安徽省安庆市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末综合素质调研九年级数学试题 (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的) 1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11 3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 4．抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴交点的情况是（　　） A．有交点 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点 5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB＝90°）量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．80° 7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A．AF B．DF C．AE D．DE 8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（　　） A．2：7 B．5：7 C．3：7 D．2：5 9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（　　） A．24m B．20m C．18m D．16m 10．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分本） 11．如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是　 　． 12．已知反比例函数y＝的图象上有三个点（2，y1），（3，y2），（﹣1，y3），y1，y2，y3大小关系是　 　． 13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝　 　． 14.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论，①abc＞0；②3a+c＜0：③x＞0时，y随x的增大而增大；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．其中正确的结论有　 　　 （直接填序号） 三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题.） 15．计算：． 16．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），请你分别完成下面的作图． （1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）； （2）以原点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）． 18．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD＝，BC＝4，求AC的长． 20．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，m）和（﹣1，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式x﹣2＞的解集； （3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标． 六．（本题满分12分） 21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 七．（本题满分12分） 22．如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求抛物线的解析式； （2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米． ①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）； ②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？ 八．（本题满分14分） 23．（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD•BC＝AP•BP． （2）探究 若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若，求CD的长． 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的) 1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【解答】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11 【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1． 故选：A． 3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB 【解答】解：A．当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意； B．当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意； C．当时，再由∠A＝∠A，无法判定△ACD∽△ABC，故此选项符合题意； D．当AC2＝AD•AB，即时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴交点的情况是（　　） A．有交点 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点 【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣1， 则Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0， ∴抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴有两个交点． 故选：D． 5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ， ． 在Rt△ABM中， ． 故选：C． 6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB＝90°）量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．80° 【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示： ∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC， ∴A、C、B、D四点共圆， ∵量角器上点D对应的读数是100°， ∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD＝∠BOD＝40°． 故选：C． 7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A．AF B．DF C．AE D．DE 【解答】解：根据作图可知，∠ABD＝90°，， 设DB＝DF＝a，则AB＝2a， ∴根据勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，故A正确． 故选：A． 8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（　　） A．2：7 B．5：7 C．3：7 D．2：5 【解答】解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H． 则BG＝FH＝CD＝3， ∴EH＝EF﹣FH＝2，AG＝7， ∵AB∥EF， ∴EH：AG＝2：7＝DE：AD＝CF：CB， ∴CF：FB＝2：5． 故选：D． 9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（　　） A．24m B．20m C．18m D．16m 【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12， 由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0）， ∴0＝a×（﹣24）2+12， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣x2+12， 当y＝9时， 9＝﹣x2+12， 解得x1＝12，x2＝﹣12， ∴点E（﹣12，9），点F（12，9）， ∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米）， 故选：A． 10．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过F作PF∥BC，交AE于P，过H作HQ∥BC，交AD于Q， ∴， ∵BF是AC边的中线， ∴AF＝FC， ∴AP＝PE， ∴CE＝2PF， ∵D、E是BC边的三等分点， ∴BD＝DE＝EC， ∴BE＝4FP， ∵FP∥BE， ∴△PFH∽△EBH， ∴， ∴， ∵HQ∥BE， ∴△AQH∽△ADE，△HGQ∽△BGD， ∴， ∴， ∴FH：HG：GB＝2：3：5， ∵AF＝FC， ∴， ∴． 故选：C． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20 分本） 11．如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是　10m　． 【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tanB＝1：； ∴AB＝AC÷tanB＝5m， ∴BC＝＝＝10m． 答：坡面BC的长度是10m， 故答案为：10m． 12．已知反比例函数y＝的图象上有三个点（2，y1），（3，y2），（﹣1，y3），y1，y2，y3大小关系是　y3＞y2＞y1　． 【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣k2﹣1， ∴图象的两个分支在二、四象限； ∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（﹣1，y3）在第二象限，点（2，y1）和（3，y2）在第四象限， ∴y3最大， ∵2＜3，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2， ∴y3＞y2＞y1． 故答案为y3＞y2＞y1． 13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝　4：25　． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3， ∴， ∴， ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴， ∵DE∥AC， ∴△ODE∽△OCA， ∴， 即S△DOE：S△AOC＝4：25， 故答案为：4：25． 14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论，①abc＞0；②3a+c＜0：③x＞0时，y随x的增大而增大；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴，则b＝﹣2a＜0，c＜0， ∴abc＞0，所以①正确； 抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0）， 于是有4a﹣2b+c＝0，联立，解得， ∴3a+c＝3a﹣8a＝﹣5a＜0，所以②正确； 当x＞1图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，所以③错误； 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根， 即：ax2﹣2ax﹣8a＝a﹣5，亦即ax2﹣2ax﹣9a+5＝0， ∴Δ＝4a2﹣4a（﹣9a+5）＜0，即：40a2﹣20a＜0，亦即：， ∵a＞0， ∴，所以④正确； 对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b ＝am2﹣2am﹣a+2a ＝am2﹣2am+a ＝a（m﹣1）2≥0， 故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤． 三．解答题（共9小题） 15．计算：． 【解答】解： ＝2×﹣×﹣ ＝﹣﹣2 ＝﹣2． 16．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【解答】解：（1）设a＝k，b＝3k，c＝5k， ∴a﹣b+c＝6，即k﹣3k+5k＝6， 解得：k＝2， ∴a＝2，b＝6，c＝10； （2）由（1）知a＝2，b＝6，又因为m是a，b的比例中项， ∴m2＝ab，即m2＝12， ∴， ∵m＞0， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），请你分别完成下面的作图． （1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）； （2）以原点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）． 【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求； ； （2）解：如图2所示，△A2B2C2即为所求． 18．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 【解答】解：设该门洞的半径的半径为r m， 如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA， 则CD＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m）， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+（2.5﹣r）2＝r2， 解得：r＝1.3， 答：该门洞的半径为1.3m． 19．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD＝，BC＝4，求AC的长． 【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵cos∠ACD＝， ∴cos∠B＝， ∴tan∠B＝， ∵BC＝4， ∴tan∠B＝， ∴＝ ∴AC＝． 20．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，m）和（﹣1，n）． （1）求反比例函数的解析式； （2）请直接写出不等式x﹣2＞的解集； （3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标． 【解答】解：（1）把点A（3，m）代入直线y＝x﹣2得：m＝1， ∴点A的坐标为：A（3，1）， ∵反比例函数的图象过点A， ∴k＝3×1＝3， 即反比例函数的解析式为， （2）由（1）得：点A的坐标为：A（3，1）， 同理可求，点B的坐标为：B（﹣1，﹣3）， ∴不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3； （3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2， 即点C的坐标为：C（2，0）， ∴， ∵S△POC＝3S△AOC， ∴， ∴|yP|＝3， 当点P的纵坐标为3时，则，解得x＝1， 当点P的纵坐标为﹣3时，则，解得x＝﹣1， ∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）． 21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号） （2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75） 【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M， ∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°． 由题意得：∠BAF＝90°， ∴四边形ABMF为矩形， ∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°． ∵∠ABC＝150°， ∴∠MBC＝60°． ∵BC＝18cm， ∴CM＝BC•sin60°＝18×＝9（cm）． ∴CF＝CM+MF＝（9+2）cm． 答：支点C离桌面l的高度为（9+2）cm； （2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H， ∴∠EHC＝90°． ∵DE＝24cm，CD＝6cm， ∴CE＝18cm． 当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18×＝9（cm）； 当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）； ∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm） ∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm． 22．如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米． （1）求抛物线的解析式； （2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米． ①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）； ②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？ 【解答】解：（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度5米， ∴可设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+5， 将点（0，1.8）代入可得， ∴抛物线为， （2）①由题可知M点坐标为（10，2）， 设直线OM的解析式为y＝kx，把点M的坐标（10，2）代入得：10k＝2， 解得， ∴直线OM解析式为：， ∴， ∴y1﹣y2的最大值为． ②设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为， 将点N（10，3.75）代入得：， 解得：m＝3或m＝﹣7（舍去）， ∴喷射架应向后移动3米． 23．（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD•BC＝AP•BP． （2）探究 若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若，求CD的长． 【解答】解：（1）证明：如图1，∵∠DPC＝90°， ∴∠BPC+∠APD＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠ADP+∠APD＝90°， ∴∠ADP＝∠BPC， 又∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADP∽△BPC， ∴AD：BP＝AP：BC， ∴AD•BC＝AP•BP； （2）结论AD•BC＝AP•BP仍成立； 理由：如图2，∵∠BPD＝∠DPC+∠BPC， 又∵∠BPD＝∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠BPC＝∠A+∠ADP， ∵∠DPC＝∠A＝α， ∴∠BPC＝∠ADP， 又∵∠A＝∠B＝α， ∴△ADP∽△BPC， ∴AD：BP＝AP：BC， ∴AD•BC＝AP•BP； （3）∵∠EFD＝45°， ∴∠B＝∠ADE＝45°， ∴∠BAD＝∠EDF， ∴△ABD∽△DFE， ∴AB：DF＝AD：DE， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴DF＝4， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED＝45°， ∵∠EFD＝45°， ∴∠DEC＝∠EFC＝180°﹣45°＝135°， 又∵∠C＝∠C， ∴△DEC∽△EFC， ∴DC：EC＝EC：CF，即EC2＝FC•（4+FC）， ∵， ∴5＝FC（4+FC）， ∴FC＝1， 解得CD＝5． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$