4.1因式分解 同步练习2024－2025学年北师大版数学八年级下册

4.1因式分解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（　　） A．2（a﹣b）=2a﹣2b B．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1 C．（m+1）（m﹣1）=m2﹣1 D．3a（a﹣1）+（1﹣a）=（3a﹣1）（a﹣1） 2．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列变形是因式分解的是（ ） A．x2+6x+8=x（x+6）+8 B．（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 C． D．x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2） 5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．（x+1）2=x2+2x+1 D．x2﹣x=x（x﹣1） 6．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 8．设P＝a(－a+b－c)，Q＝a(a－ab+ac)，则P与Q的关系是（   ） A．P＝Q B．P＞Q C．P ＜Q D．互为相反式 9．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 10．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 11．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 12．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．将多项式因式分解的结果是 . 14．因式分解：= . 15．若整式含有一个因式，则m的值是 ． 16．分解因式：m2 n mn = ． 17．若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 三、解答题 18．因式分解 (1) (2) 19．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释． 学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 20．已知a、b、c为△ABC三边的长． （1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0． （2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状． 《4.1因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D D D C D A C 题号 11 12 答案 D C 1．D 【分析】根据因式分解的定义分析可得. 【详解】选项A，C是多项式的乘法，选项B不是积的形式，不是因式分解， 选项D把多项式变形成了整式积的形式，属于因式分解， 故选D． 2．D 【分析】本题主要考查因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，不是对多项式进行变形，故本选项不符合题意； B、，等式右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，属于整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、，是因式分解，选项正确，故本选项符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：．，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； ．，是用完全平方公式进行的因式分解，故该选项符合题意； 故选：D. 4．D 【详解】试题分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； D、是因式分解，选项正确． 故选D． 点评：本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 5．D 【详解】分析：根据因式分解的意义，可得答案. 详解：A、是整式的乘法，故A不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意； C、是整式的乘法，故C不符合题意； D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意； 故选D． 点睛：本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题的关键. 6．D 【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，等式左右两边都是多项式，不属于因式分解，故A选项不符合题意； B．属于多项式乘法，不属于因式分解，故B选项不符合题意； C．，等式左右两边都是多项式，不属于因式分解，故C选项不符合题意； D．属于因式分解，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查判断因式分解．掌握因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键． 7．C 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A，D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意； B选项，x2+4x+4=（x+2）2，所以该选项不符合题意； C选项，x2-2x+1=（x-1）2，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 8．D 【分析】把Q提取公因式-a可得-a2(-a+b-c)，即可得出Q=-P，即可得答案. 【详解】∵Q= a(a－ab+ac)= -a2(-a+b-c)，P＝a(－a+b－c)， ∴Q=-P， ∴P与Q互为相反式， 故选D. 【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，利用因式分解得出Q=-P是解题关键. 9．A 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于因式分解，符合题意； B．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，不符合题意； C．等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意； D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 10．C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可进行判断． 【详解】A. ，变形是整式乘法，不是因式分解，故A错误； B. ，右边不是几个因式乘积的形式，故B错误； C. ，把一个多项式化成两个整式乘积的形式，变形是因式分解，故C正确； D. ，变形是整式乘法，不是因式分解，故D错误． 【点睛】本题考查因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键． 11．D 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握比一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解（或分解因式）是解题的关键． 12．C 【分析】此题考查了因式分解的定义，正确掌握因式分解的定义及平方差公式是解题的关键． 【详解】A、，A选项错误，不符合题意； B、等式右边不是积的形式，B选项错误，不符合题意； C、式子从左到右的变形为因式分解，C选项正确，符合题意； D、等式右边不是积的形式，D选项错误，不符合题意； 故答案为：C． 13． 【分析】根据提公因式法、公式法，可得答案 【详解】解：原式=m（n2+2n+1）=m（n+1）2， 故答案为m（n+1）2． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式、完全平方公式是解题关键． 14．． 【分析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】原式==． 故答案为． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 15． 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 16．n（m-）2 【分析】原式提取n，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式=n（m2-m+）=n（m-）2， 故答案为n（m-）2 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 17． 【分析】本题考查根据因式分解的结果求参数，把利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相同列出方程求解即可得到m的值． 【详解】解：， 可分解为， ，， ，， 故答案为：． 18．(1) (2) 【详解】解：（1）原式． （2）原式 19．(1)①③④⑤； (2)见解析，； (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法，因式分解与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到三个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解的结果再展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 综上：的值为：9或21或12． 20．（1）证明见解析；（2）等边三角形． 【详解】试题分析：（1）首先根据完全平方公式和平方差公式将原式进行因式分解，然后根据三角形的三边关系得出a－c+b＞0，a－c－b＜0，从而说明结论；（2）利用完全平方公式将其转化成两个非负数的和的形式，然后根据非负数的性质得出a=b=c，从而说明三角形的形状． 试题解析：（1）==（a－c+b）（a－c－b） ∵a、b、c为三角形的三条边长      ∴a－c+b＞0  a－c－b＜0       ∴（a－c+b）（a－c－b）＜0 即＜0 （2）根据题意得： 即=0 ∴=0 ∴a－b=0，b－c=0       ∴a=b，b=c    即a=b=c ∴△ABC为等边三角形． 考点：（1）三角形三边关系；（2）完全平方公式的应用 学科网（北京）股份有限公司 $$