第四章 因式分解 单元练习2024－2025学年北师大版数学八年级下册

第四章因式分解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．在多项式、、、中，能用平方差公式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 4．因式分解a2b﹣2ab＋b正确的是（    ） A．b（a2﹣2a） B．ab（a﹣2） C．b（a2﹣2a＋1） D．b（a﹣1）2 5．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 6．设为自然数，代入代数式中计算求值时，四位同学算出的结果分别如下，其中正确的结果只能是（ ） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列式子中，是因式分解的（    ） A． B． C． D． 9．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A．x2+3xy+y2﹣2y＝x（x+3y）+y（y﹣2） B．8x2y3＝2xy•4xy2 C．ab2﹣9ac2＝a（b+3c）（b﹣3c） D．（2x﹣1）（2x+1）＝4x2﹣1 10．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 11．下列变形中，从左到右不是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 12．下列分解因式正确的是（ ） A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．m2+m﹣6=（m﹣3）（m+2） C．1﹣a2+2ab﹣b2=（1﹣a+b）（1+a﹣b） D．x2+y2=（x+y）（x﹣y） 二、填空题 13．分解因式：16a2b﹣b＝ ． 14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）． 15．如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，长为、宽为的长方形卡片4张，边长为的正方形卡片4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ． 16．分解因式： ． 17．若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字之和的平方正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“和数”，比如：，满足；若一个四位自然数，满足个位数字与十位数字的平方差正好等于的千位数字与百位数字组成的两位数，则这个四位数称为“差数”，比如：，满足；那么最大的“和数”与最小的“差数”之和是 ．如果一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为，且，若为整数时，记，则的最大值是 ． 三、解答题 18．因式分解： (1) (2) 19．【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．    例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解． (1)【小试牛刀】请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）． (2)【自主探索】请利用图1的卡片，将多项式因式分解，并画出图形． (3)【拓展迁移】事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把进行因式分解并写出因式分解结果． 20．某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品． (1)如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值． (2)如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b． ①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系． 21．阅读与思考：在现今信息化时代，智能手机几乎人手必备，应用到了生活的各个领域，锁屏密码为保护我们个人隐私起到了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当时，，，此时可以得到数字密码1016或1610． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，求出锁屏密码； (2)若王老师选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． 22．为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 23．设，是两个不相等的正整数，为质数，满足，且是整数． (1)求证：； (2)求的值； (3)求，的值． 24．求证：无论x、y为何值，4x2-12x+9y2+30y+35的值恒为正. 学科网（北京）股份有限公司 《第四章因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D A A D C C 题号 11 12 答案 D C 1．D 【分析】本题考查了因式分解，掌握各类因式分解方法是解题关键. 【详解】解：由完全平方公式可得：，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； 由平方差公式可得：，故C正确，不符合题意； ，故D错误，符合题意； 故选：D 2．B 【分析】能用平方差公式分解的多项式含有两个平方项，并且符号相反，据此即可得出答案． 【详解】解：能用平方差公式分解的有、，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特点是解决此题的关键． 3．B 【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解． 【详解】解：a2-ab-ac+bc=11， （a2-ab）-（ac-bc）=11， a（a-b）-c（a-b）=11， （a-b）（a-c）=11， ∵a＞b， ∴a-b＞0，a，b，c是正整数， ∴a-b=1或11，a-c=11或1． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 4．D 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可. 【详解】解：a2b﹣2ab+b ＝b（a2﹣2a+1） ＝b（a﹣1）2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是因式分解，掌握“提公因式与公式法分解因式”是解本题的关键. 注意分解因式要彻底． 5．D 【分析】本题考查了公式法和提公因式法分解因式，因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式．根据完全平方公式分解因式可判断A选项；根据提公因式法分解因式即可判断选项B，需要注意符号问题；选项C不是因式分解；根据提公因式法分解因式即可判断选项D． 【详解】A. ，计算错误，不符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C. ，不是乘积的形式，不符合题意； D. ，计算正确，符合题意； 故选D． 6．A 【分析】由，由答案四项的大小相差不大，且立方根约为自然数53，所以可得的值为53，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 又， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值在实际问题中运用．估算出x值的大小是解题的关键。 7．A 【详解】，故B选项不正确；，故C选项不正确；，故D选项不正确. 故选：A. 8．D 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】A项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意； B项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意； C项，等式右边不是积的形式，故不是因式分解，故本项不符合题意； D项，采用了完全平方公式进行因式分解，故本项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解答本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 9．C 【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； B．8x2y3不是多项式，不属于因式分解，故此选项不符合题意； C．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意； D．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 10．C 【分析】原式各因式利用平方差公式化简，计算即可得到结果． 【详解】 ， ， ， ， 故选：． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及其运算是解题的关键． 11．D 【分析】根据因式分解的定义即可求解． 【详解】解：把一个多项式在实数范围内化为几个整式的积的形式， ∴选项是提取公因式，属于因式分解，不符合题意； 选项是完全平方公式，属于因式分解，不符合题意； 选项是平方差公式，属于因式分解，不符合题意； 选项不是因式分解，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．C 【详解】解：A选项分解不彻底，应为x3﹣x=x（x+1）（x﹣1），错误； B选项m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），错误； C选项是分组分解法和完全平方公式法，1﹣a2+2ab﹣b2=（1﹣a+b）（1+a﹣b），正确； D选项不符合平方差公式，不能分解, 故选C． 13．b（4a﹣1）（4a+1） 【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】16a2b﹣b ＝b（16a2﹣1） ＝b（4a﹣1）（4a+1）． 故答案为：b（4a﹣1）（4a+1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用分解因式的方法是解题关键． 14．273024或272430 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法和公式法分解因式，再把数值代入计算即可确定出密码． 【详解】解：或， 当，时，，，， 产生的密码是：273024或272430， 故答案为：273024或272430． 15． 【分析】根据题意列出关系式，分解因式即可得正方形边长． 【详解】解：根据题意得：， 则这个正方形的边长为， 故答案是：； 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和理解因式分解的方法是解本题的关键． 16． 【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：原式＝ =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，完全平方公式，平方差公式，根据新定义以及最大，最小的四位数的特征写出，求其差；根据依题意表示出，进而根据是整数，得出，从而得到为偶数，再讨论求解，进而求得的值，求得，取最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴最大的 “和数”千位最大只能为，则百位为 ∵ ∴最大的十位为，则个位为 ∴最大的 “和数”为 最小的“差数”的千位为，百位最小为时，完全平方数之差没有相差10的数， 则百位数为，此时 ∴最小的“差数”为 ∴最大的“和数”与最小的“差数”之和是； ∵一个“和数”与一个“差数”的个位数字均为、十位数字均为， ∴， ∴ ∵ ∵为整数时 ∴能被整除 ∴ ∴为偶数， 当时， ∵， ∴不合题意， 当， 解得：，则此时N不是四位数，不符合题意； 当时，， ∵， ∴或 ∴或（舍去）， ∴， 当时， ∵， ∴或 ∴（舍去）（舍去）； 当时，，同理可求得只有符合题意， ∴ ……， 综上所述，的最大值为， 故答案为：；． 18．(1) (2) 【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可； （2）首先提取公因数，再利用完全平方公式进行分解． 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2） ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题意把图3的面积用两种方法表示出来，然后根据两种表示方法表示的面积相等即可得到答案； （2）仿照题意画出对应的图形即可得到答案； （3）我们可以把看做是一个高为a，底面积为的长方体的体积，只需要仿照题意画出的示意图得到其因式分解的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，图3是由1张A卡片，3张B卡片，2张C卡片拼成的， ∴图3的面积为， 又∵图3的面积又等于一个长为，宽为的长方形面积， ∴； （2）解：如图所示，下图是由2张A卡片，5张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴同理可得；    （3）解：观察可知， ∴我们可以把看做是一个高为a，底面积为的长方体的体积， 如下图所示，是由1张A卡片，4张B卡片，3张C卡片拼成的， ∴， ∴．    【点睛】本题考查因式分解的实际运用，借助长方形的面积，把因式分解直观化是解题的关键． 20．(1) (2)①1个小长方形周长与大长方形周长之比是；② 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，整式的乘法运算，利用完全平方公式分解因式，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）由长方形的性质建立方程组，再解方程组即可； （2）①先建立方程组可得，再结合长方形的周长可得答案，②由，可得，整理得：，从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得 ； （2）① ①+②，得 ， ∴ ∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是 即1个小长方形周长与大长方形周长之比是； ②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ∴， ∴， ∴， 化简，得， ∴， ∴． 21．(1)锁屏密码为1119或1911 (2)王老师的年龄是34岁 【分析】本题考查了因式分解的应用以及新定义运算，读懂题意是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，根据因式分解的结果为或，再结合个人具体年龄作进一步分析，即可作答． （2）先把，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，且结合 ∴， ∴． 答：王老师的年龄是34岁． 22．(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； (2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式： （1）根据，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求用甲区十月铺设的米数减去乙区十月铺设的米数，再根据，且计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 23．(1)见解析 (2)p=3 (3)a=5，b=2 【分析】（1）运用不等式的性质和因式分解，由可推出，然后用反证法证明不成立，从而解决问题； （2）设（其中，为正整数，则有，与条件结合，可得，若为正整数，则与中有一个是1，另一个是，或者两个都是p；若是正整数，则与中有一个是1，另一个是，或者两个都是p，只需通过分类讨论就可解决问题； （3）由（2）可知，只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立，此时，整理得，从而得到，由是大于的正整数，可得是小于的正整数，从而求出b，就可得到a． 【详解】（1）解：∵a，是两个不相等的正整数， ，都是正整数，． 是整数， ， ， ， 即． 假设， 则有． 与连续整数， 是偶数， 为质数， ， ， ，， ， 与条件“是整数”矛盾， ； （2）解：设其中，为正整数， 则有， ， ． 是质数， ． 且， 此时，整理得， 方程无解． 且， 此时，与条件“、为不相等的正整数”矛盾； ， 此时， ， ． 为整数， 也是整数， 正整数． ， 正整数， ， ， ，与为正整数矛盾； 且， 此时， 整理得， 解得，， 与为正整数矛盾； 且， 此时， ， ， ， ， 与“是大于的正整数”矛盾； ， 此时， 整理得， 则 ． 是大于的正整数， 是小于的正整数， 整数， ， ， ． 综上所述：； （3）解：由（2）可知， 只有当时，存在正整数、及质数，使得条件成立， 此时，整理得， 则 ． 是大于的正整数， 是小于的正整数， 整数， ， ． 【点睛】本题考查了质数和合数、质因数的分解、因式分解、分式的分解等知识，难度比较大，在解决问题的过程中用到了分类讨论、转化、反证法等重要的数学思想方法． 24．见解析. 【分析】将式子配方，写成完全平方式加常数项的形式，再判断式子的取值范围即可解答． 【详解】∵4x2-12x+9y2+30y+35=4x2-12x+9+9y2+30y+25-9-25+35=（2x-3）2+（3y+5）2+1≥1， ∴多项式4x2-12x+9y2+30y+35的值恒为正． 【点睛】本题考查了配方法和非负数的性质．主要考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$