8.4乘法公式 讲义 2024—2025学年苏科版数学七年级下册

编号： 4 学生姓名： 年 级： 七年级 辅导科目：数学 课题 乘法公式 教学内容 【知识过关】 知识点1 完全平方公式 1.两数和（差）的完全平方公式 （1）字母表达:（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a-b）2＝a2-2ab+b2. （2）文字表达:两数和（或差）的 ，等于这两个数的平方和加上（或者减去）这两个数的积的 倍. 2.公式的特征:左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，右边的三项式是左边二项式中两项的平方和加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的 倍. 3.完全平方公式的变形及推广 a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（a-b）2+2ab; （a+b）2＝（a-b）2+4ab; （a-b）2＝（a+b）2-4ab; ; a2+b2＝. 4.完全平方公式的几何意义 如图（1），大正方形的面积可表示为S＝（a+b）2，又可以表示为S＝a2+ 2ab+b2，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2;如图（2），阴影部分的面积可表示为S＝（a-b）2，又可以表示为S＝a2-2ab+b2，所以（a-b）2＝a2-2ab+b2. 知识点2 平方差公式 1.平方差公式 （1）字母表达:（a+b）（a-b）＝a2-b2. （2）文字表达:两数和与两数差的 等于这两数的 。 2.公式的结构特征 公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数;公式的右边是完全相同的项的平方减去互为相反数的项的平方. 3.公式的几何意义 如图，阴影部分的面积可以表示为（α+ b）·（a-b）＝（a+b）（a-b），又可以表示为S＝a2- b2.所以（a+b）（a-b）＝a2-b2. 4.平方差公式的变形 （1）位置变化:（b+a）（-b+a）＝（a+b）（a-b）＝a2-b2. （2）符号变化:（-a-b）（a-b）＝（-b）2-a2＝b2-a2. （3）系数变化:（3a+2b）（3a-2b）＝（3a）2-（2b）2＝9a2-4b2. （4）指数变化:（a2+b3）（a2-b3）＝（a22-（b32＝a4-b6. （5）增项变化:（a+2b-c）（a-2b+c）＝a2-（2b-c）2＝a2-4b2-c2+4bc. （6）增因式变化:（-a-b）（-a+b）（a-b）（a+b）＝[（-a）2-b2][a2-b2]＝（a2-b2）2. （7）连用公式变化:（a+b）（a-b）（a2+b2）＝（a2-b2）（a2+b2）＝a4-b4. （8）逆用公式变化:a2-b2＝（a+b）（a-b）. 【重点题型讲解】 知识点1 完全平方公式 1.若x2+4x+k＝（x+2）2，则常数k的值是（ ） A.2 B.4 C.1 D.-4 2.利用完全平方公式计算（-x-2y）2的结果为（ ） A.-x2-2xy-4y2 B.-x2-4xy-4y2 C.x2-4xy+4y2 D.x2+4xy+4y2 3若（ax-y）2＝4x2-4xy+by2，则a，b的值分别为（ ） A.2，1 B.-2，1 C.-2，-1 D.4，1 知识点2 利用完全平方公式计算 1.已知（a+b）2＝7，（a-b）2＝4，则ab的值为（ ） 2.已知一个正方形的边长是a，若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加（ ） A.1 B.2a+1 C.a2 D.a2+2a+1 3.若x2+xy＝17-a，y2+xy＝ 8+a，则x+y＝_____. 4.用简便方法计算: （1）1012; （2）9992. 5.（1）已知x+y＝3，xy＝2，分别求x2+y2，（x-y）2， x4+y4的值; （2）已知x+2y＝3，xy＝1，求x2-xy+4y2的值. 知识点3 完全平方公式的几何背景 1.有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将该正方形桌面的边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案: 小明发现这三种方案都能验证公式:（a+b）2＝ a2+2ab+b2. 对于方案一，小明是这样验证的:a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2. 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程. 方案二: 方案三: 易错点没有分类讨论完全平方式中间项系数的符号致错 1.若x2+（k-2）x+9是完全平方式，则k的值为（ ） A.6 B.-4或8 C.-6或6 D.0 知识点4 平方差公式 1.下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A.（a+2）（a-1） B.（a-2）（2-a） C.（a-2）2 D.（2-a）（a+2） 2.计算下列各式，结果是4y2-1的是（ ） A.（-2y-1）（-2y+1） B.（2y-1）2 C.（4y-1）2 D.（2y+1）（-2y+1） 3.下列各式中计算正确的是（ ） A.（a+m）（b+n）＝ab+mn B.（x+1）（x-1）＝x2-2x+1 C.（x+2）2＝x2+4 D.（-m+2）（-m-2）＝m2-4 4.若（m+1）2＝3，（n+1）2＝ 5，则（n+m+2）（n-m）＝_____. 5.若a4＝3，则（1-a）（1+a）（1+a2）的值为_____. 6.已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b-1）＝899，则a+b＝_____. 7.定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8，则（x-1）※x的结果为_____. 知识点5 平方差公式的应用 1.我们知道，借助图形可以验证公式.下列图形可以用来验证平方差公式（a+b）（a-b）＝a2-b2的是（ ） 2.已知（a+2b）2-（a-2b）2＝ 8，则a与b的关系一定成立的是（ ） A.a是b的相反数 B.a是-b的相反数 C.a是b的倒数 D.a是-b的倒数 3.若有理数满足（3x2+2y2+2023）（3x2+2y2-2023）＝1- 20232，则3x2+2y2的值为_____. 4.某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成（4-1）后，发现可以连续运用平方差公式计算:3（4+1）（42+1）＝（4-1）（4+1）（42+1）＝ （42-1）（42+1）＝162-1＝255.仿照该同学的计算方法，计算（）（）（）（）的值为 . 5.用平方差公式简便计算: （1）98×102; （2）20212-2022×2020. 6.计算:（1）（3+4y）（4y-3）-（x-4y）2. （2）（2a-3b）2-（b+3a）（3a-b）. 7.若（x+2y）（x-2y）＝bx2-ay2，求（2a+b+3）（2a+b-3）-（2a+b）（2a-b）的值. 易错点利用整体思想分组时出错 1.计算（x+2y-z）（x-2y+z）＝_______. 【综合练习1 完全平方公式】 1.若x2+y2＝（x+y）2+A＝（x-y）2-B，则A与B的数量关系为（ ） A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.无法确定 2.若（x-2023）2+（x- 2025）2＝26，则（x-2024）2的值是（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 3.设a，b是有理数，定义*的一种运算如下:a*b＝（a+b）2，则下列结论:① a*b＝ 0，则a＝0且b＝0;② a*b＝b*a;③ a* （b+c）＝a*b+a*c;④ a*b＝（-a）*（-b），正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.[较难]已知有理数x，y，z满足x2+y2+z2＝4，则（2x-y）2+（2y-z）2+（2z-x）2的最大值是（　　） A.12 B.20 C.28 D.36 5.若25x2+1加上一个单项式能成为二次三项式，且是一个完全平方式，这个单项式是____________. 6.已知（x+y）2的展开式为x2+2xy+y2，即（x+y）2＝x2+2xy+y2，则要想知道（x-y）2的展开式，可以将（x-y）2看成[x+（-y）]2，那么可得（x-y）2＝[x+（-y）]2＝x2+2·x·（-y）+y2＝x2-2xy+y2.根据上述材料写出（2x-3y-z）2的展开式: . 7.若有理数a，b，c满足a2+b2+c2+4＝ab+3b+2c，则200a+9b+c＝ . 8.[较难]如图，已知四边形ABCD,四边形ECGF都是正方形,△BCF的面积为5，BG的长为7，则阴影部分的面积是_____. 9.[较难]（1）分别计算图（1）、图（2）、图（3）中阴影部分的面积，并写出关于a， b的等量关系式. （2）尝试解决:① 已知m+n＝2，m2+n2＝7，则mn＝_______; ② 已知2a+b＝3，ab＝1，求（2a-b）2的值; ③ 已知（4-x）（5-x）＝6，求（4-x）2+（5-x）2的值. （3）填数游戏:如图（4），把数字1~9填入构成三角形的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记为A，B，C，已知A+B+C＝411.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x,y,x+y,求xy的值. 【综合练习2 平方差公式】 1.若（a2+b2+1）（a2+b2-1）＝35，则a2+b2＝（ ） A.3 B.6 C.±3 D.±6 2.若a＝20220，b＝2023×2021-20222，，则下列a，b，c的大小关系正确的是（ ） A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.a＜c＜b D.c＜b＜a 3.如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形;第2个图形由9个小正方形拼成;第3个图形由25个小正方形拼成，按此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是_____. 4.观察下列各式: （a+1）（a2-a+1）＝a3+1; （a-2）（a2+2a+4）＝a3-8; （3a-2）（9a2+6a+4）＝27a3-8. （1）请你按照以上各式的运算规律填空. ① （x-3）（x2+3x+9）＝ ; ② （2x+1）（ ）＝8x3+1; ③ （ ）（x2+xy+y2）＝x3-y3. （2）应用规律计算:（a2-b2）（a2+ab+b2）（a2- ab+b2）. 5.乘法公式的探究与应用: （1）如图（1），边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）. （2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个大长方形，如图（2），则大长方形的长是_____，宽是_____，面积是_________（写成多项式乘法的形式）. （3）比较图（1）、图（2）阴影部分的面积，可以得到恒等式:___________. （4）运用你得到的公式计算:10.3×9.7. 6.[难]观察下列各式: （a-b）（a+b）＝a2-b2;（a-b）（a2+ab+b2）＝a3- b3;（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4-b4;（a-b）（a4+ a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5-b5… （1）根据规律可得（a-b）（an-1+an-2b+ an-3b2+…+a2bn-3+abn-2+bn-1）＝（其中n为正整数）; （2）根据规律可得（a-1）（an-1+an-2+…+a2+a+1）＝______（其中n为正整数）; （3）利用这个规律，请你解决下面的问题: ① 求2199+2198+2197+…+22+2+1的值; ② 若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，求a的值. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$