精品解析：广东省茂名市茂南区直属学校2024-2025学年上学期九年级数学期中考试试卷

2024-2025学年度第一学期 九年级数学质检练习二（期中） （范围：第1至98页 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解，本题考查了一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 2. 若线段a，b，c，d成比例，其中，则d值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论． 根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 【详解】∵四条线段、、、成比例， 故选：D． 3. 在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 解：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 菱形是中心对称图形，是轴对称图形， 矩形是中心对称图形，是轴对称图形， 正方形是中心对称图形，是轴对称图形， 等边三角形是不中心对称图形，是轴对称图形， 故选C． 考点：中心对称图形；轴对称图形． 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 6. 如图，在中，，D是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等边对等角，即可解答． 【详解】解：，， ， 为的中点， ， ， 故选：D 7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 根据正方形的性质以及勾股定理可得，记交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理计算，即可解题． 【详解】解：正方形对角线， ， ， 又菱形中，记交于点， ，于点，，，且为等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 8. 已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24或 B. 24 C. D. 或24 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形的三边关系及勾股定理逆定理的运用，解方程求出方程的解得到x的值，利用三角形的三边关系判断出符合条件的值，再判断出该三角形为直角三角形，即可得到结果． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时，  ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合题意，舍去， 当时，  ∵， ∴能构成三角形， 此时该三角形的三边长为：， ∵， ∴该三角形是直角三角，直角边为和， ∴该三角形的面积是， 故选：B． 9. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设AC交BD于O，根据已知可得AC＝6，而PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC，即可得到答案． 【详解】解：设AC交BD于O，如图： ∵在菱形ABCD中， AB＝6， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝6，BD⊥AC，ADBC，ABCD， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°， ∴△ABD和△BCD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠DCA＝30°， 在Rt△AOD中，OD＝AD＝3，OA＝， ∴AC＝2OA＝6， 在Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE＝AP， 在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF＝CP， ∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC， ∴PE﹣PF＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质及应用、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出AC，把PE﹣PF转化为AC． 10. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】解：正方形的点的坐标为，点的坐标为， ，，，第一个正方形面积，， 延长交轴于点，作正方形， ， ， ， ∴， 同理可得：， …… 第2个正方形的面积为：， 同理可得，， …… 第2025个正方形的面积为：， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 一个不透明的盒子里装有9支红色签字笔和若干支黑色签字笔，每支签字笔除颜色外其他完全相同，每次把盒子里的签字笔摇匀后随机摸出一支，记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色签字笔的频率稳定于0.2，估计盒子里黑色签字笔的数量为_____支． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率及分式方程的应用，先设盒子里黑色签字笔x支，由题意可知摸到红色签字笔的概率是0.2，再根据概率公式列出方程，求出解即可． 【详解】解：设盒子里黑色签字笔x支，根据题意，得 ，                            解得：， 经检验，是原方程的解． 则估计盒子里黑色签字笔的数量为36支． 故答案为：． 12. 请写出一个以为一根且二次项系数是1的一元二次方程：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程根的计算是解题的关键． 根据题意，一元二次方程中二次项的系数为，一个根为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵， 解得，，且二次项系数为，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___． 【答案】62° 【解析】 【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么． 【详解】解：如图，连接， 点是菱形的对称中心，， 点是菱形的两对角线的交点， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 14. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是________（结果保留整数）． 【答案】49 【解析】 【分析】根据题意列出比例式即可解答． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了黄金分割问题，解题关键是根据题意正确列出比例式． 15. 如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片中，，，将上面的矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，连接，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，依据勾股定理列方程，即可得到和的长；过作于，依据面积法即可得到的长，进而得出阴影部分的面积． 【详解】解：由长方形与折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得， ，； 如图所示，过作于， ，，，且， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据公式法求解方程． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 【答案】（1） （2）两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数， ∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是 故答案为：. 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种， ∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为. 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 18. 如图，在中，点在边上，. （1）求证：； （2）若求的长. 【答案】 （1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案． （2）根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）解：∵△ABC∽△ACD， ∴，即， 解得：AC=6. 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基础题型． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，C是直线l上的点，，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以为边在直线l的上方作，若，，． （1）若四边形为矩形时，求的长； （2）若四边形为菱形时，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，得到，利用勾股定理列式计算即可求解； （2）由菱形，得，利用勾股定理列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵菱形， ∴， 设， 由勾股定理得： ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明： ， 无论取何值，方程总有实数根． （2）或5 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算得出，即可得证； （2）分为底边，为腰两种情况分类讨论，进而解一元二次方程，根据三角形的三边关系检验，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若为底边，则，为腰长，则，则． ，解得：． 此时原方程化为， ，即． 此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若为腰，则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：， 解得或5， 则原方程化为或， 解得，或，， 即，，或，， 此时三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形． 或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，三角形三边关系，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 21. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ． ，， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，求解线段长，解题的关键根据题意找到长度相等的线段． （1）欲证明四边形为矩形，先根据中位线的性质得到，再根据“垂直同一条直线的两直线平行”得到，从而证明为平行四边形，最后根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”即可证得； （2）先根据“直角三角形斜边上中线的性质”求得，然后在利用勾股定理得到的长度，最后结合求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，点是的中点，， 在中，， 由（1）知，四边形为矩形，则． 在中，由勾股定理得：． ， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 【答案】（1）长方形卡片的长和宽分别为和或和 （2） 根据题意画图如下： 设长方形的长为，则宽为， 由题意，得， 整理得， 解得，． 经检验，，都符合题意． ∴长方形卡片的长和宽分别为和． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质等等： （1）先利用勾股定理和等边对等角得到，，再由矩形的性质得到，则可证明和是等腰直角三角形，得到，设长为，则长为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可； （2）先根据题意作图，设长方形的长为，则宽为，再根据矩形面积公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， 设长为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得，， ∴，， ∴长方形卡片的长和宽分别为和或和； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒． （1）用含的代数式分别表示线段_______________、_______________． （2）在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在某一时刻，使得为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，当秒或秒时，； （3）存在，当t为3秒或秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可求出长，再用等积法就可求出线段的长，据此求解即可； （2）过点P作，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用建立t的方程，解方程即可解决问题； （3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，，，， ， ， ， ， 由题意得， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，如图2所示． 由题可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 存在某一时刻，使得， ，且， ， 整理得：， 即， 解得：或， ， ∴当秒或秒时，； 【小问3详解】 解：由（2）知， ①当时， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴ ∴， 即：t为3秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性．用方程的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 九年级数学质检练习二（期中） （范围：第1至98页 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 若线段a，b，c，d成比例，其中，则d值为（） A. B. C. D. 3. 在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 6. 如图，在中，，D是的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24或 B. 24 C. D. 或24 9. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 10. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 一个不透明的盒子里装有9支红色签字笔和若干支黑色签字笔，每支签字笔除颜色外其他完全相同，每次把盒子里的签字笔摇匀后随机摸出一支，记下颜色后再放回盒子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色签字笔的频率稳定于0.2，估计盒子里黑色签字笔的数量为_____支． 12. 请写出一个以为一根且二次项系数是1的一元二次方程：________． 13. 点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___． 14. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是________（结果保留整数）． 15. 如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片中，，，将上面的矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，连接，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分. 16. 解方程：． 17. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______； （2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率． 18. 如图，在中，点在边上，. （1）求证：； （2）若求的长. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19. 如图，C是直线l上的点，，点B是直线l上的一个动点，且在C点右侧，以为边在直线l的上方作，若，，． （1）若四边形为矩形时，求的长； （2）若四边形为菱形时，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的值． 21. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22. 启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为． （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽； （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 23. 如图，在中，，，，于点．点从点出发，沿线段向点运动，点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点运动到时，两点都停止运动．设运动时间为秒． （1）用含的代数式分别表示线段_______________、_______________． （2）在运动过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在某一时刻，使得为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $