甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三上学期1月模拟测试数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，若互相垂直且至少有一个为单位向量，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 或1 4. 如图，这是某城市在2023年12月－2024年2月的二手房销量数据折线图．下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为470 B. 这组数据的众数为365 C. 这组数据的中位数为387 D. 这组数据的平均数约为360 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线，点，从上任取一点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一个五面体均垂直于底面，且是边长为1的等边三角形.已知.若平面平面，且与平面之间的距离为，与五面体相交，则平面切割五面体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数有两个零点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的极小值为 D. 函数是奇函数 10. 如图，是直线与曲线在其半个周期内的两个不同的交点．下列说法正确的是（ ） A. 的最大取值为1 B. 若是三角形的内角，则是钝角 C. 当时，若为的导数，则函数的最大值为 D. 若，则 11. 已知抛物线的焦点为为抛物线上的两点，且线段的中点为，则（ ） A. 点的坐标为 B. 直线的斜率为2 C. 线段的长度为 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前项和．若，，则______． 13. 已知，则______． 14. 甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为______；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知分别为的角所对的边，且满足，． （1）求； （2）若外接圆的半径为，求. 16. 如图（1），在直角梯形中，，现沿着折起，使得平面平面，如图（2）． （1）求证：平面． （2）求二面角的大小． 17. 已知函数，曲线在点处的切线的斜率为2． （1）求实数的值； （2）求证：当时，恒成立． 18. 某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖． （1）求丙取得的奖券为50元的概率； （2）在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率； （3）试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由. 19. 已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”． （1）证明曲线是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式． （2）证明：“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）若存在双曲线是“反比例曲线”，过原点的直线交该双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足，以此类推，过点作斜率为的直线交双曲线于点，将绕点旋转至能在双曲线的渐近线上找到点，点满足．在中，设底边上的高为，求． 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】66 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：由题可求得，且， 则，可知， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 要证当时，，即证， 令，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ． ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，，即恒成立. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）预测丙获得的奖券金额可能更大些，理由为： 甲，乙，丙三人的摸奖情况如图所示， ∴乙获得的奖券值可能为， 且， 元. 丙获得的奖券值可能为，其中 ，， ，， ， 元. ，∴预测丙获得的奖券金额可能更大些. 【19题答案】 【答案】（1） 证明：由题，在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为； 或在旋转变换公式中取，旋转变换后的坐标为． 得 则，将其代入，得， 化简得， 故曲线是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为， 综上，反比例函数图象的表达式为或. （2） 证明：必要性：根据旋转的坐标变换公式，得，所以， 代入得， 化简得， “双曲线是‘反比例曲线’”， 所以，解得，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立； 充分性：由等轴双曲线定义可知，即， 代入（1）中的旋转变换公式，得，化简得， 故该双曲线是“反比例曲线”． 综上所述，“双曲线是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”． （3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $