该企业从2021年至2023年利润的年均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该企业从2021年至2023年利润的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵（亿元）， ∴该企业2024年的利润为3.456亿元． 24. 已知抛物线，其顶点为M，与轴交于A、B两点（A点在B点的左面），与轴交于点C． （1）求M、A、B、C四点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），，，； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点． （1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标；把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ，， ，， 将代入得：， ； ， 顶点M的坐标是：． 【小问2详解】 解：的面积． 25. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； （2）几秒时的面积等于？ 【答案】（1） （2）3秒 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 26. 如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，． 当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： （1）在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； （2）解方程． 【答案】（1）换元，转化 （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【小问1详解】 解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； 【小问2详解】 解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 27. 如图，抛物线与轴交于两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由； （3）设抛物线上有一个动点，当点在抛物线上滑动到什么位置满足，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）（1，-2）；（3）（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4） 【解析】 【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值． （2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点D，要使DA+DC的值最小，则点D就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把抛物线对称轴x=1代入即可得到点D的坐标； （3）根据S△EAB=8，求得E的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得E点的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点， ∴方程x2+bx+c=0的两根为x=-1或x=3， ∴-1+3=-b， -1×3=c， ∴b=-2，c=-3， ∴二次函数解析式是y=x2-2x-3． （2）∵点A、B关于对称轴对称， ∴点D为BC与对称轴的交点时，DA+DC的值最小． 设直线BC的解析式为y=kx+t（k≠0）， 则， 解得：． ∴直线BC的解析式为y=x-3． ∵抛物线的对称轴为直线x=1． ∴当x=1时，y=-2． ∴抛物线对称轴上存在点M（1，-2）符合题意； （3）设E的纵坐标为， ∵S△EAB=8， ∴AB•=8， ∵AB=3+1=4， ∴=4， ∴=±4， 把=4代入解析式得，4=x2-2x-3， 解得，x=1±2， 把=-4代入解析式得，-4=x2-2x-3， 解得，x=1， ∴点E在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1-2，4）或（1，-4）时，满足S△EAB=8． 【点睛】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $