精品解析：辽宁省抚顺德才高级中学（北大部）2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024年——2025学年度上学期期末考试 高二数学试卷 命题人：石林 校对人：韩娇 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量写出斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题设，则的倾斜角为. 故选：A 2. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，与的距离， 故选：C 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为直线和直线， 若，则，解得或， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 4. 某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（ ） A. 11 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可得到结果. 【详解】先从5门选修课中选择1门，有5种选法； 再从4个课外活动中选择2个，有种选法. 所以该学生不同的选择种数为. 故选：D. 5. 圆和圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解. 【详解】由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆， 圆，即以为圆心，为半径圆， 则， 故， 因此两圆相交，则有2条公切线. 故选：B. 6. 印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得正四棱锥得高为，再结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】如图， 构造直角三角形得正四棱锥的高，则正四棱柱的高为， 所以印章摆件的体积 ． 故选：A. 7. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正三角形特点用表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率. 【详解】是正三角形，， . 故选：. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，涉及到椭圆的椭圆的定义；关键是能够利用正三角形的特点求出. 8. 已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可得出，利用双曲线的定义、余弦定理可求得的值. 【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，焦点到渐近线的距离为， 设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 即，所以，. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错或不答的得0分） 9. 习近平总书记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事､革命的故事､英雄的故事，厚植爱党､爱国､爱社会主义的情感，让红色基因､革命薪火代代传承.”为了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排4名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少1名教师，则不同的选法有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，先将名教师分为三组，再将三组分配到三个年级，由分布乘法计数原理即可求解；还可以在三个年级中选出一个，安排名教师，再将剩下的人安排到两个年级，由分布乘法计数原理即可求解. 【详解】将名教师分为三组，有种分组方法，再将三组分配到三个年级有种方法， 所以共有种选法，故选项B正确； 在三个年级中选出一个，安排名教师有种安排方法，再将剩下的人安排到两个年级有种方法，所以共有种选法，故选项D正确； 故选：BD 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ） A. 准线l的方程为 B. 若过焦点F的直线交抛物线C于两点，且，则 C. 若，则的最小值为3 D. 延长交抛物线C于点M，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线标准方程结合抛物线的性质，即可求焦点坐标、准线方程、焦点弦长、抛物线上的点到焦点和定点距离之和的最小值等. 【详解】因为抛物线C的方程为，所以，所以准线l的方程为，A正确； 由题意可知焦点弦长，B错误； 由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知，所以当Q，P，E三点共线时，取得最小值，即为点E到准线的距离，所以最小值为3，C正确； 如图所示，不妨设P在第一象限，过P作轴于点H，过M作轴于点N，过M作准线的垂线，垂足为D，设准线与x轴的交点为G，则，，易知，则有，即，解得，则，D正确， 故选：ACD. 11. 已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. D. 该圆锥内部半径最大的球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】又圆锥的侧面积、体积公式，及线面角的定义，内切球半径的确定，逐个判断即可. 【详解】由已知，，，易得等腰三角形的底边长， ， 对于A，该圆锥的侧面积为，A错误； 对于B该圆锥的体积为，B正确； 对于C，如图，取中点为，连接， 则与底面所成角为，故，C正确； 对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上， 设为，球半径为，过向作垂线，垂足为，则，又， 所以，所以， 球的表面积为，D正确， 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 若，则的值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由排列数的计算公式即可求解. 【详解】由可得， 故答案为：5 13. 已知向量，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算及模长的坐标表示求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中，求： （1）含的项； （2）展开式中常数项. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）先求得展开式的通项公式，令，求得k值，代回即可得答案. （2）令,求得k值，代回即可得答案 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中含的项为 【小问2详解】 令，解得， 所以展开式中常数项为 16. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； （2）根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【小问1详解】 ，， ，， ； 【小问2详解】 因为，所以设， 即，故，解得. 17. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 【答案】（1）4 （2），或 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可求圆心到直线l的距离，再利用圆的弦长公式即可求解； （2）根据直线方程可得定点坐标，设切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，即可解k，从而得切线方程. 【小问1详解】 当时，直线， 圆M的圆心为，半径为3， 则圆心M到直线l的距离为， 则直线l截圆M所得的弦长为； 【小问2详解】 由得，所以定点， 由题意得切线的斜率存在， 则设切线的方程为，即， 所以， 解得， 故所求切线方程为，即或 18. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面． （1）求证：平面； （2）点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论； （2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 若分别为中点，连接， 由，，则为直角梯形，且为中位线， 所以，且， 由，则，又，可得， 面面，面，面面， 则面，面，故，则， 由面，则，又，均在面内， 所以面，面，可得， 所以，故，即， 由，则，而均在面内， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系， 所以， 令且，则， 则，，， 若是面一个法向量，则， 令，则， 由题意， 整理得，故，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【小问1详解】 当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②由， 所以， ， 即为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年——2025学年度上学期期末考试 高二数学试卷 命题人：石林 校对人：韩娇 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（ ） A. 11 B. 10 C. 20 D. 30 5. 圆和圆的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错或不答的得0分） 9. 习近平总书记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事､革命的故事､英雄的故事，厚植爱党､爱国､爱社会主义的情感，让红色基因､革命薪火代代传承.”为了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排4名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少1名教师，则不同的选法有（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ） A. 准线l方程为 B. 若过焦点F直线交抛物线C于两点，且，则 C. 若，则的最小值为3 D. 延长交抛物线C于点M，若，则 11. 已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C D. 该圆锥内部半径最大的球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 若，则的值是__________. 13. 已知向量，，则______. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在的展开式中，求： （1）含的项； （2）展开式中常数项. 16. 已知，，，，． （1）求； （2）若，求实数，的值． 17. 已知直线，圆 （1）若，求直线l截圆M所得的弦长; （2）已知直线l过定点若过点P作圆M的切线，求点P的坐标及该切线方程. 18. 如图，在四棱锥中，， ，，平面平面． （1）求证：平面； （2）点Q在棱上，与平面所成角正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$