精品解析：黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

哈田中（哈73中）2024－2025学年度上学期 高一学年期末考试 数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若，，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4 7. 已知函数，若是偶函数，则图象对称轴方程可能是（ ） A. B. C. D. 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（ ） A. 为钝角 B. C. D. 点在第二象限 10. 已知函数图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 在区间有两个零点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 在区间单调递增 11. 已知函数，则以下说法正确的是（ ） A. ，使得为偶函数 B. 若的定义域为R，则 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 若的值域是，则 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则________. 13. 若，则________. 14. 已知定义域为函数.若对任意恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 17. 已知函数，. （1）求的对称轴； （2）求在区间上值域. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求解析式； （2）求当时，函数的值域. 19. 已知函数，函数. （1）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈田中（哈73中）2024－2025学年度上学期 高一学年期末考试 数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，再由充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】由，解得或， 由，解得或， 由于或是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的定义求得答案. 【详解】由角的终边过点，得. 故选：C 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用零点的存在性定理结合函数的单调性判断即可. 【详解】易知函数是上的增函数， 且，，即， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 5. 已知角，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用终边相同的角的性质判断即可. 【详解】，因为的终边在第四象限，所以角的终边落在第四象限. 故选：D. 6. 若，，则值是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数对数转化得出，再根据对数运算律计算求值. 【详解】由，可得，因为， 则. 故选：D. 7. 已知函数，若是偶函数，则图象对称轴方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数，根据偶函数的性质求，再代入函数的对称轴方程，即可求解. 【详解】函数是偶函数， 则，得， 令，解得. 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时. 故选：D. 8. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性求出的值域，数形结合，由题意确定在上的值域为值域的子集，从而列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上单调递减，在单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是确定在上的值域为值域的子集，从而求出二者的值域后，列出不等式组，即可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则下列选项正确的是（ ） A. 为钝角 B. C. D. 点在第二象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合三角函数定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，点位于第二象限，即角是第二象限角，不一定是钝角，A错误； 对于BCD，点到原点的距离， 则，，， 所以点在第二象限，故C错误，B、D正确. 故选：BD 10. 已知函数的图象关于点中心对称，则（ ） A. B. 在区间有两个零点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 在区间单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】对于A,代入点，得, ,,,故A正确; 对于B,由， ，所以或，所以该函数在区间有两个零点，故B正确； 对于C,代入，，故C错误; 对于D, 处于正弦函数的递增区间内，故D正确． 故选：ABD 11. 已知函数，则以下说法正确的是（ ） A. ，使得为偶函数 B. 若的定义域为R，则 C. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 D. 若的值域是，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数满足，可判断A正确； 根据定义域为，可得恒成立，可判断B正确； 根据复合函数单调性，结合二次函数和对数函数性质，可判断C错； 根据函数值域，确定的最小值为，进而可判断D正确. 【详解】A选项，若为偶函数，则，即，则，所以，故A正确； B选项，若的定义域为，则恒成立，只需，解得，故B正确； C选项，若在区间上单调递增，根据复合函数单调性，只需在区间上单调递减，且恒大于零，因此，解得，故C错； D选项，若的值域是，即的最大值为，因此只需的最小值为，所以，解得，故D正确. 故选：ABD 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，求解方程即可. 【详解】当时,令，得.不满足这个条件，舍去. 当时,令,可得.由于，所以舍去，保留. 当时,令，可得.不满足的条件，所以这个解不符合要求，舍去. 综上所述，满足的的值为. 故答案为：. 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知式和所求式，代入计算即得答案. 【详解】由，可得，即， 则 故答案为：. 14. 已知定义域为的函数.若对任意恒成立，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，化简得，对任意恒成立，即然后利用单调性求解即可. 【详解】因为， 又在上单调递增，且，在上单调递减， 所以在上单调递减，即在上单调递减； 又，所以为奇函数， 由得， 又在上单调递减； 所以，该不等式对于任意恒成立， 即，对任意恒成立， 所以只需，， 令，， 显然在上单调递增， 所以，即取值范围为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）应用，把分式转化为齐次式，再应用弦化切求值即可； （2）先左右同时平方，应用，即可求值. 【详解】（1），故. （2）因为，两边同时平方得到， 整理得到，所以. 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）若，，求扇形的弧长； （2）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角． 【答案】（1） （2）弧度 【解析】 【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解； （2）由扇形的周长和面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为弧度， 所以； 【小问2详解】 由题意得， 解得（舍去）或， 故扇形圆心角为弧度． 17. 已知函数，. （1）求的对称轴； （2）求在区间上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再令，，求解即可； （2）由，求出，进而得到即可求出在区间上的值域. 【小问1详解】 由题意知， ， 令，，解得， 所以的对称轴为，. 【小问2详解】 由（1）可知，，因为，则 ，，， 在区间上的值域为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出，作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，则有，解得， 所以， ，， 即，，解得， 经验证得，时，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，，则， 于是函数变为， 对称轴为，所以在单调递减，在单调递增， 因此当时，，当时，， 所以函数的值域为. 19. 已知函数，函数. （1）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在其定义域上单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明； （2）求出的最小值，令小于的最小值，从而得出关于的不等式组，求解即可. 【小问1详解】 在其定义域上单调递增. 证明如下：设任意，则有： ， ， ，，， ，， 在上单调递增，，即. 函数在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知：当时，， 由不等式对恒成立， 得， ， ， 解得 实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $