精品解析：安徽省淮北市部分学校2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期九年级综合性评价 数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，若，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 如图，是的切线，是切点，连结、．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不对 6. 如图，以为直径的半圆绕点，逆时针旋转，点旋转到点的位置，已知，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. 5π C. 4π D. 3π 7. 如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ） A. 点，均在内 B. 点，均在外 C. 点在内，点在外 D. 以上选项都不正确 8. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 10. 如图，，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 12. 如图，在中，，的度数是_____． 13. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为_____． 14. 若点，点是两个动点． （1）则点纵坐标的最小值为_____； （2）则线段的最小值为_____． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． （1）以点为位似中心，将放大2倍得到，使与，与，与是对应点，在网格中画出； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，在网格中画出． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 20. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ． （1）作于点，求的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接． （1）如图1，若，求证：点是中点；（提示：过点作，交于点） （2）如图2，若，，求． 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； （3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级综合性评价 数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 如图所示的钢块零件的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了三视图，根据主视图定义求解即可． 【详解】解：钢块零件的主视图为 ， 故选：A． 3. 如图，已知，，若，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可得，即，进而可求出，然后根据即可求出的长． 【详解】解：， ， 即：， ， ， 故选：B． 4. 如图，是的切线，是切点，连结、．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，由切线的性质得到，由直角三角形的性质求出，得出答案，掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的切线，是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，取的中点，连接， ∵弧长等于弧长的2倍， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， ∴． 故选：C． 6. 如图，以为直径的半圆绕点，逆时针旋转，点旋转到点的位置，已知，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6π B. 5π C. 4π D. 3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出阴影部分的面积为：S扇形B′AB进而利用扇形面积公式求出即可． 【详解】如图所示． ∵以AB为直径的半圆绕A点，逆时针旋转60°，∴AB=AB′=6，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形B′AB==6π． 故选A． 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及旋转的性质，得出阴影部分的面积=S扇形B′AB是解题的关键． 7. 如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，3为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（ ） A. 点，均在内 B. 点，均在外 C. 点在内，点在外 D. 以上选项都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判定，先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵、分别是上的高和中线， ∴， ∴， ∴， ∵是以点为圆心，3为半径的圆，，， ∴点，均在外， 故选：B． 8. 如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据弧中点的意义得出，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而可利用勾股定理得出，进而得到，再利用圆周角定理得出，从而可求得，于是有，从中可求得． 【详解】解：连接， ∵点B是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9. 如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上．过点作．轴于点，点作轴于点，若，且的面积为12，则的值是（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，已知，表示出各点坐标，根据的面积为12，列出方程，求出k． 【详解】解：延长交于点E． ∵，点A、点B在反比例函数的图象上， ∴． ∴， ∵的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 解得，， ∵函数图象在第一象限，，负数舍去， ∴． 故选：B． 10. 如图，，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键． 利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， 又∵， ∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 12. 如图，在中，，的度数是_____． 【答案】##112度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，理解并掌握圆周角定理是解题关键．圆周角定理：同弧所对圆心角等于所对圆周角的两倍．据此即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 连接，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵中，， ∴ 解得： ∴， 故答案为：10． 14. 若点，点是两个动点． （1）则点纵坐标的最小值为_____； （2）则线段的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数与一次函数、几何综合，正确理解题意运用二次函数的性质是解题的关键． （1）直接把纵坐标化成，即可求解； （2）线段的最小值为抛物线上的点M到直线的距离的最小值，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ∴， ∴点的纵坐标的最小值为， 故答案为： ． （2）点，点， 可知点M在抛物线上，点N在直线，如图所示： 设直线与轴交于点D，与轴交于点， 向上平移直线， 当新直线与抛物线只有一个交点时，即为点M， 作直线， 设新直线为，与轴交于点E， 作于， ， 四边形是矩形， ， 新直线与抛物线只有一个交点时，满足， 即， 令， 得， ， 当时，， 对于直线，当时，，时，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数次幂，化简绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先运用绝对值，零指数幂、负整数次幂，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．根据题意可知四边形是的内接四边形，推出，结合，可求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：四边形的四个顶点都在上， ， ， ， ， ． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知一个几何体的三视图如图所示，根据所示数据，求该几何体的侧面积和体积． 【答案】侧面积为，体积为 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体以及几何体的表面积、体积计算，根据三视图以及各部分的长度，可得出该组合体的形状，再根据表面积、体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据该组合体的三视图的形状可知， 该组合体为下面是长为，宽为，高为的长方体，上面是底面直径为，高为的圆柱体，所以该组合体的侧面积为： ， 体积为：. 18. 如图，在由边长为1个单位长度的正方形网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． （1）以点为位似中心，将放大2倍得到，使与，与，与是对应点，在网格中画出； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，在网格中画出． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（结果保留整数．参考数据：） 【答案】每节拉杆的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 在图1中，过点A作于，设每节拉杆的长度为，由，得，在图2中，过点A作于点， 由，得，得，解方程即可得． 【详解】解：如图1，过点A作于，设每节拉杆的长度为， 在中，， ， ， 如图2，过点A作于点， 在中，， ， ， 由题意得，， 解得， 答：每节拉杆的长度约为． 20. 如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ． （1）作于点，求的长； （2）将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】（1）的长为 （2）水面截线减少了 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为； 【小问2详解】 如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了． 六、解答题（本题满分12分） 21. 如图，为的直径，点F在上，，点P在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）如图：连接，可得，由可得，又可得．再由，则可得即可证明结论； （2）设，则，在中，由勾股定理可得方程，解得．再证明得到，故可解出．在中，由勾股定理可得，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：，解得：或（舍去）． ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，即， ∴． 在，由勾股定理有：， ∴． 七、解答题（本题满分12分） 22. 如图，中，，，于，点是上一点，连接并延长交于点，于点，连接． （1）如图1，若，求证：点是中点；（提示：过点作，交于点） （2）如图2，若，，求． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，交于点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； （2）过点E作，垂足为M，根据垂直定义可得，从而证明点A、C、G、E四点共圆，进而可得，然后求出，从而可证明，进而可得． 【小问1详解】 证明：过点E作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是中点； 【小问2详解】 解：过点E作，垂足为M， ， ，， ， ，， ， ∴点A、C、G、E四点共圆， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，， 八、解答题（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； （3）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），定值为9 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，解答本题的关键是根据已知条件讨论点P的位置． （1）把点、代入计算后可得该抛物线的解析式； （2）根据图象可得当抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为9时，点P的位置，从而确定m的取值范围； （3）分三种情况讨论满足时，m的取值范围． 【小问1详解】 解：把点、代入得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， 点与点关于直线对称， 点为， 又， ∴， 当点P在点C和点之间时，点与点P之间（包含点和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值9， 此时的取值范围为：； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作轴交抛物线于点E，此时点E与点关于对称轴对称， ∴， ①当点在点和点之间时，即时，，， ， ， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，，， 符合题意， ， ③当点在点下方时，即时，， ， ， ， 或， 解得：或或， ， ， 综上所述，的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $