第六章 平行四边形 同步练习2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第六章平行四边形 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.如图,的对角线、交于点,平分交于点,且,,连接.下列结论中不成立的是( ) A. B. C. D. 2.平行四边形的周长为40,,那么的长度是( ) A.12 B.16 C.18 D.24 3.若等角n边形的一个外角不大于40 ,则它是边形( ) A.n=8 B.n=9 C.n>9 D.n≥9 4.如图,点,分别是的边,上的中点,的角平分线交点,,,则的长为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 5.如图,四边形,,若点D在的垂直平分线上,则为( ) A. B. C. D. 6.八边形的外角和是( ). A. B. C. D. 7.在平行四边形ABCD中,,,,则AB边的长为( ) A. B. C.6 D.8 8.如图,六边形为正六边形,,则的值为( ) A.60 B.80 C.108 D.120 9.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为,则这个正多边形是( ) A.正五边形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十边形 10.(2017届湖南省娄底市九年级中考一模数学试卷)在下列条件中,不能够判定一个四边形是平行四边形的是( ) A.一组对边平行,另一组对边相等 B.一组对边平行且相等 C.两组对边分别平行 D.对角线互相平分 11.如图,小明从正八边形(各边相等,各内角也相等)草地的一边AB上一点S出发,步行一周回到原处在步行的过程中,小明转过的角度的和是( ) A. B. C. D. 12.如图,小华剪了两条宽为的纸条,交叉叠放在一起,且它们较小的交角为,则它们重叠部分的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题 13.如图,在中,D,E,F分别是的中点,,则 14.如图,与关于点O成中心对称,的平分线交于点D,若,,则的周长为 . 15.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥CD,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AD=4,BF=3,∠EAF=60 ,设,如果向量,那么k的值是 . 16.如图,在 中,对角线相交于点O,在的延长线上取一点E,使,连接交于点F,若,则 . 17.如图,中,AB=8cm,AC=5cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点,则DE的长 cm. 三、解答题 18.计算 (1)已知中,,,求的度数. (2)求正五边形每个内角的度数. 19.如图,在方格网中已知格点和点P,请仅用无刻度直尺完成以下作图. (1)画出,使得和关于点P成中心对称; (2)请在方格网中标出所有使以点A,B,P,D为顶点的四边形是平行四边形的D点. 20.如图①所示,是某公园的平面示意图,、、、分别是该公园的四个入口,两条主干道、交于点,请你帮助公园的管理人员解决以下问题: (1)若,,,公园的面积为 ; (2)在(1)的条件下,如图②,公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后,为提升游客游览的体验感,准备修建三条绿道、、,其中点在上,点在上,且(点与点、不重合),并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香,求种植郁金香区域的面积; (3)若将公园扩大,此时,,,修建(2)中的绿道每千米费用为10万元,请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值. 21.综合与实践 综合与实践课上,王老师以“发现—探究—应用”的形式,培养学生数学思想,训练学生数学思维.以下是王老师的课堂主题展示: 【问题情境】在平行四边形中,,,,E是的中点,连接,将沿折叠得到(点F不与点A重合),作直线交于点P. 【观察发现】 (1)如图1,若,则线段与的数量关系是_,位置关系是_. 【类比探究】 (2)在的值发生变化的过程中,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图2的情形给出证明;若不成立,请说明理由. 【拓展应用】 (3)当时,请直接写出线段的长. 22.若一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍,它是几边形? 23.如图,已知分别是的边上的点,且.求证:. 24.如图,在四边形中,,. (1)求证:四边形为平行四边形; (2)点E为边的中点,连接,过E作交边于点F,连接. ①求证:; ②若,,,求与的值. 第1页 共4页 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网(北京)股份有限公司 《第六章平行四边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D D A A A A 题号 11 12 答案 D B 1.C 【分析】由四边形ABCD是平行四边形,得到∠ABC=∠ADC=60 ,∠BAD=120 ,根据AE平分∠BAD,得到∠BAE=∠EAD=60 推出 ABE是等边三角形,由于AB=BC,得到AE=BC,得到 ABC是直角三角形,于是得到∠CAD=30 ,故A正确;由于,得到,故B正确,根据,,且,得到,故C错误;根据三角形的中位线定理得到,于是得到,故D正确. 【详解】四边形是平行四边形, ,, 平分, , 是等边三角形, , , , , ,故A正确; , ,故B正确, ,, , ,故C错误; ,, , ,故D正确. 故选:C. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,平行四边形的面积公式,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键. 2.A 【分析】此题考查平行四边形的性质.根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”解答即可. 【详解】解:的周长为40,, 设为,为,可得:, 解得:, , 故选:A. 3.D 【详解】试题分析:等角n边形的一个外角不大于40 ,说明它的每一个外角均小于或等于40 ,多边形的外角和是一个固定值:360 ,所以该多边形的边数大于或等于. 由题意得,即, 故选D. 考点:本题考查的是多边形的外角和 点评:解答本题的关键是熟练掌握任意多边形的外角和是360 ,与边数无关. 4.A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键. 根据三角形中位线定理得到,,根据角平分线定义和平行线的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论. 【详解】解:点、分别为边、的中点, ,, , 平分, , , , , 故选:A. 5.D 【分析】本题考查了四边形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,线段垂直平分线性质的应用,连接,根据线段的垂直平分线性质得出,推出,,求出,即可求出答案. 【详解】解:连接, ∵点D在的垂直平分线上, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 故选:D. 6.D 【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案. 【详解】解:八边形的外角和是360 . 故选:D. 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理,任何多边形的外角和是360度.外角和与多边形的边数无关. 7.A 【分析】根据平行四边形性质可求,,根据,可得 ABO为直角三角形,根据勾股定理即可. 【详解】解:∵四边形ABCD平行四边形,,, ∴, ∵, ∴ ABO为直角三角形, 在Rt ABO中,根据勾股定理. 故选择A. 【点睛】本题考查平行四边形的性质,直角三角形判定,勾股定理,掌握平行四边形的性质,直角三角形判定,勾股定理是解题关键. 8.A 【分析】延长交于点G,利用多边形外角和定理算出,再利用平行线的性质,三角形外角定理得出. 【详解】如图,延长交于点G, ∵六边形为正六边形, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴. 故选:A. 【点睛】本题考查了多边形外角和定理,三角形外角定理,构建合适的三角形是解题的关键. 9.A 【分析】设这个外角是,则内角是,根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数,根据多边形的外角和是即可求解. 【详解】∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为, ∴设这个外角是,则内角是, 根据题意得:, 解得:, (边), 故选:A. 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角,根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键. 10.A 【详解】A,一组对边平行,另一组对边相等,等腰梯形也符合这一条件,故不能够判定一个四边形是平行四边形;B,一组对边平行且相等,正确;C,两组对边分别平行,正确;D,对角线互相平分,正确.故选A. 11.D 【分析】根据正八边形的内角和求出每个内角,再求出每次转过的角度45 ,一共转8次,利用45 8计算即可. 【详解】解:∵ABCDEFGH为正八边形, ∴每个内角为(8-2) 180 8=135 , 小明每转一次转过的角为180 -135 =45 , 步行一周回到原处,小明一共转八次所有转过的角度之和为45 8=360 , 故选:D. 【点睛】本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和,掌握正多边形相关知识是解题关键. 12.B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理.首先过点B作于点E,于点F,由题意可得四边形是平行四边形,求得,则可求得答案. 【详解】解:过点B作于点E,于点F, 根据题意得:,,, ∴四边形是平行四边形, ∴,, ∴, ∴, ∵,即 ∴, ∴. 故选:B. 13.8 【分析】由三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,得出,,进而得出,,即可得出答案. 【详解】解:如图,连接, ∵E是的中点, ∴,, ∴, ∴, ∵F是的中点, ∴, 而, ∴. 故答案为:8. 【点睛】本题考查了三角形的面积,掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决本题的关键. 14.16 【分析】题目主要考查平行四边形的性质及中心对称图形的性质,等角对等边等,根据平行四边形的性质和等角对等边得出,确定,结合中心对称图形的性质即可求解. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∵的平分线交于点D, ∴, ∴, ∴, ∵,, ∴, ∴的周长为:, ∵与关于点O成中心对称, ∴的周长为16, 故答案为:16. 15. 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、解直角三角形与平面向量,根据平行四边形的性质求出∠B=∠D=60 ,再利用正余弦定理,解出DE、AB的值,再利用平面向量平行向量两个方向相反的非零向量的知识解答即可 【详解】∵AE⊥CD、AF⊥BC, ∴∠AEC=∠AFC=90 , ∵∠EAF=60 , ∴∠C=360 ﹣∠AEC﹣∠AFC=120 , ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠B=∠D=60 , ∴,, 则CE=CD﹣DE=AB﹣DE=6﹣2=4, ∵AB∥CD,且AB=CD, ∴, 故答案为 . 【点睛】本题的关键是利用平行四边形的性质求出∠C=∠D=60 16.2 【分析】过O作OM∥BC交CD于M,根据平行四边形的性质得到BO=DO,根据三角形的中位线的性质得到CM=CD=3,OM=BC=4,通过平行,可得CF是中位线,即可得到结论. 【详解】解:过O作OM∥BC交CD于M, ∵在 ABCD中,BO=DO, BC=8, ∴CM=CD,OM=BC=4, ∵, ∴, ∵OM∥CF, ∴CF是 OME的中位线,, ∴, ∴CF=2. 故答案为:2 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理;熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键. 17.1.5 【分析】延长CD交AB于F点.根据AD平分∠BAC,且AD⊥CD,证明 ACD≌ AFD,得D是CF的中点;又E为BC中点,所以DE是 BCF的中位线,利用中位线定理求解. 【详解】解:延长CD交AB于F点.如图所示: ∵AD平分∠BAC, ∴∠FAD=∠CAD; ∵AD⊥CD, ∴∠ADF=∠ADC; 在 ACD和 AFD中,, ∴ ACD≌ AFD(ASA), ∴CD=DF,AF=AC=5cm. ∵E为BC中点,BF=AB-AF=8-5=3, ∴DE=BF=1.5(cm). 故答案为1.5. 【点睛】本题考查了三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质.构造辅助线证全等三角形是解题的关键. 18.(1) (2) 【分析】(1)根据三角形内角和定理即可求出的度数; (2)先根据多边形内角和公式求出内角和,然后除以5即可获得答案. 【详解】(1)解:在中, ∵,, ∴; (2)解:正五边形的内角和为, , ∴正五边形每个内角的度数为. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及多边形内角和公式,熟练掌握三角形内角和定理以及多边形内角和公式是解题关键. 19.(1)见详解 (2)见详解 【分析】(1)根据中心对称的性质作图即可. (2)分以,为对角线两种情况,结合平行四边形的判定确定点即可. 本题考查中心对称、平行四边形的判定,熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键. 【详解】(1)解:如图, 即为所求. (2)解:如图,当以为对角线时,四边形为平行四边形; 当以为对角线时,四边形为平行四边形. 则点和均为满足题意的点. 20.(1) (2) (3)万元 【分析】(1)根据平行四边形的性质求得、,作辅助线,从而求得,则可求得答案; (2)根据已知条件可得,从而的值转化为求的值即可; (3)由题意可知为定值,从而将沿MN向下平移2km至,连接交于点,此时点N位于处,此时即为取最小值,过M作于点G,先判定四边形和四边形均为平行四边形,再得出是等边三角形,根据含30度角的直角三角形的性质,勾股定理求得的长,则最短的绿道长度可得,从而费用的最小值可求得. 【详解】(1)解:四边形是平行四边形,,, ,, 在中,过点作于点,如图: ,,, , , , ; 公园的面积为; 故答案为:. (2)解:连接、,如图: 在中,, , , ,,, , , . 种植郁金香区域的面积为. (3)解:将沿向下平移至,连接交于点,此时点位于处, 此时即为取最小值,过作于点,如图: ,, 为的中位线, , 四边形和四边形均为平行四边形, , ,,, , 是等边三角形, , , 在中,由勾股定理得:, 在中, 由勾股定理得:, , 、、和的最小值为:, 投入资金的最小值为:万元. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用,本题难度略大. 21.(1),;(2)成立,证明见解析;(3)或 【分析】(1)根据折叠的性质得到,.由E为的中点,推出,根据三角形内角和定理及平角的定义得到,推出,由四边形是平行四边形,得到,继而证明四边形为平行四边形,即可得出结论. (2)同理(1)证明即可; (3)过点A作交CB的延长线于点M,分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外;两种情况讨论即可. 【详解】解:(1),,理由如下: 证明:由折叠,可得,. ∵E为的中点, ∴. ∴. ∴. ∵,, ∴. ∴. 又∵四边形是平行四边形, ∴. ∴四边形为平行四边形. ∴. (2)在的值发生变化的过程中,(1)中的结论仍然成立. 同理(1)证明即可; (3)①当点F在平行四边形内时,过点A作交CB的延长线于点M,如解图1所示. 由(2)可知, ∵, ∴为等腰直角三角形. ∴. ∵,, ∴. ∴为等腰直角三角形. ∴. 设,则,. 由(2)可得, ∴. 在中, ,即, 解得(负值已舍去). 由(2),可知, ∴. ②当点F在平行四边形外时,过点A作于点M,如解图2所示. 同理可得.设,则,, 可得, ∴. 在中, ,即, 解得(负值已舍去). 由(2),可知, ∴. 综上所述,线段的长为或. 【点睛】本题考查了折叠性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定与性质,平行四边形的性质,勾股定理等知识,熟练掌握以上性质是解题的关键. 22.这个多边形是十边形 【分析】本题考查凸多边形的外角和与内角和,熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为(其中n为边数)是解答本题的关键.结合题意列出等式,求出n即可. 【详解】解:设这个多边形的边数为, 由题意,得, 解得, 答:这个多边形是十边形. 23.证明见解析. 【分析】根据平行四边形的性质可得,然后利用SAS即可证出,从而证出,然后证出即可判定四边形是平行四边形,从而得出结论. 【详解】证明:四边形是平行四边形, . 四边形是平行四边形, 四边形是平行四边形, 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及判定和全等三角形的判定及性质,掌握平行四边形的性质及判定和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键. 24.(1)见解析 (2)①见解析;②; 【分析】(1)根据,,证明即可解答; (2)①取的中点N,连接,根据梯形中位线的性质可得,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得,故可证明; ②,利用①中结论求得的长,再根据勾股定理求得的长,即可得到和的长,证明,可得,从而可求得的长. 【详解】(1)证明:, , , , , 四边形为平行四边形, (2)①证明:如图,取的中点N,连接, , 四边形是梯形, 是的中点,点E为边的中点, 是梯形的中位线, , , , ; ②解: 四边形为平行四边形, ,, 根据①中结论可得得, ,, ,, , , , 在与中, , , , , , . 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,勾股定理,梯形的中位线性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,正确画出辅助线是解题的关键. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$