第11讲 三角形中位线与向量概念（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第11讲 三角形中位线与向量概念（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 等腰梯形的性质 题型二 梯形中位线定理 题型三 利用三角形中位线求线段长 题型四 利用三角形中位线求角度 题型五 三角形中位线与三角形面积问题 题型六 与三角形中位线有关的证明 题型七 三角形中位线的实际应用 题型八 平面向量的加法运算 题型九 平面向量的减法运算 题型十 平面向量的加法与减法综合应用 五解答 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点03 向量的基本概念 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【核心考点一 等腰梯形的性质】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【例3】（23-24八年级下·上海·期末）在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于 ． 【例5】（23-24八年级下·上海崇明·开学考试）请你在下图中测量出一条线段的长度．再根据其他的条件算出梯形的面积． 【核心考点二 梯形中位线定理】 【例1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）等腰梯形的腰长为，周长为，则它的中位线长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长为（    ）    A． B．3 C． D．4 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）如果一个梯形的中位线的长是6，高是4，那么它的面积等于 ． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）若梯形的一条底边长，中位线长，则它的另一条底边长是 ． 【例5】（23-24八年级下·上海闵行·开学考试）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 【核心考点三 利用三角形中位线求线段长】 【例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，，点在上，连接和，点，分别是和的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海崇明·模拟预测）如图，在中，的平分线与交于点，直线与射线的延长线交于点，则的长是（ ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ． 【例4】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点连在一起，点、分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 【核心考点四 利用三角形中位线求角度】 【例1】（2024·上海崇明·二模）如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（    ） A．70° B．65° C．55° D．35° 【例2】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·上海静安·开学考试）如图，在矩形中，对角线相交于点，，是的中点，连接，则的度数为 ． 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．      (1)求的度数； (2)若，比长，求的长． 【核心考点五 三角形中位线与三角形面积问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，分别是的中点，若，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，为上的点，连接和，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．40 B．35 C．30 D．25 【例3】（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，为中点，，，，则的面积为 ． 【例4】（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接、、．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，点A、B、C是4× 4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，在AC上找一点M，使； （2）在图2中，在△ABC 内部（不含边界）找一点N，使． 【核心考点六 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（23-24八年级下·上海黄浦·期末）若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【例2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，点，，分别是三边的中点，且，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024·上海青浦·二模）如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是 ． 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【例5】 （23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F. (1)求证：； (2)如果，求证：. 【核心考点七 三角形中位线的实际应用】 【例1】 （23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，A、B两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点C，然后测量出的中点D、E的距离，若，则A、B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·浙江台州·二模）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（   ）m A．12 B．14 C．16 D．24 【例3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为 m． 【例4】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是 【例5】（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【核心考点八 平面向量的加法运算】 【例1】（23-24八年级下·上海·课后作业）如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【例2】（23-24八年级下·上海·课后作业）下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）化简： ． 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图，在梯形中，，，若，，用、表示 ． 【例5】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，求作．    【核心考点九 平面向量的减法运算】 【例1】（23-24八年级下·上海·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·上海·课后作业）已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于 . 【例4】（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则= . 【例5】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知非零向量． 求作： 【核心考点十 平面向量的加法与减法综合应用】 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【例3】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2) 求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，． (1)设，用向量表示向量= ；= (2)如果求的长． 【例5】（23-24八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【变式训练1 等腰梯形的性质】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）佳佳用两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形。其中一个梯形的上底是6厘米，下底是9厘来，高是8厘米。拼成的平行四边形的面积是 平方厘米． 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，等腰梯形中，，，，则各顶点的坐标是，B   ，，． 5．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)当时，求证四边形是矩形． 【变式训练2 梯形中位线定理】 1．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）如图：E在线段上，、分别平分和，．设，，且，的长度是（　　） A．5 B．6 C．8 D．7 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种．三位同学的想法中，（    ） 甲： （上底下底）高梯形面积 乙： 丙： A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如果一个梯形的中位线长为8，高为6，那么它的面积为 ． 4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 5．（23-24八年级下·北京西城·期中）四边形是正方形，是等腰直角三角形，．G为的中点，连接．    (1)如图，若点E在边的延长线上，试判断与的位置与数量关系，并证明． (2)将绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程．若不成立，请说明理由． 【变式训练3 利用三角形中位线求线段长】 1．（23-24八年级下·甘肃酒泉·开学考试）如图，在中，与相交于点，点是边的中点，，则的长是（    ） A．2.5 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，中，，分别是边中点，连接，则的长为 ． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图， 在中，于点D， 点E， F分别是的中点，则的长为 ． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，中，，点、、分别是、、的中点，若，求的长． 【变式训练4 利用三角形中位线求角度】 1．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东青岛·课后作业）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，是的中位线，，则的度数是 ． 4．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，P是延长线上一点，于F，D，E分别为和的中点，连， 若，求的度数． 【变式训练5 三角形中位线与三角形面积问题】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如下图，将△ABC的各边都延长一倍至A'、B'、C'，连接这些点，得到一个新的三角形A'B'C'，若△ABC的面积为3，则△A'B'C'的面积是(　　) A．18 B．21 C．24 D．3 2．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江西九江·模拟预测）如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是 ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，为中线，和分别为和的一条高．若，，，则 ． 5．（2024·青海西宁·一模）有一块三角形的地，现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积）.请你在图上作出分法.（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练6 与三角形中位线有关的证明】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，在矩形中，点为边上一动点，点是边上的中点，连接，．点、分别为，的中点，连接．则在点从运动到过程中，线段的变化为（    ） A．越来越长 B．越来越短 C．不发生变化 D．无法确定 3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，E点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，若添加一个条件 使四边形是平行四边形． 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，井证明你的结论． 【变式训练7 三角形中位线的实际应用】 1．（2024·广东潮州·一模）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧，两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，施工队打算测量，两地之间的距离，但，两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接，，测量，的中点之间的距离是，则两地之间距离为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设、的中点分别为M、N，如果米，那么 米． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【变式训练8 平面向量的加法运算】 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 2．（2024·上海嘉定·一模）在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（  ） A．； B．； C．； D．． 3．（2024·上海奉贤·二模）已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设，，那么＝ ．（结果用、表示）． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 5．（23-24八年级下·上海·期末）已知向量 、 求作：． 【变式训练9 平面向量的减法运算】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定的是（     ） A．； B．； C．，； D．，． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24九年级·全国·单元测试）计算： . 4．（23-24八年级下·上海·课后作业）在平行四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是 . 5．（23-24八年级下·上海·课后作业）已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：(1)；(2)； (3). 【变式训练10 平面向量的加法与减法综合应用】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，点、在平行四边形的对角线上，且． 填空：________；________；________． 求作：． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC． （1）如果AC=6，求AE的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设，． （1）试用，的线性组合表示向量 ；（需写出必要的说理过程） （2）画出向量分别在，方向上的分向量． 4．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点是边的中点，设 （1）试用向量表示向量，则 ； （2）在图中求作:. （保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 5．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 1．（2024八年级·上海·专题练习）化简：（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海·期中）如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 5．（2024八年级下·上海·专题练习）某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（    ） A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm 6．（2024·上海浦东新·二模）已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为 ． 7．（2024八年级下·上海·专题练习）等腰梯形的一个下底角为，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于 ． 8．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 9．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在中，，，垂足为点，点为的中点，连接、交于点，若，则 .    10．（2024·上海闵行·模拟预测）如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有 个． 11．（2024·上海闵行·一模）如图，已知向量、和，求作： （1）向量． （2）向量分别在、方向上的分向量． 12．（2024·上海宝山·一模）如图，AB∥CD∥EF，而且线段AB、CD、EF的长度分别为5、3、2． （1）求AC：CE的值； （2）如果记作，记作，求（用、表示）． 13．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 14．（2024八年级下·上海·专题练习）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒． (1)求四边形ABPQ为矩形时t的值； (2)若题设中的“BC＝18cm”改变为“BC＝kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围； (3)在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由． 15．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 三角形中位线与向量概念（3个知识点+10大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 等腰梯形的性质 题型二 梯形中位线定理 题型三 利用三角形中位线求线段长 题型四 利用三角形中位线求角度 题型五 三角形中位线与三角形面积问题 题型六 与三角形中位线有关的证明 题型七 三角形中位线的实际应用 题型八 平面向量的加法运算 题型九 平面向量的减法运算 题型十 平面向量的加法与减法综合应用 五解答 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点03 向量的基本概念 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【核心考点一 等腰梯形的性质】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰梯形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，要求学生掌握等腰梯形的性质，知道先过上底的一个顶点作下底的垂线，组成一个直角三角形，再解这个直角三角形． 【详解】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为， 过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F， ∵四边形是等腰梯形，， ∴四边形是矩形， ∵两底差为， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定及等腰梯形的判定，熟练掌握以上四边形的特征是本题的关键． 分别利用平行四边形的性质、正方形的判定、等腰梯形的判定及矩形的判定方法分别进行分析判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．对角线垂直平分的平行四边形是菱形，原说法不正确； B、对角线相等的菱形是正方形，原说法正确； C、对角线相等的梯形是等腰梯形，原说法不正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法不正确； 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·上海·期末）在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【答案】130 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等边对等角，含30度角的直角三角形30度角所对的边是斜边的一半． 根据题意画出图形，过点D作与点H，即可推出，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，， 过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【例5】（23-24八年级下·上海崇明·开学考试）请你在下图中测量出一条线段的长度．再根据其他的条件算出梯形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了梯形的面积，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意可得均是等腰直角三角形，从而得到，再根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图， 测量得：， 根据题意得：， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴梯形的面积为． 【核心考点二 梯形中位线定理】 【例1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）等腰梯形的腰长为，周长为，则它的中位线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等腰梯形的周长等于四边之和，那么据此可求上下底之和，而梯形中位线等于上下底和的一半，又可求中位线． 【详解】解：上底下底两腰周长， 上底下底， 上底下底， 中位线． 故选：C． 【点睛】本题利用了梯形的周长公式以及梯形中位线定理．解题的关键是牢记中位线与两底的数量关系． 【例2】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长为（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，结合角平分线可得，利用等角对等边求出，，最后根据梯形的中位线定理可得结果． 【详解】解：在中，， 则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， 故选C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，梯形的中位线，等角对等边，关键是将平行四边形的性质和角平分线相结合得出． 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）如果一个梯形的中位线的长是6，高是4，那么它的面积等于 ． 【答案】24 【分析】本题考查了梯形的中位线，利用梯形的中位线等于上底与下底和的一半进行计算即可得解． 【详解】梯形的中位线长为6， ∴（上底下底） ∵高为4， 梯形的面积（上底下底）高． 故答案为：24． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）若梯形的一条底边长，中位线长，则它的另一条底边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，只需根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可． 【详解】解：设另一条底边为则， 解得． 即另一条底边的长为． 故答案为： 【例5】（23-24八年级下·上海闵行·开学考试）如图，四边形是一个梯形，点E是的中点，直线把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是．求上底与下底的长度之比． 【答案】 【分析】本题主要考查了梯形，三角形中线的性质．连接，设，根据点E是的中点，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， ∴，     ∵的高相同， ∴． 【核心考点三 利用三角形中位线求线段长】 【例1】（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，，点在上，连接和，点，分别是和的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，由题意知：是的中位线，则，即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【详解】解：∵点，分别是和的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴的长为． 故选：B． 【例2】（2024·上海崇明·模拟预测）如图，在中，的平分线与交于点，直线与射线的延长线交于点，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角平分线的定义与垂直证明 证明 利用平行四边形的性质证明 从而可得答案． 【详解】解：∵∠ABC的平分线与CD交于点E，BE⊥AF， ∴ EF＝AE， ， ∵CE∥AB ∴CF＝BC， ∴AD＝BC=AB=， 故选：B 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握以上知识是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等角对等边，角平分线的定义，等角对等边是解题的关键；由三角形中位线定理得，，由平行线性质及角平分线的定义得，从而，则由可求解． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 【例4】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条、的端点连在一起，点、分别是、的中点．经测得，则该工件内槽宽的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据点、分别是、的中点，可知是的中位线，根据三角形中位线定理可知，因为从而可求槽宽的长． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ，， ， ． 故答案为： ． 【例5】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，先根据平行四边形对边相等结合其周长计算公式得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵平行四边形的周长为40，， ∴． ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 【核心考点四 利用三角形中位线求角度】 【例1】（2024·上海崇明·二模）如图，在菱形中，，对角线、相交于点O，E为中点，则的度数为（    ） A．70° B．65° C．55° D．35° 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出∠BAC的度数，再证OE是△ABC的中位线即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，点O是AC的中点，， ∴∠BAD=180°-∠ABC=110°， ∴∠BAC=55°， ∵E是BC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴， ∴∠COE=∠BAC=55°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·上海静安·开学考试）如图，在矩形中，对角线相交于点，，是的中点，连接，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线定理，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得，根据平行线的性质即可求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ， ． 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图，在中，点、分别是、的中点，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线平行第三边求解即可． 【详解】点、分别是、的中点， ， ， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，且，连接．      (1)求的度数； (2)若，比长，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中位线的性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质． （）先由三角形中位线可得，则可求出，最后利用角度和差即可求解； （）由题意可设，则，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得：， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∵，分别是，的中点， ∴． 【核心考点五 三角形中位线与三角形面积问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，分别是的中点，若，则的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据三角形中位线可得，进而可得，所以就有，进而求解即可． 【详解】分别是的中点， ， ． 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形中位线，关键是根据三角形中位线得到线段的等量关系，然后转化为面积关系，进而求解即可． 【例2】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，为上的点，连接和，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．40 B．35 C．30 D．25 【答案】C 【分析】连接MN，根据中位线定理，可得出MN=DE=5；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：连接MN，则MN是△ABC的中位线，    因此MN=BC=5；MN∥BC， 过点A作AF⊥BC于F， ∵AB=AC， ∴BF=CF=BC=5， 则AF==12． ∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5，且高的和为12； 因此S阴影=×5×12=30． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，在中，点、分别在边、上，为中点，，，，则的面积为 ． 【答案】11 【分析】连接，根据，，可得，根据为的中点，可得，进一步求出的面积，根据为的中点，可得的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 为的中点， ， ， 的面积， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·上海普陀·阶段练习）如图，在矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接、、．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出，，，即可得出答案． 【详解】解：∵点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积等于矩形面积的一半是解题关键． 【例5】（23-24八年级下·上海静安·期末）如图，点A、B、C是4× 4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图1中，在AC上找一点M，使； （2）在图2中，在△ABC 内部（不含边界）找一点N，使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据格线的特征找出AC的中点即可； （2）连接AB、AC的中点，则该线上的任一点都符合要求. 【详解】（1）在图1中，点M即为所求； （2）在图2中，点N即为所求． 【点睛】本题考查了三角形的面积及三角形的中位线，当三角形的底相同时，三角形的面积与高成正比例关系，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 【核心考点六 与三角形中位线有关的证明】 【例1】（23-24八年级下·上海黄浦·期末）若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的定义和三角形的中位线定理．如图，垂直平分，则，为的中点，再根据为的中点，得到为的中位线，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，垂直平分，交于，交于点， 则：，为的中点， 由题意，得：为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴为直角三角形； 故选C． 【例2】（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，点，，分别是三边的中点，且，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，由题意知是的中位线，证明，有，进而可求的长． 【详解】解：如图，连接 由题意知是的中位线 ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴cm 故选A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，三角形全等．解题的关键在于对知识熟练掌握． 【例3】（2024·上海青浦·二模）如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是 ． 【答案】1：2 【分析】根据中位线的定理即可求出答案． 【详解】解：∵点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∴＝＝ 故答案为：1：2． 【点睛】本题考查中位线，解题的关键是熟练运用中位线的性质定理，本题属于基础题型． 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 【例5】 （23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，在中，点D是上一点，，过点B作，分别交于点E，交于点F. (1)求证：； (2)如果，求证：. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，推出，，再由三角形内角和定理即可证明； （2）取中点G，连接，证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：取中点G，连接， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，中位线定理，关键是作辅助线构造全等三角形． 【核心考点七 三角形中位线的实际应用】 【例1】 （23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，A、B两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点C，然后测量出的中点D、E的距离，若，则A、B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵D、E分别是的中点， ∴， ∵, ∴， 即A、B两点间的距离是， 故选：C． 【例2】（2024·浙江台州·二模）如图，在一次数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为，则，两 点 的 距 离 是（   ）m A．12 B．14 C．16 D．24 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，利用三角形中位线定理解决问题即可． 【详解】解：，， 是的中位线， ， ． ． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为 m． 【答案】32 【分析】本题考查三角形中位线的应用，关键是由三角形中位线定理得到． 由三角形中位线定理得到，而米，即可求解． 【详解】解：、分别是、中点， 是的中位线， ， 米， 米， 、两点间的距离为32米． 故答案为：32． 【例4】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地已知分别是的中点，测得，李叔叔想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到，由中点定义得到，由三角形中位线定理得到，即可解决问题． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， 分别是的中点， ， 是的中位线， ， 需要篱笆的长是． 故答案为： 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的性质，关键是由三角形中位线定理得到． 【例5】（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． 【核心考点八 平面向量的加法运算】 【例1】（23-24八年级下·上海·课后作业）如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】D 【详解】解：点、在线段上，， ． A、与方向相反，，故本选项错误； B、与方向相反，，故本选项错误； C、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误； D、与共线，与是平行向量，故本选项正确． 故选：． 由点、在线段上，，可得，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用． 此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用． 【例2】（23-24八年级下·上海·课后作业）下列各量中是向量的是（ ） A．时间 B．速度 C．面积 D．长度 【答案】B 【详解】根据向量的概念进行判断即可. 解：既有大小，又有方向的量叫做向量； 时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量． 而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量． 故选：． 此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据向量的加减运算即可得． 【详解】原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的加减运算，熟记运算法则是解题关键． 【例4】（23-24八年级下·上海崇明·期中）如图，在梯形中，，，若，，用、表示 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握三角形法则是解题的关键．根据向量的三角形法则表示出，再根据、的关系解答即可． 【详解】解： ，， ， ，，， ． 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，已知，，求作．    【答案】见解析 【分析】根据向量的意义即可画出与，再由平行四边形法则，即可画出即可． 【详解】解：如图，作向量，向量，则即为所求作的向量．    【点睛】本题主要考查了向量的知识，解题的关键是利用平行四边形法则作图． 【核心考点九 平面向量的减法运算】 【例1】（23-24八年级下·上海·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】根据相等向量的概念逐一判断可得选项. 解：零向量与它的相反向量相等，①错； 由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错； a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错. 所以正确的命题的个数为1， 故选：B. 【例2】（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 【例3】（23-24八年级下·上海·课后作业）已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于 . 【答案】 【分析】本题考查向量和的模的知识，只要学生先求出向量的和，再求的模即可 【详解】 解：如图： ∴ 又∵ ∴. 【点睛】本题属于基础题，主要考查向量和模的运算，运用三角形法则求向量的和是解题的关键. 【例4】（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则= . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论. 【详解】解：∵如图： ∴. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，在用三角形法则做减法时，牢记连接两向量的终点，箭头指向被减数是关键. 【例5】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知非零向量． 求作： 【答案】图详见解析， 【分析】先将所求向量进行化简，然后根据三角形法则即可求出答案． 【详解】解： ＝， ＝． 根据三角形法则， （1）以||和||的长为三角形两边长作三角形； （2）向量AC即为． 即为所求． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意掌握三角形法则是关键． 【核心考点十 平面向量的加法与减法综合应用】 【例1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，、、分别为等边三角形的边、、的中点，在以、、、、、为起点或终点的向量中，求出与平行的向量． 【答案】与平行的向量有、、、、、． 【分析】根据中位线的性质和平行向量的定义即可写出与平行的向量. 【详解】解：∵、分别为等边三角形的边、的中点， ∴EF∥BC ∴与平行的向量有、、、、、． 【点睛】此题考查的是三角形的中位线的性质和平行向量，掌握三角形的中位线平行于第三边和平行向量的定义是解决此题的关键. 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知：如图，EF是的中位线，设，． （1）求向量、（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）      【答案】（1）；；（2）作图见解析． 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设利用三角形的中位线的性质，即可求得，然后由三角形法则，求得； （2）利用平行四边形法则，即可求得向量在方向上的分向量． 【详解】解：（1）∵EF是的中位线，． ∴==， ∵， ∴ （2）如图，过点E作EM∥AC， 则与即为向量在、方向上的分向量．    【点睛】本题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用． 【例3】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，点在平行四边形的对角线上，设，，． (1)用向量表示下列向量： 向量_______；向量__________； (2)求作：(不写作法，保留作图痕迹，写出结果) 【答案】(1) ，；(2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题． （2）如图，作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴，； 故答案为：，； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【例4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，． (1)设，用向量表示向量= ；= (2)如果求的长． 【答案】(1), (2)5 【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可； （2）由可得AF//BC、,然后再根据平行线等分线段定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ． （2）解：∵ ∴AF//BC、 ∴ ∴，即AE= ∴AE=AB+AE=4+1=5． 【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理、平面向量的线性运算，根据得到AF//BC、是解答本题的关键. 【例5】（23-24八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 【变式训练1 等腰梯形的性质】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列命题中：①有两个内角相等的梯形是等腰梯形；②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形③两条对角线相等的梯形是等腰梯形；④对角线互相平分且垂直的四边形是矩形．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据梯形、菱形和矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：①有两个内角相等的梯形不一定是等腰梯形，故为假命题； ②顺次连接矩形的各边中点所成四边形是菱形，故为真命题； ③两条对角线相等的梯形是等腰梯形，是真命题； ④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故是假命题． ∴真命题的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假． 2．（23-24八年级下·四川广安·阶段练习）如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 3．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）佳佳用两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形。其中一个梯形的上底是6厘米，下底是9厘来，高是8厘米。拼成的平行四边形的面积是 平方厘米． 【答案】120 【分析】根据梯形的面积公式解答即可． 【详解】解： （平方厘米），则这两个梯形拼成的平行四边形的面积是120平方厘米． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了梯形的面积，熟练掌握梯形的面积公式是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，等腰梯形中，，，，则各顶点的坐标是，B   ，，． 【答案】 【分析】作轴，轴分别于，，根据等腰梯形的性质，分别求出、、的长，然后根据点的坐标和点的坐标求出的长，即可解答此题． 【详解】 解：作轴，轴分别于，． ∵，，， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， 点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查学生对等腰梯形的性质、坐标与图形性质的理解和掌握，此类等腰梯形的问题可以通过作高线转化为直角三角形或矩形的问题，求点的坐标的问题转化为求线段的长的问题． 5．（23-24八年级下·广西钦州·期中）如图，在梯形中，，．点，，分别在边，，上，． (1)求证四边形是平行四边形； (2)当时，求证四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰梯形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质． （1）根据等腰梯形的性质得，再根据“等边对等角”，得，进而得到，根据“同位角相等，两直线平行”，得，因，根据平行四边形判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论，解题的关键是利用等腰三角形的性质，根据平行线的判定定理，证得； （2）根据三角形内角和定理，得，已知，，即可得，进而证得，根据矩形的判定定理“有一个角为直角的平行四边形是矩形”，即可证得结论，解题的关键是熟练掌握矩形的判定定理，证得． 【详解】（1）证明：在梯形中，， ， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 【变式训练2 梯形中位线定理】 1．（23-24八年级下·四川达州·阶段练习）如图：E在线段上，、分别平分和，．设，，且，的长度是（　　） A．5 B．6 C．8 D．7 【答案】D 【分析】过E作，交于F，根据绝对值和完全平方公式的非负性得出x，y的值，根据角平分线性质和直角可得，再由平行线的判定得出即可则，，则有，再根据梯形中位线定理可求得的长． 【详解】如图，过E作，交于F， ∵， ∴，， 解得∶，， ∴，， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 又∵， ∴， 则，， ∴，， ∴， 又∵， ∴是梯形的中位线， ∴， ∴． 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及性质，绝对值的非负性，角平分线的性质，以及梯形中位线定理，掌握平行线的判定以及性质和中位线定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种．三位同学的想法中，（    ） 甲： （上底下底）高梯形面积 乙： 丙： A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 【答案】D 【分析】本题考查了梯形面积公式的推导过程的应用，涉及平行四边形的面积，三角形的面积， 根据平行四边形面积公式：平行四边形面积底高和图形的切拼，即可得到梯形面积公式，可判断甲、乙正确；再根据三角形的面积公式和图形的切拼得到梯形面积公式，可判断丙正确． 【详解】解：甲是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，故甲正确； 乙是把一个梯形沿高的一半剪成两个梯形，然后通过旋转、平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，故乙正确； 丙是把一个梯形分割成两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式，故丙正确； 故选：D． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如果一个梯形的中位线长为8，高为6，那么它的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是掌握梯形的中位线等于上底与下底和的一半．先求出该梯形上底与下底的和，再根据梯形面积公式即可解答． 【详解】解：∵梯形的中位线长为8， ∴该梯形上底与下底的和为， ∴它的面积， 故答案为：48． 4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，梯形中，，是梯形的中位线，若的面积为，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了梯形的中位线，根据梯形的中位线得出，根据已知三角形的面积求出, 即可求出答案. 【详解】过作于, 交于, ∵是梯形的中位线, ∴, ∴, ∵的面积为 ， ∴, ∴梯形的面积为 故答案为：. 5．（23-24八年级下·北京西城·期中）四边形是正方形，是等腰直角三角形，．G为的中点，连接．    (1)如图，若点E在边的延长线上，试判断与的位置与数量关系，并证明． (2)将绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程．若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)结论还成立，理由见解析 【分析】（1）过作于，推出，求出为中点，根据梯形的中位线求出，，推出，根据直角三角形的判定推出是等腰直角三角形即可； （2）延长到，使，连接、，过作的垂线，延长，证，推出，，求出，证出，推出，，求出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】（1）解： ，， 理由是：过作于， 由题意得：， ， 为中点， 为中点， ，， 即， ， ，， ， 即； （2）解：结论还成立， 理由是：如图2，延长到，使，连接、，过作的垂线，延长与交于点Q，延长交于点N， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ，， 即（1）中的结论仍然成立．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，梯形的中位线，等腰直角三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 【变式训练3 利用三角形中位线求线段长】 1．（23-24八年级下·甘肃酒泉·开学考试）如图，在中，与相交于点，点是边的中点，，则的长是（    ） A．2.5 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题利用平行四边形的性质和三角形的中位线定理求解．根据平行四边形的性质得，所以是的中位线，根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 【详解】解：在中，与相交于点， ， 点是边的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； 平分， ， ， ； ； E是的中点，， ； 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）如图，中，，分别是边中点，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理，中位线，掌握勾股定理求线段长，中位线的性质是解题的关键． 根据勾股定理可得，再根据中位线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别是边中点， ∴， 故答案为：3 ． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图， 在中，于点D， 点E， F分别是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再由三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点E， F分别是的中点， ∴． 故答案为：3 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，中，，点、、分别是、、的中点，若，求的长． 【答案】1 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，掌握斜边中线等于斜边的一半是解题的关键；根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得出，再根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：，是的中点， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 【变式训练4 利用三角形中位线求角度】 1．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 2．（23-24八年级下·山东青岛·课后作业）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，是的中位线，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据是的中位线得，根据平行线的性质得，即可得． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 4．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，，交于点O，若E是边的中点，，则的长等于 ，的度数为 ． 【答案】 5 【分析】根据菱形的性质得出，，，根据等边对等角可得，由三角形中位线定理得出． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形中位线定理，，证明出是的中位线是本题的关键． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，P是延长线上一点，于F，D，E分别为和的中点，连， 若，求的度数． 【答案】 【分析】根据邻补角的定义得到，根据三角形中位线定理得到，进而证明，根据直角三角形的性质得到，得到，结合图形计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，即， ， ， ，分别为和的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ． 【变式训练5 三角形中位线与三角形面积问题】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如下图，将△ABC的各边都延长一倍至A'、B'、C'，连接这些点，得到一个新的三角形A'B'C'，若△ABC的面积为3，则△A'B'C'的面积是(　　) A．18 B．21 C．24 D．3 【答案】B 【分析】连接C'B，根据三角形的中线平分三角形的面积可得，再算出，进而得到，从而得到答案. 【详解】如下图所示，连接C'B 依题意，， ∵ ∴是的中线 ∴ ∵ ∴是的中线 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理 ∴， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形中线将三角形划分为面积相等的两部分等相关知识点，熟练掌握三角形面积公式以及割补法求三角形面积的方法是解决本题的关键. 2．（23-24八年级下·内蒙古通辽·期中）图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则AC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用网格采取分割法求出三角形ABC的面积，利用面积公式求出AC边上的高即可． 【详解】小正方形边长为1，利用网格与勾股定理求得AC=， S△ABC=S正方形ADEF-S△ADC-S△CEB-S△AFB=4-1--1=， 设AC边上的高为h， ∵， ∴， 故选择：A． 【点睛】本题考查勾股定理，正方形面积，三角形面积，掌握勾股定理以及面积额的求法，会利用面积求三角形的高是解题关键． 3．（2024·江西九江·模拟预测）如图，△ABC的面积是16，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是 ． 【答案】6 【分析】根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到△AFG的面积． 【详解】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点， ∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线， ∴， 同理可得：， ， 又∵FG是△BCE的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，为中线，和分别为和的一条高．若，，，则 ． 【答案】2 【分析】由题意，△ABC中，AD为中线，可知△ABD和△ADC的面积相等；利用面积相等，问题可求． 【详解】解：∵△ABC中，AD为中线， ∴BD=DC， ∴S△ABD=S△ADC， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5， ∴•AB•ED=•AC•DF， ∴×3×ED=×4×1.5， ∴ED=2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查三角形的中线，三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分．本题的解答充分利用了面积相等这个点． 5．（2024·青海西宁·一模）有一块三角形的地，现要平均分给四农户种植（即四等分三角形面积）.请你在图上作出分法.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析，答案不唯一 【分析】根据等底等高的性质，可把BC四等分，或把AD四等分．根据中位线定理，可作三角形的三条中位线． 【详解】①BC任意四等分           ②任意的AD四等分      ③各边中点连结 【点睛】此题考查了三角形的面积公式，面积计算中等底等高的知识点，以及三角形中位线的性质． 【变式训练6 与三角形中位线有关的证明】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，，， 且， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：C． 2．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，在矩形中，点为边上一动点，点是边上的中点，连接，．点、分别为，的中点，连接．则在点从运动到过程中，线段的变化为（    ） A．越来越长 B．越来越短 C．不发生变化 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的性质．连接，根据点是边上的中点，得到的长度不变，根据中位线的性质得到，即可得到线段长度不变． 【详解】解：如图，连接， ∵点是边上的中点， ∴的长度不变， ∵点、分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴线段长度不变． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，E点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，若添加一个条件 使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加条件，可证是的中位线，得到，进而证明，再由，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵E点是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 5．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，判断四边形的形状，井证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟记相关内容即可求解； （1）由题意得是的中位线，推出且；是的中位线，推出且；可得且；即可求证； （2）由点F，G分别是，的中点，推出；由四边形是平行四边形，推出，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是的中线， ∴是的中位线， ∴且； ∵点F，G分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴且； ∴且； ∴四边形是平行四边形 （2）解：∵点F，G分别是，的中点． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 【变式训练7 三角形中位线的实际应用】 1．（2024·广东潮州·一模）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧，两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到，的中点，，通过测量得，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，施工队打算测量，两地之间的距离，但，两地之间有一个池塘，于是施工队在处取点，连接，，测量，的中点之间的距离是，则两地之间距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：点分别为，的中点， 是的中位线， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线，设、的中点分别为M、N，如果米，那么 米． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， ∵米， ∴米， 故答案为：6． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D，E是，的中点，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接、，分别取、的中点、．若的长为，求A、B两地的距离． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半解题即可． 【详解】点，分别为，的中点， ， ∴ 答：、两地的距离为． 【变式训练8 平面向量的加法运算】 1．（23-24八年级下·上海静安·期末）下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 【答案】C 【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．如果，那么或，故C错误，符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是要考虑向量是既有大小又有方向的量，向量的运算满足所有加法运算定律． 2．（2024·上海嘉定·一模）在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（  ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形， ∴ ∴ ∴ 故答案选:A 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2024·上海奉贤·二模）已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点．设，，那么＝ ．（结果用、表示）． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得＝＝，然后求出,根据＝+即可求出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC ∴＝＝， ∵E是AB的中点， ∴＝＝， ∵＝+， ∴＝﹣+， 故答案为：﹣+． 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量＝，＝，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为 ． 【答案】+ 【分析】如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题． 【详解】解：如图，延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，CE． ∵AD＝DE，BD＝CD， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：+． 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型． 5．（23-24八年级下·上海·期末）已知向量 、 求作：． 【答案】见解析 【分析】在平面内任取一点，分别作出，，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案． 【详解】解：在平面内任取一点，作，作 ，则即为所求．如下图． 【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量． 【变式训练9 平面向量的减法运算】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知非零向量，，，下列条件中，不能判定的是（     ） A．； B．； C．，； D．，． 【答案】A 【分析】根据平面向量的判定方法判断即可． 【详解】A. ∵，不能判断，故本选项，符合题意 B. ∵，∴，故本选项，不符合题意； C.∵，，∴，故本选项，不符合题意； D.∵，，∴，故本选项，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的判定方法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）下列说法正确的个数为（ ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. ①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 3．（23-24九年级·全国·单元测试）计算： . 【答案】 【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案． 【详解】． 故答案为： . 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的关键． 4．（23-24八年级下·上海·课后作业）在平行四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是 . 【答案】 【分析】先由，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，然后根据30°角所对应的直角边是斜边的一半，可得到∠ABD=60°，求得三角形的面积. 【详解】解：∵ ∴平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC ∴四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍， ∠ABD=60°， ∴SABCD= 故答案为. 【点睛】本题考查了向量与简单的几何问题相结合，通过得到四边形ABCD是平行四边形且对角平分线BD平分∠ABC是关键. 5．（23-24八年级下·上海·课后作业）已知在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，求证：(1)；(2)； (3). 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 【分析】由D、E分别是BC、CA的中点，则DE∥AB,DE=AB,即可完成(1)(2)的证明；（3）利用向量的平行四边形法则即可得出. 【详解】解：∵ D、E分别是BC、CA的中点， ∴DE∥AB,DE=AB ∴（1），（2） (3)两式相加得：        同理， . 【点睛】本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，以及.向量的平行四边形法则也是解答的关键. 【变式训练10 平面向量的加法与减法综合应用】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，点、在平行四边形的对角线上，且． 填空：________；________；________． 求作：． 【答案】(1) ;(2)见解析. 【分析】（1）根据平行四边形法则，即可得出答案． （2）利用平行四边形法则来作合向量：即可． 【详解】（1），, ∵， ∴， 即是根据平行四边形法则求作的合向量． 图形如下所示：所作即为所求． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC． （1）如果AC=6，求AE的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度； （2）利用平面向量的三角形法则解答． 【详解】（1）如图， ∵DE∥BC，且DE=BC， ∴． 又AC=6， ∴AE=4． （2）∵，， ∴． 又DE∥BC，DE=BC， ∴ 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设，． （1）试用，的线性组合表示向量 ；（需写出必要的说理过程） （2）画出向量分别在，方向上的分向量． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】（1）根据向量运算法则计算即可， （2）根据平行四边形法则作图即可． 【详解】（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点， ∴，， ∴； （2）如图：与即为所求． 【点睛】此题考查了向量的相关知识，涉及到向量的加减，难度一般． 4．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，点是边的中点，设 （1）试用向量表示向量，则 ； （2）在图中求作:. （保留作图痕迹，不要求写作法，但要写出结果） 【答案】(1) ;(2)图见解析. 【分析】（1）利用平行四边形的性质，三角形法则即可解决问题． （2）根据三角形法则解决问题即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E是BC的中点， ∴BE=EC， ∵，，. ∴； （2）如图： ，， 向量，向量即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【详解】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 1．（2024八年级·上海·专题练习）化简：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的加法法则，计算即可得答案. . 故选：B 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 3．（23-24八年级下·上海·期中）如图，梯形的中位线与对角线、分别交于点、，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形的中位线和三角形的中位线定理．设，则，，中梯形中位线和三角形的中位线定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵是梯形的中位线， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，若的面积为2，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明是解题的关键．过点作交于，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：过点作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ，是的中点， ， ， 的面积为2 的面积为6， 故选：． 5．（2024八年级下·上海·专题练习）某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（    ） A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm 【答案】A 【分析】根据等腰梯形的性质及三角形中位线的性质可推出四边形为菱形，根据菱形的性质可求得其边长，再根据三角形中位线的性质即可求得梯形对角线的长度． 【详解】解：连接， 四边形是等腰梯形， ， 各边的中点分别是、、、 ， ， 四边形是菱形， 四边形场地的周长为， ， 。 故选：A． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质及菱形的判定，证明四边形为菱形是解题的关键． 6．（2024·上海浦东新·二模）已知向量与单位向量的方向相反，||=3，那么向量用单位向量表示为 ． 【答案】-3 【分析】由向量与单位向量的方向相反，且长度为3，根据向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，||=3， ∴=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向． 7．（2024八年级下·上海·专题练习）等腰梯形的一个下底角为，上底长和梯形的高均为3，则梯形的周长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查等腰梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据底角为，过上底顶点作高可以得到等腰直角三角形，依此求出下底长即可求解，过上底顶点作梯形的高是解决梯形问题常用的辅助线之一． 【详解】解：如图，分别过作，垂足为， 由题意得：， 在直角中，， ， ， 在等腰梯形中，， ， ∴四边形为矩形， ， ， ∴梯形的周长等于， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 【答案】 【分析】根据重心的意义可得出，然后根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点G是两条中线AD、BE的交点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（23-24八年级下·上海金山·期末）如图，在中，，，垂足为点，点为的中点，连接、交于点，若，则 .    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，设，根据题意计算出得长，计算即可. 【详解】∵，，    ∴，， 取的中点M，取的中点N，连接， ∵点为的中点， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 10．（2024·上海闵行·模拟预测）如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理等知识点，根据中位线定理先确定它们是平行四边形，然后在图（1）中，可证出有3个平行四边形；在图（2）中，可证出有6个平行四边形；…按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个，熟练掌握三角形的中位线定理的性质是解决此题的关键． 【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点， ∴， ， ∴四边形是平行四边形，共有3个． 在图（2）中，分别是的边的中点， 同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个． … 按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个， 故答案为：． 11．（2024·上海闵行·一模）如图，已知向量、和，求作： （1）向量． （2）向量分别在、方向上的分向量． 【答案】详见解析. 【详解】试题分析：（1）先作，再把平移到如图所示的位置，可求出 （2）将平移到如图所示的位置，利用平行四边形法则来表示分向量． 试题解析：（1）如下图： （2）向量分别在方向上的分向量，如下图 12．（2024·上海宝山·一模）如图，AB∥CD∥EF，而且线段AB、CD、EF的长度分别为5、3、2． （1）求AC：CE的值； （2）如果记作，记作，求（用、表示）． 【答案】（1）2（2） 【详解】分析：（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可； （2）表示出，利用AH∥CD，AH=CD，可得结果． 详解： （1）过点E作EH∥BF交CD，AB于G，H，如图所示： ∴CG=1，AH=3， ∴ ， ∴； （2），且AH∥CD，AH=CD， ∴ ． 点睛：考查的是平行线分线段成比例定理和向量的运算，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 14．（2024八年级下·上海·专题练习）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3cm的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2cm的速度移动，设运动时间为t秒． (1)求四边形ABPQ为矩形时t的值； (2)若题设中的“BC＝18cm”改变为“BC＝kcm”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ是等腰梯形，求t与k的函数关系式，并写出k的取值范围； (3)在移动的过程中，是否存在t使P、Q两点的距离为10cm？若存在求t的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点D作DH⊥BC，垂足为点H，根据勾股定理求出HC，根据矩形的性质得出，求出即可； （2）过点Q作QG⊥BC，垂足为点G，求出PG，根据BP+PG+GH+HC＝BC得出方程，求出即可； （3）有两种情况：①由（2）可以得出3t+6+2t+6＝18，求出即可；②四边形PCDQ是平行四边形，根据BP+PC＝BC，代入求出即可． 【详解】（1）解：过点D作DH⊥BC，垂足为点H， 由题意可知：AB＝DH＝8，AD＝BH，DC＝10， ∴， ∴， ∵BC＝18， ∴AD＝BH＝12， 若四边形ABPQ是矩形，则AQ＝BP， ∵AQ＝12﹣2t，BP＝3t， ∴12﹣2t＝3t， ∴． 答：四边形ABPQ为矩形时t的值是． （2）解：由（1）得CH＝6， 如图1，再过点Q作QG⊥BC，垂足为点G， 同理：PG＝6， 易知：QD＝GH＝2t， 又BP+PG+GH+HC＝BC， ∴3t+6+2t+6＝k， ∴． （3）解：假设存在时间t使PQ＝10，有两种情况： ①如图2，由（2）可知3t+6+2t+6＝18， ∴， ②如图3，四边形PCDQ是平行四边形， ∴QD＝PC＝2t， 又BP＝3t，BP+PC＝BC， ∴3t+2t＝18， ∴． 综上所述，当秒或秒时P、Q两点之间的距离为10cm． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质，梯形的性质，等腰梯形的性质，解一元一次方程，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 15．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______． （2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， ；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98 【分析】（1）根据题意可证得，利用三角形的中位线定理得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出，得出，通过角的转换得出与互余，证得． （2）先证明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论． （3）当最大时，的面积最大，而最大值是，，计算得出结论． 【详解】（1）线段PM与PN的数量关系是，位置关系是． ∵等腰中，， ∴AB=AC， ∵AD=AE， ∴AB-AD=AC-AE， ∴BD=CE， ∵点，，分别为，，的中点， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵（两直线平行内错角相等）， ∴， ∴． （2）是等腰直角三角形． 证明：由旋转可知，， ，， ∴， ∴，， 根据三角形的中位线定理可得，，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法可得，， ∴， 同（1）的方法得，， ， ∵， ∴ ， ∵，∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时，面积最大， ∵点在的延长线上，BD最大， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$