广东省惠州市2025届高三上学期第三次调研考试数学试题

惠州市2025届高三第三次调研考试试题 高三数学参考答案与评分细则 一、单项选择题:本题共8小题,每小题满分5分,共40分. 题号 ” 答案 C B D 1 A A C B 1.【解析】依题意,AoB={-1.1.3.故选:C 3+ (3+i)(2+i) 6+5i+i}5+5i 2.【解析】因为:三 51-1+i,所以复数=在复平面内对应的点的 2-1(2-i)(2+1)2*-i3 5 坐标为(1.1),位于第一象限.故选:A sing-cosatana-1 -2-1--3.故选:A. 3.【解析】由tana=-2得 3cosg+sing 3+tang 3+(-2) 4.【解析】由^}-a=2可得{q}是公差为2的等差数列,故a^}=a+5x2=16.故选;B 6.【解析】如下图所示:O.O.分别为上下底面的中心,作CE1AC于点E, 因此可得CE=CE,易知AC-22.A.C.=2,由正四校台性质可得 B 因此该四校台的体积是 #-#1#2#)# 。 。 B 21 7.【解析】由概率公式可得P(B)=1-P(B)=1- 3=3) 因为P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 7 故选:C. 8.【解析】设点P的横坐标为nQn>0),则由y= 2 -+ar可得y'=x+a,k=n+a: 由y=2a-lnx+m得y-2á 2a2 ,所以n+a= n 11 高三数学答案 第1页,共10页 由点P为曲线C: +ax与曲线C:y=2a*lnx+m的交点 2 令f'(a)=0可得a=e,由a>0知,当0<a<e时,f'(a)>0,当e<a时,f(a)$0, 所以f(a)在(0,ve)上单调递增,在(Ve,+oo)上单调递减,所以f(an)=f(ye)=e. 故实数n的最大值为。故选:B 二、多项选择题:本题共3小题,每小题满分6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求。全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分。 题号 9 10 11 BCD AC 全部正确选项 ABD 13+14-13.5,A错误; 9.【解析】对于A,因为一共有10个数,所以中位数为 2 对于B,若随机变量x服从正态分布X(3.o*}),且P(X<4)=0.7,则P(X4)=1-P(X<4)=0.3 则P(3<X<4)=0.5-P(X>4)-0.2:B正确 对于C,若线性相关系数越接近1,则两个变量的线性相关性越强,C正确: 对于D,样本点的中心为(x.y).所以x=n,y=2.8,此时经验回归方程为=0.3x-n,所以-0.3; 2.8-0.3n-m,故n=-4,D正确 故选:BCD. 10.【解析】对于A,由题可得a-3. b-4.c=5,则e-f-5. ## a 3 对于C,由题EF-l-2c-10,由图结合双曲线定义可得PP.l-PEl-2a=6, 则(PF -PE$}=PE+P El -2 PF P E36PBE$+Pl100 |[Pr[+P.fH-1FEf_。O,则sin&KPF,1, 则cos乙F.PF.- 2PRlPE 高三数学答案 第2页,共10页 P F -PE= = #|PE 对于D,因为 #|PP #2PEl ,所以 #|1PF12' 又EF-2c=10,则AFPE的周长为28,所以D错误 故选:AC. 11.【解析】对于A,如图所示,该几何体放到一个正方体内,由校长为6, 易求得正方体的枝长最小 为62,故A正确; 对于B,如图所示,以正方体的项点O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A(3.06)B(636)C(603)(366)(66.3/) 所以AB=(32.32.0)AC=(32.0.-3).BF=(-32.32.0)BF=0.32.-3) [AB-3V2x+32v-0 设平面ABC的法向量为n=(x.v.),所以 lAC-3vV2x-32--0' 令x=1,则y=-1.:=1,所以平面ABC的一个法向量为n=(1.-1.1 fBE--3V2a+32-0 设平面BEF的法向量为m=(a.b.c),所以 BF-3V2-32c-0 令a=1,则b=1.c=1,所以平面BEF的一个法向量为m=(1.1.1) 设平面ABC与平面BEF的夹角为6. liil -11 所以cose=cosi,n ## 故B正确: 对于C,G(0.62.32),所以CG=(-62.62.0) 1CGil12V2 点G到平面ABC的距离d= #2### l 所以将该几何体以正三角形所在面为底面放置,则高度为46,故C错误 对于D,由该半正多面体的对称性知,该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心, 高三数学答案 第3页,共10页 该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动,则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时, 正四面体的体积最小,设此时正四面体的榜长为a,高为方 -ax6,解得h-24. 4 该正四面体梭长的最小值为126,故D正确,故选:ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.2 13.4+23 12.【解析】因为f(x)定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以/(-1)=f(1)=1+1-2. 13.【解析】由x2+y2+2x-4y+1=0→(x+1)+(y-2)=4,则圆心为(-1.2),半径为2, 由直线被圆所截得的弦长为4:故直线ax-by+2=0(a>0.b>0)过圆心,所以a+2b=2且 {+# D 2 ab 14.【解析】当n=3时,按顺时针方向把人标记为1.2.3.4.5.6,用(i./)表示i和/握手 若1和2掘手,共有两种方法:(3.4).(5.6)和(3.6).(4.5) 若1和6握手,共有两种方法:(2.3).(4.5)和(3.4).(2.5) 若1和4握手,共有1种方法:(2.3).(5.6),所以一共有5种方法。 当n-4时: 若1和2握手,剩下6个人,情况同1n=3,共5种方法 若1和8握手,剩下6个人,情况同n=3,共5种方法, 若1和4握手,则2和3握手,5.6.7.8之间握手情况同2,一共2种,从而1x2=2种方法 若1和6握手,由对称性,情况同1和4握手,共2种方法; 所以,一共有5+5+2+2-14种方法 高三数学答案 第4页,共10页 y的分布列如下; P 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分,其中第一小问2分,第二小问5分,第三小问6分) 【解析】(1)A、C、M、A四点不共面. ...............................2分 (2)【方法一】如图,以D为原点,DA,DC,DD分别为x.y.: : 轴,建立如图空间直角坐标系 ..................... .................4分 又平面ABCD的法向量为in=(0.0.1) ..........................5分 所以EF:n-0,故EF1n ............................6分 又EF平面ABCD,故EF//平面ABCD ..........................分 【方法二】如图.取CD中点N:再取CN中点G,连接MN、FG和AG 在正方体ABCD-ABCD中,B为AA;中点 C A B 所以FG//AF目 FG三AF. ..................................4分 则四边.形..Ar.为平行四边形...................5分.. 故FF//AG. 又EFC平面ABCD.AGC平面ABCD 故EF/平面ABCD 【注:EFC平面ABCD.AGC平面ABCD,条件不全扣1分】 。 C. 【方法三】如图.取DD:中点N:连接EN、FN A 在梯形D.MCD中,F为CM中点:则FN//CD ............3分 因为FN平面ABCD,CDC平面ABCD C 1D 所以FN//平面ABCD ...........................................4分 第5页,共10页 _Z 高三数学答案 在正方体ABCD-ABCD.中,E为AAi中点:则EN//AD 因为ENC平面ABCDADC平面ABCD 所以EN//平面ABCD ......................分 因为ENCFN=N,EN,FNC平面EFN,所以平面EFN//平面ABCD ...................6分 又EFC平面EFN,故EF//平面ABCD 【注:若使用线线平行直接得到面面平行,扣2分】 又A(2.0.2).B(2.2.0):故A.B=(0.2.-2) ....................................9分 332 所以Cos<A.B.FFAB.EF 32 故异面直线AB与EF所成角的余弦值为 10 【注:若在(2)【方法二】【方法三】基础上完成第(3)问,则需增加建立坐标系的得分】 16.(本小题满分15分,其中第一小问5分,第二小问10分) 【解析】(1)因为a为等差数列,设公差为d, .............................................分. [+2d-5 因为a=5,S=9,所以 3+3d=。 [d-2 解得 1' 故a.-2n-1. (2)0)0) ...........................分 ............... :d a. -1#)- ............分.... 则对e.7-1)### 高三数学答案 第6页,共10页 又log 3>log.2-1,故T.<log 3 17.(本小题满分15分,其中第一小问7分,第二小问8分) 解:(1)在△ABC中,A-于. $$$+c-2bccosA=4,即b+c}-bc=16.① )..........................................2分.. #$ 1 2 #即#&42-.b# c.G ,故为................................4分 2 2 由①②得(-c)?+bc=16,即(b-c)?=0.故b=c=4=a.................................-6分 所以△ABC为等边三角形 ............................................................. .7分 (2)在△ABC中,由Sc=S+Sc. 2 2 2 所以-bcx) ..............................分 2^22×3 2 即bc-- ................................... b2+c2-a2 -,即b}+c2-bc-16④. 又由余弦定理可得cosBAC- ............... 2bc 由③、④可知16=(b+c)*-3bc=(b+c)*-22(b+c). ....................... 解得b+c=42或b+c=-22 (舍)..................................4分.. 所以ABC的周长为42+4 18.(本小题满分17分,其中第一小问3分,第二小问5分,第三小问9分) 2a-22 【解析】(1)由题意可知 {2所以{a2 ..............................................分. c=1 =2 所以b--c-1: ...................分. 2 (2)①设P(x,v)O(x,y)M(2.m) 高三数学答案 第7页,共10页 2 所以 又因为l,I经过点M(2.n), [+ny=1 ......................................5分 lx+ny,-1' 所以PQ均在直线x+ny-1=0上,即l:x+my-1=0$ ........................分. [x-1=0 ,解得{ [r=1 由/ 所以直线PO过定点N(1.0) 1y-0 y=o PM oM ..................分 当直线PO斜率不存在时,此时直线PO的方程为x=1, 3 [x-1 r-2 由[r=1 解得 1*2y-2 所以[PN=1loN- ............................................0分 当直线PO斜率k=0时,不满足题意; 当直线PO斜率k*o时,设直线P2的方程为x+ny-1=0,则k--1. nt' 1bl+l 故 ##1#_(1))_ #+n by..........分. 所以-1D-1+y)-4 .................1.分.. 1+myy +n} 联立[x--n+1 可得(n2+2-2-1=0..△0...-1热3分 1x+2-2 2n 1. 所以y+y-- ..................................14分.. 2yy-- nt+2' 2m)*4x(n+2)x(-1) #n+2 22m+1 所以2-- (m*+2) n+222 .............6分 1+ 2 n+1 n{+2 综上可知,存在A-22满足条件 ...............................17.分 高三数学答案 第8页,共10页 19.(本小题满分17分,其中第一小问2分,第二小问6分,第三小问9分) 0,当xe(-co.0]时,单调递减,当xe[0,+coo)时,单调递增, l2x,x20 所以y-2x是含谷函数,谷点x=0: 函数v=x+cosx,求导v=1-sinx>0恒成立,函数单调递增,所以不是含谷函数 ...2分 (2)由题意可知函数y=x*-2x-mln(x-1)在区间[2.4l内先减后增,且存在谷点,.....-3分 令g()=x-2x-mln(x-1).所以g'(x)2x-2-” r-1' ........................... 设q(x)-g(c)=2r-2-n (r-1)2 .......分 fg(2)-2-n<0 若满足谷点,则有 ,解得2<m<18, ....................................分.. 故n的取值范围是(2,18). (3) 因为h(x)=-x +px*+qx{+(4-3p-2q)x 所以r(x)#-4*+3+2^+4-3p-2)=4(1-)(1-3-)+(1-3-].9分 若#^(1-3#)+(1-3#-#_立 则函数y=h(x)在x<1时单调递增,在x>1时单调递减,不是谷函数,不满足题意:....-10分 因此关于x的方程#(1-#)+(1--)- -0有两个相异实根,即△>0, 设两根为g,B且a<B, 因为h(1)0=h(0),所以函数y=h(x)在区间(-o.1]上不满足单调递增; ................分 但是当x<minf1.a.时,h(x)>0,y=h(x)为单调递增 所以y=h(x)在区间(-o.1l上的单调性至少改变一次,从而a<1. 高三数学答案 第9页,共10页 同理,因为h(1)h(2),所以B>1. -12分 因此,y=h(x)在区间(-o,gl和[1.p]上单调递增,在区间[g.1l和[B,+c)上单调递减, 从而函数y=h(x)的含谷区间[a.b]必满足[a.bc[g.问] 即(pn)#-B-一1-)-1-})+_314分 因 $$($)=-1+++4-3$-2=3- $-,(2)=-16+8+4+8-6 $-4=-8+ $$ 由h(1) h(2)得3-2p-qs-8+2p,所以4p+q>11. 由h(1)<0得3-2p-q0,所以2p+q>3 所以#3-2pP4 [11-4p.p4 .....................................5分.. 当p<4时, 因此当p=4.q=-5时,L(pg)的最小值为② .................................................... -16分 42 当p=4.q=-5时,满足3p+q>6 综上所述,当且仅当p=4.q=-5时,(p.q)的最小值为2 ..............................分 高三数学答案 第10页,共10页惠州市2025届高三第三次调研考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.01 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填 写在答题卡上。 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上付应题目 的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，在：本式卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上， 写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分 1.已知集合A={-3.-1,1,3},B={x-2<x<4},那么A∩B= A.{-1,1月 B.{1,3} C.{-1,l,3} D.{0.2.4} 2.复数：= 3+i 在复平面内对应的点位于 2-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知tana=-2,则，sina-cosg- 3cosa+sina A.-3 c D.3 4.已知数列{an}满足ai,-a=2,且a1=√6，则a= A.12 B.16 C.18 D.20 5.已知向量a和6的夹角为120°，且1a=2.1b=5,则(2a-b)·a= A.3 B.8 C.12 D.13 6.已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为年，则该四棱 台的体积是 A君 B.72 c.2 D.7 6 3 2 数学试题 第1项，共6页 7.事件A发生的概率为P),事件B发生的叔率为P(8,若P()=},P回-号， P叫4U®)=行则事件A与事件B的关系为 A.互斥 B.对立 C.独立 D.包含 8.已知a>0,若点P为曲线C:y=号+ax与曲线C,:y=2a1nx+m的交点，且两 条曲线在点P处的切线重合，则实数m的最大值为 A.ci B.e C. D.2e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的中位数为14 B.若随机变量X服从正态分布N(3,o2),，且P(X≤4)=0.7，则P(3<X<4)=02 C.若两个变量的样本相关系数”的绝对值越接近1，则这两个变量的线性相关性越强 D.对具有线性相关关系的变量x,y,其经验回归方程为少=0.3x一m,若样本数据的 中心点为(m,2.8),则实数m的值是4 10。已知R,B分别为双曲线。-广=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的一个点， 916 下列说法正确的是 A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程为y=±x 4 C.若PFPF引=32，则△FPR的面积为16 D.若PF=2PF,则△FPF2的周长为23 山.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多 面体，它体现了数学的对称美，如图是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿 基米德多面体”，棱长为6，则下列说法正确的是 数学试题 第2页，共6页 A.将该几何体放到-个正方休内，则正方体的棱长最小为6√互 B.任意两个有公共项点的三角形所在平面的夹角的余弦值均为写 C.将该几何体以正三角形所在面为底面放置，则高度为3√0 D.若该几何体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体棱长的最小值为12√ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知定义在R上的偶函数f(x),当x>0时，(x)=x之+x,则f(-)=一 13.若直线ar-y+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则 2+子的最小值为一· a b 14.有2个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握 手时手臂互不交义，例如n=2时，一共有4个人，以1、2、3、4表示，握手两人用 一条线连结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有Y对相邻的两人握手，当 n=4时，Y的数学期望E(Y)=一· 3 2 2 数学试题 第3页，共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M、E分别是CD、AA的中点，F 是MC的中点. (1)判断A、C、M、A四点是否共面（结论不要求证明）： (2)证明：EF∥平面ABCD: D M C (3)求异面直线A,B与EF所成角的余弦值， A B 16.(本题满分15分) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，a,=5,S,=9. (I)求{an}的通项公式： 2若血，=，，求数列也}的前”项和工，并比较工，与1og:万的大小 aa 数 第4页，共6页 17.(本题满分15分) 在△1BC,角不B.C所对的边分别为a.m。且A=号a=4. (I)若BC边上的高AD=2√5，求证：△ABC为等边三角形： (2已知直我AW为∠BAC的平分线.且与BC交于点M,若AM=26 3·求△ABC 的周长 18.(本题满分17分) 已知椭圆c:x+=1(a>b>0)的长轴长为2V2,离心率为V2 2 (1)求椭圆C的方程： ②胆知期导+茶 +京=1(a>b>0)上点(6)处的切线方程是兰+兴=l. a2 在直线 :x=2上任取一点M引椭圆C的两条切线，切点分别是P、Q. ①求证：直线PQ恒过定点W: ②是否存在实数2，使得PN+QN=PN2N,若存在，求出1的值，若不存在， 说明理由， 数学试题 第5页，共6页 19.（本题满分17分) 设y=f(x)是定义在R上的函数，若存在区间[a,b]和x∈(a,b),使得y=f(x)在 [a,x】上单调递减，在[，b)上单调递增，则称y=f(x)为“含谷函数”，x为“谷点”，[a,b] 称为y=f(x)的一个“含谷区间”. (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由. (i)y=2x,(ii)y=x+cosx; (2)已知实数m>0,y=x2-2x-mln(x-1)是含谷函数，且[2,4是它的一个含谷区间， 求m的取值范围： (3)设P,9∈R，h(x)=-x+px3+gx2+(4-3p-2g)x,设函数y=h(x)是含谷函数， [a,b]是它的一个含谷区间，并记b-a的最大值为L(p,g).若()sh(2),且h()≤0， 求L(P,9)的最小值. 数学试题 第6页，共6页