2.5一元一次不等式与一次函数 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

2.5一元一次不等式与一次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，正比例函数(k是常数，)的图象与一次函数的图象相交于点P，点P的纵坐标为4，则不等式的解集是(    )    A． B． C． D． 2．如图，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若一次函数（，为常数，且）的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．如图，函数的图象经过点，与函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．如图是函数的图象．已知函数的图象与的图象交于A、B两点，且，则满足的x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．如果关于x的方程x2m33x7解为不大于2的非负数，那么(    ) A．m6 B．m5,6,7 C．5m7 D．5m7 7．如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）    A． B． C． D． 8．函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，直线的解析式为，直线的解析式为，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 11．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 12．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．直线与轴的交点坐标为，则关于的不等式的解集是 ． 14．如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是 ．        15．已知一次函数（）经过点，则不等式的解集为 ． 16．如图，两条直线l1和l2的关系式分别为y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，两直线的交点坐标为(2，1)，当y1＞y2时，x的取值范围为 ． 17．一次函数（，为常数，）的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 三、解答题 18．已知直线经过点，且与直线的图象相交于点． (1)直接写出a的值； (2)求直线的表达式； (3)过动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D．当点C总在点D上方时，直接写出n的取值范围． 19．在一次函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程．小华对函数的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： (1)小华列出表格，请同学们求出a、b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 a b … (2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有_________； ①函数图象关于x轴对称；                ②此函数有最大值； ③此函数有最小值，且最小值为；      ④当时，y随x的增大而减小； (3)若直线与函数始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出k的取值范围． 20．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x之间的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)选择甲种卡消费时，关于x的函数表达式为 ，选择乙种卡消费时，关于x的函数表达式为 ； (2)请根据入园次数确定选择哪种消费卡比较合算． 21．为进一步加强“书香校园”建设，某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用元购进的甲种书柜的数量比用元购进乙种书柜的数量少个． (1)每个甲种书柜的进价是多少元？ (2)若该校拟购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？ 22．为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台元，优惠条件是购买台以上，则从第台开始按报价的计算；乙公司的报价也是每台元，优惠条件是每台均按报价的计算．假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由． 23．设函数，（，为常数，且）．函数和的图象的交点为点． (1)求证：点在轴的右侧． (2)已知点在第一象限，函数的值随的增大而增大． ①当时，，求的取值范围． ②若点的坐标是，且，求证：当时，． 24．在平面直角坐标系中，如图所示，点. （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）一次函数（为常数）. ①求证：一次函数的图象一定经过点； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 《2.5一元一次不等式与一次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B C D D B B D 题号 11 12 答案 A D 1．B 【分析】先求得点P的横坐标，再写出直线在直线下方时所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点P，点P的纵坐标是4， ∴， ∴，即， 由图可得，不等式的解集是． 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点坐标解不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．C 【分析】y1＜y2时x的取值范围是一次函数y1＝kx+b的图象在y2＝mx+n的图象下方时对应的未知数的范围，据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得： 当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解题是关键． 3．A 【分析】找到函数值小于的部分对应的自变量的范围即可得出答案． 【详解】解：如图所示：不等式的解为：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确运用数形结合思想分析是解题关键． 4．B 【分析】先根据函数求出点的坐标，再根据函数图象法即可得． 【详解】解：将代入函数得：，解得，即， 则由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键． 5．C 【分析】先求出两函数另一交点B的坐标，再利用图象法求解即可． 【详解】解：如图， 联立，解得：， ∴B(2,2)， 由图象可得：当时，-1<x<2， 故选：C． 【点睛】本题考查两直线交点问题，利用图象法求不等式的解集，熟练掌握利用图象法求不等式的解集是解题的关键． 6．D 【分析】由题意关于x的方程x+2m-3=3x+7解为不＞2的非负数，说明方程的解0≤x≤2，将方程移项、系数化为1，求出x的表达式，再根据0≤x≤2，从而求出m的范围． 【详解】将方程x+2m-3=3x+7，移项得， 2x=2m-3-7， ∴x=m-5， ∵0≤x≤2， ∴0≤m-5≤2， 解得5≤m≤7， 故选D． 【点睛】考查了解一元一次不等式，解题关键是先将m看作是已知数，求得x的值，再根据其取值范围求得m的取值范围. 7．D 【分析】根据图形即可判断阴影部分是由，，三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答案． 【详解】解：∵表示直线右侧的部分， 表示直线左下方的部分， 表示直线右上方的部分， 故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是根据图形利用一次函数与一元一次不等式的关系正确解答． 8．B 【分析】先把代入中解得，再把代入中求出，然后解不等式即可． 【详解】解：把代入得，解得， 把代入得，解得， 解不等式得． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9．B 【分析】根据题意直接结合函数图象，写出直线在直线的下方时所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，一元一次不等式的解集就是确定直线在另一条直线（或者轴）上（或下）方部分所有点的横坐标的集合；这是数形结合的典型考查． 10．D 【分析】由图象可以知道，当x=m时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集． 【详解】不等式对应的函数图象是直线在直线“下方”的那一部分， 其对应的的取值范围，构成该不等式的解集.所以，解集应为， 直线过这点，把代入易得，. 故选D. 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式，解题关键在于结合函数图象进行解答. 11．A 【分析】根据图象，找出直线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】解：∵两条直线的交点坐标为，且当时直线在直线上方 ∴关于的不等式的解集为． 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值的大小的问题是解决本题的关键． 12．D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 一次函数与一次函数的图象交于点， 关于的不等式的解集是：． 故选：D． 13．/ 【分析】根据一次函数的性质得出随的增大而减小，当时，，即可得出答案． 【详解】解：直线， 随的增大而减小， 直线与轴的交点坐标为， 当时，， 关于的不等式的解集是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练地掌握一次函数的性质是解题的关键． 14． 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式． 15． 【分析】先把（-1，0）代入y=kx+b得b=k，则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0，然后解关于x的不等式即可． 【详解】解：把（-1，0）代入y=kx+b得-k+b=0，解b=k， 则k（x-3）+b＜0化为k（x-3）+k＜0， 而k＜0， 所以x-3+1＞0， 解得x＞2． 故答案为x＞2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合. 16．x＜2 【分析】在图中找到两函数图象的交点，根据一次函数图象的交点坐标与不等式组解集的关系即可作出判断． 【详解】解：∵直线l1：y1=k1x+b1与直线l2：y2=k2x+b2的交点坐标是（2，1）， ∴当x=2时，y1=y2=1； 而当y1＞y2时，x＜2． 故答案为：x＜2． 【点睛】本题考查了直线交点坐标与一次函数组成的不等式组的解的关系，利用图象即可直接解答，能够数形结合是解题的关键． 17． 【分析】根据一次函数的图象特征解题． 【详解】解：由图象可知，一次函数中， 当时，的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点在函数图象上的意义，待定系数法，利用函数图象比较大小；掌握解法，理解由上方的点对应函数值较大是解题的关键； （1）将代入，即可求解； （2）将，代入，即可求解； （3）由已知条件得，，由上方的点对应函数值较大，可得，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： ， ； （2）解：将，代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为：； （3）解：动点且垂直于x轴的直线与、的交点分别为C，D， ，， 点C总在点D上方时， ， 解得：． 19．(1)0，2，见解析 (2)③④ (3) 【分析】（1）根据解析式计算即可；利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象判断四个性质即可； （3）求得直线y1=kx1经过点（3，2）时k的值，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：（1）当x=1时，y=x+1=0； 当x=4时，y=-x+1=3， ∴a=0，b=2； 画出函数图象如图所示： （2）解：由图象可知，正确的性质为： ③此函数有最小值，且最小值为2； ④当x＜3时，y随x的增大而减小； 故答案为：③④； （3）解：当直线y=kx1经过点（3，2）时，2=3k1， 解得， ∵直线y1=kx1与函数y＝始终有两个交点， ∴． 故k的取值范围是＜k＜0． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．(1)， (2)入园次数小于10次，甲种卡合算；等于10次，甲、乙价格一样；大于10次，乙种卡合算． 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，由图象得出正确信息是解题关键．根据两个函数图象经过的坐标点，用待定系数法求函数解析式，通过比较两者函数值的大小，即可求解选择哪种消费卡更合算． 【详解】（1）解：根据甲种卡的消费函数图象可知，关于x的一次函数，且经过原点和点，设其函数解析式为：， 则，解得， ． 根据乙种卡的消费函数图象可知，关于x的一次函数，且经过原点和点，设其函数解析式为：， 则，解得， ． （2）解：要确定哪种消费卡比较合算，即要比较入园次数相同时，两者价格的大小． ①，即， 解得， ②，即， 解得，又， ． ③，即， 解得． 当，，即入园次数为10次时，两者价格相同． 当，，即入园次数小于10次时，甲种消费卡更合算． 当，，即入园次数大于10次时，乙种消费卡更合算． 21．(1)每个甲种书柜的进价为元 (2)购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，一次函数的知识，解题的关键是掌握分式方程，一元一次不等式的运用，一次函数的运用，即可． （1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元，根据题意，列出分式方程，即可； （2）设甲书柜的数量为个，则乙书柜的数量为个，求出的范围，设使得购进书柜所需费用为，根据题意，求出函数关系，根据函数的性质，即可． 【详解】（1）设每个乙种书柜的进价为元，每个甲种书柜的进价为元， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， ∴， 答：每个甲种书柜的进价为元． （2）设甲书柜的数量为个， ∴乙书柜的数量为个， ∵乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍， ∴， 解得：， ∴， 设使得购进书柜所需费用为， ∴， 整理得：， 当时，有最小值，， 答：购进甲书柜个，购进乙书柜个，费用最少． 22．购置电脑少于台时，选乙公司较优惠；购置电脑正好台时，甲、乙两公司均可；购置电脑多于台时，选甲公司较优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意分超过台与不超过台两类，结合费用小的更优惠列不等求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当购买电脑不超过台时， ∵不超过台，乙公司有优惠，而甲公司没优惠， ∴选择乙公司， 当购买电脑多于台，设学校需购置电脑x台，由题意可得， 到甲公司购买需付元， 到乙公司购买需付元， 当甲公司优惠大时， ， 解得， 当乙公司优惠大时， ， 解得， 当两公司优惠一样， ， 解得， 答：购置电脑少于台时，选乙公司较优惠；购置电脑正好台时，甲、乙两公司均可；购置电脑多于台时，选甲公司较优惠． 23．(1)见解析 (2)①且；②见解析 【分析】（1）由ax+b=bx+a，解得x=1，即知点P在y轴的右侧． （2）①由函数y2的值随x的增大而增大，得b＞0，点P在第一象限，可得a+b＞0，，化简得．所以，解得，满足，又因为，即可得出答案； ②根据点P的坐标是（1，1），得，，而当x=2时，，因为，又因为，，所以当时，，即可得证． 【详解】（1）证明：由题意，得，整理，得， 因为，即，所以，即点的横坐标为，所以点在轴的右侧． （2）①解：由题意，得，，， 化简，得．所以，解得，满足， 又因为，所以且． ②证明：由题意，得，． 当时，， 因为， 又因为，， 所以当时，，即当时，． 【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及一次函数图象上点坐标特征，不等式等知识，解题的关键是根据已知求出a的范围． 24．（1）；（2）；（3）①见解析，②且. 【分析】（1）根据待定系数求解析式即可； （2）设直线与轴的交点为点，求出点D的坐标，然后根据可得出结果； （3）①把一次函数整理为的形式，再令x+3=0，求出y的值即可； ②根据直线一定经过点A,而且与线段BC有交点，可得直线在绕着点A从直线AC顺时针旋转到直线BC之间的区域，再结合a≠0从而得出结果. 【详解】解：（1）设直线的解析式是，将点，点代入的，得 ，解得， ∴直线的解析式是； （2）设直线与轴的交点为点， 则点的坐标为， ； （3）①证明：∵， 令x+3=0，得x=-3,此时y=2. ∴必过点，即必过点； ②当直线与直线AC重合时，可得4=3a+2,解得a=, 当直线与直线AB重合时，可得1=a+3a+2,解得a=, ∴a的取值范围是：且. 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了是利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点以及与几何图形的综合问题，有一定的难度. 学科网（北京）股份有限公司 $$