精品解析：内蒙古鄂尔多斯市西四旗2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

鄂尔多斯市西四旗2024～2025学年第一学期期末联考试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 2. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据代入计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和的夹角为，根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】令和的夹角为， 则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析这六场比赛甲的情况为：赢输赢输赢赢，利用独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢， 故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：. 故选：B. 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 7. 过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆的标准方程，结合同角三角函数及余弦二倍角公式即可求解. 【详解】 圆化为标准方程， 则圆心，半径， 由题意知， 解得，负值舍去， 在中，，且，所以，解得 故选：A 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. P，G，E，F四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由，可判定A正确；假设存在点，，可判断B；设直线的方程为，求得切点的纵坐标，与渐近线联立方程组求得交点的坐标，计算可判断C，利用中点坐标公式可判断D. 【详解】由题意，双曲线，可得，，则， 所以焦点，，设，则，且，即， 由，故A正确； 假设存在点，设，则，且，即， 所以， 所以不存在点，使得，故B错误； 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由,得， 又直线与相切，所以，整理得， 所以，即0，解得， 即点的纵坐标为. 不妨设直线与的交点为，与的交点为， 由，解得，即点的纵坐标为， 由，解得，即点的纵坐标为， 则点，的纵坐标之积为，故C正确； 因为， 所以点是线段的中点，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：设切线方程与椭圆方程联立，求得切点坐标的纵坐标，与渐近线交点的纵坐标，进而利用代数运算求得结果，体现了平面解析几何的坐标法解决几何问题的特点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，直线：，若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解. 【详解】由直线：与直线：平行，得，解得， 所以. 故答案为：2 13. 已知等差数列的前n项和为，若，，则_____. 【答案】21 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得. 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前项和，若，是等差数列，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出数列的公差，并求出的表达式，再建立方程求出公差即可得. （2）利用前项和与第项间的关系，求出通项公式. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得， 则，由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的标准方程； （2）已知点是圆上的一点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设，再根据点在圆上得出距离相等，计算求参即可得出圆心及半径，最后得出圆的标准方程即可； （2）设，又点是圆上的一点，再应用直线和圆有公共点即圆心到直线距离小于半径即可求参. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，可设，又圆过点，， 所以， 解得，所以， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，又点是圆上的一点， 所以直线与圆有公共点，所以， 解得，即的取值范围是. 17. 在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由平面平面，平面平面平面，， 得平面，而平面，则， 由，为的中点，得， 又平面， 所以平面. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理即得. （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求列式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作直线，由平面，得平面，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，，得，， 则，令， ， 由四边形是平行四边形，得， ，设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（1）知平面的法向量，设平面与平面的夹角为， 于是， 整理得，而，解得， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知： （1）恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为， （2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为， （3）书包都拿错了包含9个样本点，概率为 【小问1详解】 设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 共有24种情况． 恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为 ，，，，，， 故其概率为． 【小问2详解】 至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为 ，，，，，，， 故其概率为． 【小问3详解】 书包都拿错了包含9个样本点，分别为 ，，，，，， ，，， 故其概率为． 19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. （1）求极线的方程； （2）求证：； （3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】（1） （2） 证明：设，由题意知过的直线的斜率必存在， 故设直线，， 联立方程，消去得， ， ，即， 所以，， 则 . 又，所以，得证. （3） 当中有横坐标为时，纵坐标为， 则或， 直线或与椭圆相切，不符合题意，所以的斜率都存在. 由（2）得，，又， 所以，所以是和的交点. 因为，所以，设， 则，所以，直线的方程为， 即， 令得，所以恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由长轴长与抛物线焦点得，进而求出椭圆方程； （2）设直线，联立椭圆方程，由韦达定理可得，，利用将斜率坐标化，利用韦达定理代入坐标关系化简求证可得. （3）设，由（2）结论可先证三点共线得到，用表示，由点斜式方程得，再证明不受的影响恒过定点可得. 【小问1详解】 由椭圆的长轴长为， 则，解得， 又因为椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决该题的关键点有三个.一是理解极点坐标与对应极线方程的关系，确定好极线；二是斜率坐标式的变形，将运算转化为即的对称形式，从而应用韦达定理证明斜率关系式成立；三是（2）问结论的应用，应用结论得到，用参数表达及直线的方程，从而解决直线过定点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄂尔多斯市西四旗2024～2025学年第一学期期末联考试卷 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章第1节～第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 27 3. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 过作与圆相切的两条直线，切点分别为，且，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 10. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. P，G，E，F四点共面 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，直线：，若，则_____. 13. 已知等差数列的前n项和为，若，，则_____. 14. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前项和，若，是等差数列，. （1）求； （2）求数列的通项公式. 16. 已知圆的圆心在直线上，且过点，. （1）求圆的标准方程； （2）已知点是圆上的一点，求的取值范围. 17. 在如图所示的空间几何体中，四边形是平行四边形，平面平面，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率． （1）恰有两名同学拿对了书包； （2）至少有两名同学拿对了书包； （3）书包都拿错了． 19. 极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为.已知椭圆的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线，，的斜率分别为，，（，，均存在）. （1）求极线的方程； （2）求证：； （3）已知过点且斜率为2的直线与椭圆交于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $