精品解析：湖南师大附中星城实验学校2024-2025学年上学期第一次月考八年级数学试卷

2024-2025学年第一学期第一学月阶段性测试卷(数学) 一．选择题（共10小题） 1. 以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，则∠A的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 5. 如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 5 7. 下列条件中，不能判定与一定全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二．填空题（共6小题） 11. “三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据，不用测量，就知道，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是______（用字母表示）． 12. 正五边形的外角和等于 _______◦． 13. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为_________． 14. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为__________海里. 16. 如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为________°． 三．解答题（共10小题） 17. （1）计算：． （2）化简：． 18. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 19. 一个多边形的外角和等于内角和的 ，求这个多边形的边数． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出与关于轴对称的； （2）写出点、、关于轴的对称点的坐标 ． （3）求出 的面积， 21. 已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 22. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，，的面积是，求． 23. 如图，在中，是边上的高． （1）若，请证明：； （2）若，，，点是边上的中点，求的最小值． 24. 已知点在轴正半轴上，以为边作等边，．其中是方程的解． （1）求点的坐标； （2）如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求度数； （3）如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围． 25. 如图1，在等腰中，，，， （1）求证； （2）如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一学月阶段性测试卷(数学) 一．选择题（共10小题） 1. 以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可. 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得：A、B、C均不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握此定义是解题关键． 2. 如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条让其固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．熟知三角形的稳定性是关键． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A﹣∠B=70°，则∠A的度数为（ ） A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°,然后与∠A-∠B=70°联合求解即可． 【详解】解:∵∠C=90°, ∴∠A+∠B=90°,又∠A-∠B=70°， ∴∠A=（90°+70°）=80°,故选A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握直角三角形的性质. 5. 如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，根据等腰三角形的性质和垂直的定义即可得到结论，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：当腰为5时，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12． 故选B． 7. 下列条件中，不能判定与一定全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如图示： .，，，根据证明，不符合题意； .，，，根据不能推出，故本选项符合题意； .，，，利用能推出，故本选项不符合题意； .，，，利用能推出，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 8. 如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，，连接，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，从而可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质，可得与、的关系，、、的关系，根据多边形的内角和，可得答案． 本题考查了三角形外角的性质及多边形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质及多边形内角和定理是解答此题的关键． 【详解】解：如图，设、相交于点O，延长交于点G． 由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：，． ∴， ∴ ． 故选B． 10. 如图，在一个规格为的球台上，有两个小球P和Q．若击打小球P经过球台的边反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准边上的（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知小球P走过的路径为： 根据入射角等于反射角可知应瞄准AB边上的点O2． 故选：B． 【点睛】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意数形结合思想的运用． 二．填空题（共6小题） 11. “三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据，不用测量，就知道，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是______（用字母表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据即可得出． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 12. 正五边形的外角和等于 _______◦． 【答案】360 【解析】 【详解】∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 13. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为_________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查的是三角尺角度的有关计算，三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．先根据直角三角板的性质得出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ， ， 故答案为：． 14. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴轴对称的点的坐标的特点是解决此题的关键； 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点P在第四象限，符号为， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，一艘海轮位于灯塔的南偏东方向的处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔的北偏东的处，则处与灯塔的距离为__________海里. 【答案】80 【解析】 【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解． 【详解】MN=2×40=80（海里）， ∵∠M=70°，∠N=40°， ∴∠NPM=180°-∠M-∠N=180°-70°-40°=70°， ∴∠NPM=∠M， ∴NP=MN=80（海里）． 故答案为：80． 【点睛】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键． 16. 如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】连接AD，DE，设 ，根据题意可由得出关于x的方程，进而求出x的值，即可得到，即可求解． 【详解】解：连接AD，DE， 设 ， ∵， ∴ ， ∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E， ∴ , ∴ ， ∵分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 解得： ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是理解作图过程，掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质． 三．解答题（共10小题） 17. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】此题考查了有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，整式的加减，解题的关键运算法则是解题的关键． （1）首先计算有理数的乘方，化简绝对值，立方根和算术平方根，然后计算加减． （2）先去括号，然后合并同类项． 解：（1） ． （2） ． 18. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程整理后，利用加减消元法求解即可； （2）分别求出两个不等式的解集，进而得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ①×2得③， ②×3得④， ③+④得， 解得，， 把代入①得，， 故这个二元一次方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式组，掌握加减消元法、代入消元法、确定不等式组解集的方法是解题的关键． 19. 一个多边形的外角和等于内角和的 ，求这个多边形的边数． 【答案】9 【解析】 【分析】设边数为n，根据外角与内角和关系列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则 （n－2）·180= 360 ， 解之得 n=9， 答：这个多边形的边数是9． 20. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出与关于轴对称的； （2）写出点、、关于轴的对称点的坐标 ． （3）求出 的面积， 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，关于坐标轴对称的点的坐标特征及三角形的面积； （1）根据题意先找到、、三点关于轴的对称点，进而顺次连接可得； （2）由题意根据关于轴对称的点的坐标特点即可得出点、、关于轴的对称点的坐标； （3）根据题意利用补全正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点，，关于轴的对称点的坐标分别为：，， 【小问3详解】 ． 21. 已知a，b，c是的三边长，，，设的周长是x． （1）求x的取值范围． （2）若x是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵x是小于9的整数， 又∵， ∴或， 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和三角形三边关系，求出c的取值范围是解题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）利用等腰三角形的判定方法得出即可； 【小问1详解】 解：∵，， ∴，即， ∴，即， ∴x的取值范围是； 【小问2详解】 略 22. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，，的面积是，求． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）． 【解析】 【分析】（）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （）根据三角形的面积，代入计算即可； 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴由， 则， ∵，， ∴， ∴， 23. 如图，在中，是边上的高． （1）若，请证明：； （2）若，，，点是边上的中点，求的最小值． 【答案】（1）见解答； （2） 【解析】 【分析】根据等角对等边可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可知，等量代换可证； 延长到，使，连接，，根据对称性可知的最小值为，利用可证：，根据全等三角形对应边相等可证：，利用的长即可解决问题． 【小问1详解】 证明：， ，， 是边上的高， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，延长到，使，连接，， 是边上的高， 是的垂直平分线， ， ， 的最小值为， ，， ， 点是边上的中点， ， 又，， 在和中， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的判定，角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键． 24. 已知点在轴正半轴上，以为边作等边，．其中是方程的解． （1）求点的坐标； （2）如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求度数； （3）如图2，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连接并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值：若变化，求出其变化的范围． 【答案】（1） （2） （3）不变， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了算术平方根的非负性，等边三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）根据算术平方根的非负性，即可求解； （2）先证明，可得，由四边形内角和定理求解即可； （3）证明，可得，可求，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：∵，且，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ， ∵， ； 【小问3详解】 解：的值不会发生变化，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的值不发生变化，其值为． 25. 如图1，在等腰中，，，， （1）求证； （2）如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：由题可得： 在与中， ， ∴， ∴； （2） ①， 证明：∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； ② ， 证明：如图，过点C作交的延长线于点M，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，可知，从而可得； ②过点C作交的延长线于点M，延长交于点N，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $