内蒙古自治区通辽市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学答题卡 姓 名 准考证号 条形码粘贴区(居中) 缺考 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号，姓名及科目，在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写，要求字体公整，笔记清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 填涂样例 正确填涂 错误填涂 一.选择题（每小题3分，满分30分） 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二. 填空题（每小题3分，满分15分） 11. 12. 13. 14. 15. 3. 解答题（满分55分） 16.（5分）解方程： 17. （7分） 18.（7分） 19.（8分） 20.（8分） 21.（8分） 22.（12分） 数学答题卡 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）. A．B．C． D． 2．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）. A. 一定在⊙O 的内部 B. 一定在⊙O 的外部C. 一定在⊙O 的上 D. 不能确定 3.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ） A.小明的影子比小强的长 B.小明的影子比小强的短 C.小明的影子和小强的一样长 D.无法判断谁的影子长 4．若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）. A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1 5．函数 与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能( ). A． B． C． D． 6. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC'，点C'在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　）. ( D. ) ( C. ) ( B. ) ( A. ) 7.如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点。若S△AOB＝5，则k的值为（ ）. A. 10 B. -10 C. -5 D. (第6题图） (第7题图） 8.已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）. A．k≥2 B．k≤2 C．﹣1≤k≤2 D．﹣1≤k≤2且 9.已知：如图，弦AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则下列说法中不正确的是 ( ). A. 弦CD一定是⊙O的直径 B. 点O到AC、BC的距离相等 C. ∠A与∠ABD互余 D. ∠A与∠CBD互补 （第9题图） （第10题图） 10如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）和B（4，0），点C为抛物线的顶点，则下列结论： ①abc＞0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣2＜x＜4； ③3a+c＜0；④若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（1，﹣3）； ⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b． 其中结论正确的个数是（　　）. A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空题（每题3分，共15分） 11.等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为　 ． 12.如图所示，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF︰FC等于　 ． 13． 直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是　 　． 14.如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，则△OAB的面积等于　 ． 15.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，AB为半圆的直径，M为圆心，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 　 　． 3、 解答题（共7道题，共55分）写出必要的解题过程； 16．（5分）解方程：2（x﹣5）2＝5﹣x 17.（7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答问题： （1）请按要求对△ABC作如下变换： ①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1． ②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2；并写出点A1，A2的坐标：　 　，　 　． （2）在△ABC内，点P的坐标为（a，b），在△A1B1C1中与之对应的点为Q，在△A2B2C2中与之对应的点为R．则S△PQR＝　 　．（用含a，b的代数式表示） 18.（7分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m） 19.（8分）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20. （8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝2，BD＝4，求AB长． 22. （12分） 如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标． ( 1 )九年级数学试卷第 页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025年度第一学期初三年级期末考试数学试题答案 一、选择题（每题3分，共30分） 1．D 2.B 3.D 4．C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 二．填空题（每题3分，共15分） 11.10 12.1：2 13.30°和150°14. 15. 三、解答题（共55分）写出必要的解题过程 16．（5分）解方程： 2（x﹣5）2＝5﹣x． 解：2（x﹣5）2＝5﹣x， 2（x﹣5）2+（x﹣5）＝0，--------------------------------1分 （x﹣5）[2（x﹣5）+1]＝0，----------------------------2分 x﹣5＝0或2（x﹣5）+1＝0，---------------------------4分 x1＝5，------------------------------------------------5分 17. （7分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A（3，2）、B（0，2）、C（1，0）．解答问题： （1）请按要求对△ABC作如下变换： ①将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1． ②以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2；并写出点A1，A2的坐标：　 　，　 　． （2）在△ABC内，点P的坐标为（a，b），在△A1B1C1中与之对应的点为Q，在△A2B2C2中与之对应的点为R．则S△PQR＝　 　．（用含a，b的代数式表示） 解：（1）如图，请按要求对△ABC作如下变换： ①则△A1B1C1 为所求 ②则△A2B2C2为所求--------------------------------------------2分 点A1的坐标为（﹣2，3）， 点A2的坐标为（﹣6，﹣4）．---------------------------------4分 故答案为（﹣2，3），（﹣6，﹣4）； （2）易得Q（﹣b，a），R（﹣2a，﹣2b）， PR＝3，OQ OQ⊥OP，-------------------------------5分 ∴S△PQRPR×QO3=（a2+b2）．---------------7分 524318.（7分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图所示，当李明走到点A时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m.已知李明直立的身高为1.75 m.求路灯的高度CD.（结果精确到0.1 m） 解：设CD的长为xm.∵ AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,∴ MA∥CD,BN∥CD.------2分 又EA＝MA，∴ EC=CD=.由BN∥CD可得△ABN ∽△ACD---------------4分 ∴ 即， ------------------6分 解得=6.125≈6.1.∴ 路灯高CD约为6.1 m.---------------------------7分 19.（8分）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 384+384（1+x）+384（1+x）2＝1824． 化简得：4x2+12x﹣7＝0． ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）． 答：进馆人次的月平均增长率为50%．---------------------4分 （2）能，理由如下：------------------------------------------------5分 ∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：384（1+50%）3＝3841296＜1350．-----------------7分 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．------------------------------------------------8分 20.(8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（3，n）、B（﹣1，﹣3）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围． 解：（1）将B（﹣1，﹣3）代入 中， 得 解得m＝3， ∴反比例函数解析式为： ---------------------------------------2分 ∵点A（3，n）在反比例函数上， ∴n＝1， 将A（3，1）、B（﹣1，﹣3）代入y1＝kx+b， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为：y1＝x﹣2．----------------------------------------4分 （2）由（1）得，直线AB的解析式为：y＝x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2， 令y＝0，则x＝2， ∴此函数图象与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，﹣2），--------------5分 ∴．----------------------------------6分 （3）∵一次函数和反比例函数交于A（3，1），B（﹣1，﹣3）两点， ∴A、B横坐标分别为3、﹣1，-------------------------------------------------------------7分 ∵y1＞y2 ∴一次函数图象要位于反比例函数图象上方，即在点A的右侧，点B的左侧， ∴﹣1＜x＜0或x＞3．---------------------------------------------------8分 21.（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝2，BD＝4，求AB长． （1）证明：∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠OAD， ∴∠DAC＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠BDO＝∠C＝90°，----------------------------------------------4分 ∵OD是半径，------------------------------------------------------5分 ∴BC是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝OA＝r，OB＝2+r，AB＝2+2r， 由勾股定理得，OB2﹣OD2＝BD2，即（2+r）2﹣r2＝42，--------------------------6分 解得，r＝3，------------------------------------------------------------------------7分 ∴AB＝2+2×3＝8， ∴AB的长为8．------------------------------------------------------------------------8分 22．（12分）如图1，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线在第一象限上一动点，连接PB、PC，当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标； （3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+3x+4；----------------------------------------------------3分 （2）如图，过点P作x轴的垂线，交BC于点N， 在y＝﹣x2+3x+4中，当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4），---------------------------------------------------------------------------4分 设直线BC的解析式为y＝kx+4， 将点B（4，0）代入y＝kx+4， 得4k+4＝0， ∴k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，----------------------------------------------------5分 设P（x，﹣x2+3x+4），则N（x，﹣x+4）， ∴PN＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x， ∴S△PBCPN•OB（﹣x2+4x）×4＝﹣2（x﹣2）2+8，----------------------7分 ∴当x＝2时，△PBC的面积最大， ∴P（2，6）；-----------------------------------------------------------------------------8分 （3）设Q（m，﹣m2+3m+4）， ①当点Q在直线BC上方时，如图2，过点B作BM⊥x轴，过点Q作QM⊥BM交于M， ∵BO＝OC＝4， ∴∠OBC＝45°， ∴∠CBM＝45°， ∴∠CBQ＝45°﹣∠QBM， ∵∠QBC＝45°﹣∠ACO， ∴∠QBM＝∠ACO， ∵∠AOC＝∠QMB＝90°， ∴△AOC∽△QMB，-------------------------------------------------9分 ∴， ∴， 解得：m＝3或m＝4（舍）， 经检验，m＝3是原方程的解， ∴Q（3，4）；---------------------------------------------------------------------10分 ②当点Q在直线BC上下方时，如图3，过点Q作QN⊥x轴交于N， ∵∠OBC＝45°，∠QBC＝45°﹣∠ACO， ∴∠QBN＝∠ACO， ∵∠AOC＝∠QNB＝90°， ∴△AOC∽△QNB，---------------------------------------------11分 ∴， ∴， 解得m＝4（舍）或 经检验，是原分式方程的解， ∴Q（，）；------------------------------------------------12分 综上所述：Q点坐标为（3，4）或（，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/17 16:44:37；用户：初中数学9；邮箱：tlshiyan012@xyh.com；学号：27405243 4 学科网（北京）股份有限公司 $$